1、 1 华东师大教材 一节 课外 习题讲评课 引发的思考 重庆市万州高级中学 张 进 目前 ,在初中数学课堂教学中，至少有一半的课堂是围绕例习题讲评的。波利亚强调指出：“中学数学教学首要的任务就是加强解题训练，掌握数学就是意味着善于解题。”从这个意义上来说，初中数学教师关注典型例题、习题的讲评是非常重要的。 习题教学是数学课堂教学的一个重要组成部分，是学生巩固基础知识、形成基本技能、培养思维能力的重要组成部分。 但是在讲评过程普遍存在 以下 弊端： 教师 包办代替 ，学生被动接受；偏重 知识传授，强调机械训练；只讲过程结果，不讲思想方法；题型面面俱到，没有轻重之分； 知识缺乏巩固，不求拓展变式；
2、无视情感教育，不会赏识 激励。 这样的习题讲评课，教师 独揽习题讲评大权、 一讲到底 ， 学生参与度低，课堂沉闷、枯燥乏味。这样的教学， 教师更多关注的是自己的教学行为而不是学生的学习方式，缺乏对教学过程的整体把握，学生只是听“过程”听“结果”， 一直处于被动接受状态 ，主体地位没得到落实 。 教师教得“累”，学生学得“苦”，教师的教学是低效、无效的，更谈不上教学质量的提高。 而数学课程标准提出“ 倡导积极主动，勇于探索 的学习方式”，那么习题讲评课就要让学生去体验，去探索，去感悟习题的解答过程，还学生一个“思考探究的课堂”。 下面就学生学完多边形一章后， 对一道章末 单元 复习题进行 演变、
3、延伸和拓展 后开展 的 教学， 谈谈笔者在习题讲评课中的 几 点 收获与启示。 原题 （华师大版七年级数学下册第 76 页复习题 A组第 4题） 如图 1 所示，已知 D是 AB 上一点， E 是 AC上的一点， BE、 CD 相交于点 F， A=62 ， ACD=35 ， ABE=20 求 BDC 和 BFD的度数 解析 因为 BDC 是 ACD 的外角， A=62 ， ACD=35 ， 所以 BDC= A+ ACD， 即 BDC=62+ 35= 97 ； 因为 ABE+ BDC+ BFD=180 ， ABE=20 ， 所以 BFD=180 -20 -97= 63 由上 还可 得出 BFC=
4、117 ， 还可引导学生继续猜想和探究 A、 ABE、 ACD 与 BFC 之间的数量关系，就很容易得出： BFC= A+ ABE+ ACD.在此基础上 还可 将题目变形得到： 2 变式 如图 2，已知 凹 四边形 ABCD 中 ,试说明 A、 B、 C 与 BDC 之间的数量关系 . 教师： 先给大家 8分钟的时间在学习小组内 交流讨论， 八个小组以小组为单位在组长的带领下 尽可能多地找出解决问题的方案，然后确定小组发言人到黑板上给大家讲题 ,小组内同学可补充发言 。 （ 老师穿梭在各组之间，及时为学生们解决疑难，并观察学生们主要 存在那些解决问题的方法 。 此时的课堂，学生们心情舒畅，求知
5、欲旺盛，思维活跃，积极主动，敢想，敢问，敢说，整个课堂呈现出一种你争我抢，跃跃欲试的热烈气氛 ，大家都在为能上黑板为大家讲题的机会 努力探索着 .） 学生 1:如图 3， 直接用量角器量出 A、 B、 C 与 BDC 的度数，然后通过计算得到：CBABD C . 教师 :你用量角器测量就一定能判断出 CBABD C 吗？ 那么 BDC 与 A、 B、 C 肯定就是标准值，那么这些标准值能够由测量得到吗？ 学生 2:不可能，首先 测量读数存在误差， 测量得到的都是近视值，如果测量多次，就会得到多个测量值，那我们到底以哪个测量值为准呢？其次通过测量得到的结果只能猜想大致结果，不能作为逻辑推理的依据
6、。 教师 :分析得很有道理，我们能猜想出 A、 B、 C与 BDC 之间的数量关系是： CBABD C ，那么怎样说 明 CBABD C 呢？ 学生 2:连接 AD， 如图 4， 根据三角形的内角和为 180 得， o180 B ADADBB , ,1 8 0 o CA D CA C D 所以 )(360 BCC A DB A DA D CA D B o， 因为 o3 6 0 B DCA DCA DB ，所以 CBB ACB D C . 学生 3:连接 BC， 如图 5， 根据三角形的内角和定理得 ， o1 8 0 B ACACBAB C , ,180 o B D CD C BD B C 所以
7、 o0 A C DA B DB DCB A ， 即 A C DA B DB A CB D C . 教师：以上两位同学通过辅助线将凹四边形的问题转化为三角形的问题，利用三角形内角和定理是解决问题的关键。 其他同学还有不同的想法吗？（教室内有很多小手举起来） 3 学生 4:过点 D作直线 EF 分别交 AB、 AC 于点 E、 F， 如图 6， 根据三角形的内角和定理 、三角形外角的性质以及 平角的定义 可 得： ,180,180 oo B D CC D FB D EA F EA E FA 又因为 , CA F ECDEBA E FB DE 所以 CBB ACB D C . 学生 5:不需要那么复
8、杂，只须 连接 AD并延长至点 E， 如图 7， 根据三角形外角的性质得， BBADBDE , CCADCDE , 所以 B D CC D EB D ECBB A C . 学生 6:其实 延长 BD 交 AC 于点 E 最简单 ， 如图 8， 根据三角形一个 外角等于和它不相邻的两个内角的和得， CDECBD C ， BADEC ，所以 CBABD C . 教师：这几位同学巧妙地作出辅助线，将这个不规则的图形转化为我们熟悉的图形，然后利用三角形内角和定理和三角形外角的性质是解决此题的关键，值得我们认真学习。 学 生 7:过点 A作 AE BD，作 AF CD， 如图 9， 根据平行线的性质 可
9、 得， BB A EE A FB DC ,， CCAF ，所以 CBB ACB D C . 学生 8:我的解法基本与上面同学差不多， 过点 D作 DE AB，作 DF AC， 如图 10， 根据平行线的性质得， BB DEE DFA , ， CCDF ， 所以 CBABD C . 学生 9:过点 D作 DE AB 交 AC于 E，作 DF AC 交 AB于 F， 如图 11， 根据平行线的性质 易 得， EDFA ， BAB D FACC D E oo 180,180 ， 因为 o360 B DFE DFCDEB DC ，所以 CBABD C . 4 学生 10:过点 D作 DE AB交 AC
10、于 E， 如图 12， 根据平行线的性质得： D E CABB D E ,180 o， 因为 o3 6 0 B DECD EB DC ， CAC DE o180 ， 所以 CBABD C . 学生 11:过点 B作 BE CD，过点 C作作 CE BD 交于点 E， 如图 13， 根据平行线的性质得， DCEDB EEB DC , ，因为 o360 A CEAA B EE ， o360 DCEB DCDB EE ，所以 A C DA B DABD C . 学生 12:过 点 B作 AC 的平行线与过点 C 作 AB的平行线交于点 E， 如图 14， 根据平行线的性质得， ACEAB EEA ,
11、 ， 因为 o360 DCEEB DCDB E ， o360 A CEEAA B E ， 所以 A C DA B DABD C . 学生 13:连接 BC，过点 A 作 EF BC， 如图 15， 根据平行线的性质得 CA FA CBA B CB A E ,， 因为 ,1 8 0,1 8 0 oo B D CD C BD B CB A CC A FB A E 所以 A C DA BDBA CBD C . 学生 14:连接 BC，过点 A 作 AE BC， 如图 16， 根据平行线的性质得 : o180 ABCBAE ， CAEACB ， 因为 ,180 o B D CD C BD B C 所以
12、 A C DA BDBA CBD C . 教师：上面 8 位同学都想到了作平行线的办法，利用七年级上册所学的平行线的性质和本单元学的多边形内角和的知识是解决问题的关键所在。 有想到作其他辅助线的吗？ 学生 15:如图 17， 过点 B 作 BE AB，过点 C 作 CE AC 交于点 E，所以 o90 ACEABE ，ABDDB E 90 ， ACDD CE 90 ， 180 E ， 因为 o360 DCEEB DCDB E ，所以 A C DA BDBA CBD C . 学生 16:如图 18， 过点 B 作 BE BD，作 CE CD 交于点 E，所以 o90 D CED BE ， 5 因
13、为 o360 DCEEB DCDB E ，所以 o180 EBDC ， 因为 o3 6 0 A CEEB A CA B E ，所以 A C DA BDBA CBD C . 学生 17: 如图 19， 过点 D作 DE AC 于 E，过点 D 作 DF AB于 F， 所以 o90 CE DA E DBFDA F D ， 则 AEDF o180 ， 因为 o3 6 0 C DEE DFB DCB DF ， BBDF o90 ， CCDE o90 ，所以 CBABD C . 学生 18: 如图 20， 过点 D作 DE AC 于 E，所以 o90 CEDAED ， o90 CCDE , 因为 o3
14、6 0 A E DB DEAB ， o3 6 0 CD EB DEB DC ， 所以 CBABD C . 教师：以上同学通过作垂线将凹四边形转化为 三角形和凸四边形的问题，利用垂直的定义和四边形内角和为 360是解决该题的关键。 学生 19: 不需要添加辅助线（ 如图 21） ， 在同一平面内，四边形不论凹凸，都能分成两个三角形。因为三角形内角和是 180 ，所以 凹 四边形的内角和 也 是 360 ， 那么 o3601 CAB ，因为 o3601 BDC ， 所以 CBABD C . 教师： 刚才这 19 位同学所用方法都很好，各有特点，在黑板上讲述、表述也非常完整，不知道大家最欣赏谁的解法
15、呢？（学生七嘴八舌开始讨论，寻求自己能接受的最佳方法。） 教师： 同学们，今天这节课我们的收获真不小啊，希望你们在 数学学习中，一定要像今天这些同学 一样，深入探究题目条件，充分挖掘题目条件的潜在功能，多方位、多角度进行思考，寻 求多种解题途径，不仅可以 提高 我们 分析问题的能力，也提 高了 解决问题的能力，增强了对数学的学习兴趣，体会到学习数学的思维魅力。 学生 20： 两天后， 学生 20高兴跑来找我说：老师 ,我对那个凹四边形问题的解答可以这样解吗？ 然后拿出解答过程给我看。如下： 因为凹四边形具有不稳定性，所以我们可以想办法让点 B、 D、 C 三点在一条直线上， 6 因为 ,180
16、,180 oo B D CB A CA C BA B C 所以 BA CA C BA BCBD C . 教师 :（及时给予鼓励，高度 评价）你的探索精神、专研精神、利用所学知识解决问题的方法很值 得大家学习 ，即使同学们得出那么多种解法，你仍在寻找自己的最佳方法，你这种对科学探究永无止境的态度一定会助你取得最大成功的！ 教学 感悟 本节课 40 分钟全部用在解决一个普通的习题 变式 上，给人的感觉好像把有限的教学时间奢侈浪费了，得不偿失。实则不然，这节课不仅巩固了本章才学的三角形的内角和定理、三角形外角的性质、四边形的内角和为 360 等知识，而且很好地通过辅助线 的铺路搭桥作用 ，探究了 问
17、题的不同解决方案 ，及时复习了平行线的性质、垂直 的定义等知识， 学生的解题思路多达 20种， 给人一种“失之东隅，收之桑榆”的感觉。 让笔者真正体会到： 课堂不 再是老师一个人的独角戏，不是老师一个人的舞台。把课堂还给了学生后，我们 发现：原来学生同样很有才，甚至比你还精彩！ 教学启示 荷兰数学家费赖登塔尔认为：“学习数学的唯一正确方法是再创造，教师的任务是引导和帮助学生去进行这种在创造工作”。因此，教师的课堂教学必须让学生通过自身的的实践活动来主动获取知识，让学生在学习中掌握进行再创造的方法。数学习题讲评 课 不能因时间紧，题量大让教师包办代替 ，演变成教师的一言堂 ，数 学讲评课应该是师
18、生交流，生生交流的群言堂。教师在教学活动中应该多尝试、培养学生“讲题”的训练，充分发挥学生的主观能动性。要给学生 充分 展示自己思维过程的机会，把学习的时间、空间 、过程 还给学生，把评价的权利 和提问的权利 还给学生 ； 课堂教学 探究活动中，学生会有不同的感受和体验，对问题也会出现不同的理解和开发，这些都是学生积极投身和亲历探究实践之后所获得的，应该珍惜 。即使学生的解题方法不是很巧妙，甚至很复杂或者不完善，教师也应给予及时鼓励、纠正、引导 ，努力培养学生的发散思维能力。 教学过程中的教学内容 无论是教师精心 预设的，还是在课堂上灵动生成的，教师都应该 判断学生的想法到底有没有教学价值，当
19、你做出正确判断后就要依据学生在活动中表现出来的兴趣、产生的想法和困惑，支持、帮助、引导他们并和他们一起去研究、探索 ，从而找到问题解决的有效办法； 教材应该是最经济、最实惠的教辅，它凝聚了教育专家的智慧，有取之不尽、用之不竭的题源。 目前流行“用教材，不是教教材”并不意味着可以放弃教材，课本上的每一道例题和习题都是经过精挑细选的 ， 具有一定的典范性 ,对培养学生的“四基”大有裨益 ,作为教师应重视课本习题 ,充分发挥其在解题训练中的作用 。 在 日常的教学中，教师要按照新课程标准的要求，根植于课本 , 潜心研究教材，重视对教材例题、习题进行“再创造”，推陈出新，适当进行演变、拓展和创造，引导
20、学生从不同的 角度思考问题，获取不同的解法，从教材中看似平淡的例习 题中获得新意， 让学生7 去发掘课本例题、习题的内涵，充分发挥教材的导向和引领作用， 这样既可以引导学生重视教材，又可以培养学生的探索精神和创新意识 ， 达到举一反三、以一题带一串、以少胜多、触类旁通的学习效果； 对于在习题讲评课中的一些好题，老师不能就题论 题，应该透过现象看本质、从而 引导学生进行开放 式 、发散式 讲解，注意“一题多解”和“一解多题”，“一题多联”和“一题多变”，要注意发 挥学生的主体作用，吸引学生参与进来，让学生成为习题讲评课的主人 。我们常常发现， 对于不同解法的探索既能拓宽学生解决问题的思路，又能加
21、深学生对这个问题本质的理解。 学生的解 法老师不一定 想 得 到，他们有新颖的思路或独到的见解甚至他们的方法更简单 ，有时可能方法不是很好，教师也要 及时 鼓励归纳整理，力求 介绍 自然解法。另外，评价学生的解法时，教师并没有倾向哪一种方法，而是让学生自己选择最优化的解法，培养学生思维的合理性和解法的优化意识； 习题讲评课 一 定要 注重 评讲的 针对性， 坚持 第一时间讲评，注重 讲评的实效性；加强情感交流，注重激励性；举一反三讲评，注重综合性； 师生互动交流，发挥 学生的 主体性 。 只有充分激发和培养学生的学习动机，学生在习题讲评中得到了鼓励，也在讲评中掌握更多的方法，视野变宽了，解题思路变活了，知识点掌握起来也就更容易了，把学生的学习主动性和积极性充分调动起来，课堂教学才能取得最大的收益。 参考文献 1刘东升 .让学生在“讲题”中提高数学能力 J中学数学教学参考：中旬， 2011（ 7） :7-8. 2王 炜 .如何上好数学习题讲评课 J 中学数学杂志：初中版， 2008（ 6）： 23 24. 3石建华 .教出课本习题的精彩 J中学数学教学参考：中旬， 2011（ 1-2） :47-48.
