1、工程数学期末复习综合练习题解答（1506）计算题（每小题 10 分）1、为防止意外，在矿区内同时安装了甲、乙两种报警系统。甲系统有效的概率为 0.92，乙系统有效的概率为 0.93，两种系统独立工作，求在发生意外时，矿区内至少有一个报警系统有效的概率。解：记 A=“甲系统有效” ，B=“乙系统有效” ，且 A、B 相互独立至少有一个系统有效的概率为 P(AB)= P(A)+P(B)-P(AB) = P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.92+0.93-0.920.93=0.99442、一个系统由三个独立工作的元件按 与 先并联，然后再与 串联的方式连接而成，元abc件 正常工作的概率分别为
2、 ，求系统正常工作的概率。cba, 9.0,87.解：记 A=“ 元件工作正常” ，B=“ 元件工作正常” ，C=“ 元件工作正常” ，且 A、B、C 相互独立系统正常工作的概率为P(AB)C)= P(ACBC)= P(AC)+P(BC)-P(ABC)=P(A)P(C)+P(B)P(C)-P(A)P(B)P(C)=0.70.9+0.80.9-0.70.80.9=0.8463、甲、乙、丙三厂生产同样的产品混合后放在一起，甲、乙、丙三厂的产品分别占40%、30%、30%，产品的次品率依次为 , 现从混合后的产品中任取 1 件，问10,24这件产品为次品的概率是多少？又若已知抽出的一件为次品，问这件
3、次品出自甲工厂的可能性多大？解：记 表示“取到 厂的产品” ， ， 表示“取到的产品为次品”iAi,3iB， ， 1()0.4P2()0.A()0.P， ，|B1|B31|4A123()|)(|)(|)(BP0.4.30.246511(|)(|) .4.2PBA这件次品出自甲工厂的可能性为 50%4、 有朋自远方来，计划 12 点钟到达。他乘火车来的概率为 0.3，乘轮船来的概率为 0.2，乘飞机来的概率为 0.5 ，他不会乘汽车来。如果他乘火车来，迟到的概率为 0.2，乘轮船来，迟到的概率为 0.3，而乘飞机来的话则不会迟到。求他迟到的概率；又若已知他迟到了，那么他是乘火车来的概率是多少？解
4、：记 A 为乘火车，B 为乘轮船，C 为乘飞机，D 为迟到则 P(A)=0.3，P(B)=0.2，P(C)=0.5， 且 P(D|A)=0.2，P(D|B)=0.3，P(D|C)=0 由全概公式 ()(|)(|)(|)PAPBCPD0.32.03.50.12由贝叶斯公式 (|)(|).D5、炮战中，在距目标 500 米、400 米、200 米处射击的概率分别为 0.2、0.6、0.2，而在相应位置射击时，击中目标的概率分别为 0.05、0.2、0.4，求目标被击中的概率；又若已知目标被击中，那么射击是在 400 米处进行的概率是多少?解：记 A 为距目标 500 米射击，B 为距目标 400
5、米射击，C 为距目标 200 米射击，D 为击中目标则 P(A)=0.2，P(B)=0.6，P(C)=0.2 且 P(D|A)=0.05，P(D|B)=0.2，P(D|C)=0.4由全概公式 ()(|)(|)(|)PADPBPDC0.25.602.40.21由贝叶斯公式 (|)(|) 57.B6、已知某种机器正常工作的寿命（年）服从正态分布 。今购买一批这种机2(1,)XN器。（1）试求某台机器正常工作的寿命不少于 10 年的概率；（2）若机器的寿命超过某个年限后，可认为是超长寿命的机器。今设超长寿命的机器占 5，试求这一年限。（ ）()0.843,(1.65)0.9,(1.6)0.975,(
6、2)0.97解：记 为机器寿命，则X2XN（1） ()()P1()()2XP10.843（2）设这一年限为 ，那么由题意应有 x()0.5x12()()XPXP12()0.5x，查表得 ，从而12()0.95x12.65x1.3x6、设随机变量 X 服从正态分布 。试求80N(,)（1） ；（2） ；（3） 。(84)P72PX(8)PX（ ）0.5691,(.41,(.5)9,20.97解： 2(,)XN（1） 804()2XP(.（2） 780(72) )2P)(1.5(1(.5).413.910.745（3） 8(8383)XPX()688、设随机变量 X 服从正态分布 。试求2(0,N
7、（1） ；（2） ；（3） 。(9)4)P(32)P（ ）0.561,(.81,(.509,0.97解： 2(3,)XN（1） 30299()XP(.)1(.5).610.385（2） 8304(84) 2P(1(2(1).97.830.8（3） ()3)XPX1().579、设随机变量 的密度函数为 ， 求04()Axf其（1）常数 的值； （2） ， AEX)D解：由 ，得40()81fxdxA8344002xEXfd44222001()()883xEXxfdd22()9DEX10、设离散型随机变量 的分布律为1 0 1 20.1 0.2 0.3 pk 0.4求 ， ()EXD解： 10.
8、210.3.412()2220.()DXEX11、设随机变量 的密度函数为 ， 求2()0xf其（1）常数 的值； （2） ， EDX解：（1）因为 ()1fxd即 ，所以2001（2） 102()()3EXxfxd22221()()8D12、已知某机器加工的零件尺寸（mm）服从正态分布 ，现从该机器加工的一批2(,)N零件中随机抽取了 9 个样品进行测量，测得尺寸为：578，578，572，570，572，570，572，588，584求这批零件尺寸平均值的置信度为 0.95 的置信区间（ ）0.25196z解：样本均值为 ， ， ，现 ，查表得576x9n82.z故 的置信度为 0.95
9、的置信区间为 22(,)xzxzn88(5761.9,5761.9)(570.,81.23)13、随机抽取 5 炉铁水，测得其含炭量，得到样本平均值为 ，并由累积资料得4.56x知铁水含炭量服从 ，试求 的置信度为 95的置信区间。 （ ）2(,0.)N0.25196z解： ， ， ，现 ，查表得4.26xn180.5219z.故 的置信度为 95的置信区间为 22(,)xzxn01801845269456943685.(.,)(.,.)14、随机地从一批零件中抽取 16 个，测得平均长度 为 ，标准差 。cm2.5x0.18s设零件长度分布为正态分布，试求这批零件尺寸平均值的置信度为 0.9
10、5 的置信区间（， ， ）0.25(1).3t0.25(16).9t0.5(1).73t解： ，现 ，查表得 6n23故 的置信度为 0.95 的置信区间为22(,)ssxttn0.180.18(2.35.,.35.)(.54,.26)6615、某厂生产的某种铝材的长度 服从正态分布，其均值设定为 260cm. 现从该厂抽取 9X件产品，测得 cm， ，试判断该厂此类铝材的长度是否满足设定要求？9.x20.s（取 ） （ ， ， ）05.025()6t.25(8).306t.05(8)1.9t解： ， :H10:H选统计量 ， ，现 ，查表得 0()XttnS90.50.25(8).360t0
11、259.632.6xtsn拒绝假设 ，即认为该厂此类铝材的长度不满足设定要求0H16、某次考试的学生成绩 服从正态分布，现从中随机抽取 36 名考生成绩，算得平均成X绩为 68.5 分，标准差 8 分，问可否认为这次考试全体学生的平均成绩为 70 分？xs（取显著性水平 ）05.（ ， ， ）0.25(36)81t.2(3).01t0.5(3)1.689t解： ，0:7H1:7选统计量 ， ，现 ，查表得0()XttnS360.50.25(3).01t068.571.2.13xtsn接受假设 ，即认为此次考试全体学生的平均成绩为 70 分0H17、机器自动包装白糖，每袋重量 服从正态分布，规定
12、每袋白糖的标准重量为 1000g。X某天开工后，为了检验机器是否正常工作，从已包装好的白糖中随机抽取 9 袋，测得g， ，问这天自动包装机工作是否正常？（取 ） （98x216s 05.， ， ）0.25().t0.25(8).360t.5(8)1.9t解： ，:H1:H选统计量 0()XttnS，现 ，查表得9n.50.258.360t081.49xts接受假设 ，即认为该天自动包装机工作正常0H18、设 ，求 拉氏逆变换。2()3sF()Fs解： 2()1s231Cs1 33()()4sssC2 11()()()sss314F131()()4ttftLFse19、设 ，求 拉氏逆变换。2s()解： 211()43()s123Cs1 33()()sssC2 11()(3)()sss1F3()()2tftLse20、设 ，求 拉氏逆变换。256s()F解： 211()(2)3Fs123Cs1 22()()ssCs2 331()()()ss1Fs23()()ttftLse
