1、 1 一九九四年全国高考数学试题 理科试题 一选择题： 本题共 15 个小题 ;第（ 1） -（ 10）题每小题 3 分，第（ 11）-（ 15）题每小题 4分 .共 50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。把所选项前的字母填在题后括号内 。 （ 1）极坐标方程 )4cos( 所表示的曲线是 （ D ） （ A）双曲线 （ B）椭圆 （ C）抛物线 （ D）圆 （ 2）如果方程 222 kyx 表示焦点在 y 轴上的椭圆，那么实数 k的取值范围是 （ D ） （ A）（ 0， +） (B)（ 0， 2） (C)（ 1， +） (D)（ 0， 1） (3) nnnnnnnCC
2、CC 2221lim 2 210 （ B ） （ A） 0 （ B） 21 （ C） 1 （ D） 2 （ 4）设 是第二象限的角，则必有 （ A ） （ A） 22 ctgtg （ B） 22 ctgtg （ C） 2cos2sin （ D） 2cos2sin （ 5）若直线 x+ay+2=0和 2x+3y+1=0互相垂直，则 a= （ A ） （ A） 32 （ B） 23 （ C） 32 （ D） 23 （ 6）某种细菌在培养过程中，每 20 分钟分裂一次（一个分裂为两个）。经过 3 小时，这种细菌由 1个可繁殖成 （ B ） （ A） 511个 （ B） 512个 （ C） 1023个
3、 （ D） 1024个 （ 7）在下列函数中，以 2 为周期的函数是 （ D ） （ A） xxy 4co s2sin （ B） xxy 4cos2sin （ C） xxy 2co s2sin （ D） xxy 2cos2sin 2 （ 8）已知正六棱台的上、下底面边长分别为 2和 4，高为 2，则其体积为 （ B ） （ A） 332 （ B） 328 （ C） 324 （ D） 320 （ 9）使 ni)26( 是纯虚数的最小自然数 n= （ A ） （ A） 3 （ B） 4 （ C） 5 （ D） 6 （ 10）有甲、乙、丙三项任务，甲需 2 人承担，乙、丙各需 1人承担。从 10 人
4、中选派 4人承担这三项任务，不同的选法共有（ C ） （ A） 1260种 （ B） 2025种 （ C） 2520种 （ D） 5040种 （ 11）对于直线 nm, 和平面 , 的一个充分条件是 （ C ） （ A） /,/, nmnm （ B） nmnm , （ C） mnnm ,/ （ D） nmnm ,/ （ 12）设函数 ),01(11)( 2 xxxf 则函数 )(1 xfy 的图象 （ 13）已知过球面上 A、 B、 C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且 AB=BC=CA=2，则球面面积是 （ D ） （ A） 916 （ B） 38 （ C） 4 （ D） 964 （
5、 14）函数 )323)(a r c c o s ( s in xxy 的值是 （ B ） （ A） )65,6( （ B） )65,0 （ C） )32,3( （ D） )32,6 （ 15）定义在（ -， +）上的任意函数 f(x)都可以表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数 h(x)之和 .如果 )110lg()( xxf ， x（ -， +） ,（ A） Y （ B） Y （ C） Y 1 （ D） Y （ B ） 1 1 1 -1 O X O X O 1 X O X -1 -1 3 那么 （ C ） （ A） )21010lg ()(,)( xxxhxxg （ B） )110 lg (
6、21)(,)110 lg (21)( xxhxxg xx （ C） 2)110lg ()(,2)( xxhxxg x （ D） 2)110lg ()(,2)( xxhxxg x 二填空题：本大题共 5 小题 ;每小题 3分，共 15 分。把答案填在题中横线上。 （ 16）抛物线 xy 482 的准 线方程是 _ 答： x=3 （ 17）在 )()( 7 Nmmx 的展开式中， 5x 的系数是 6x 的系数与 4x 的系数的等差中项，则 m=_ 答： 1 （ 18）若 s inc o s,2s in,2345 则a的值是 _ 答： a1 （ 19）设圆锥底面圆周上两点 A、 B间的距离为 2，圆
7、锥顶点到直线AB的距 离为 3 ， AB和圆锥的轴的距离为 1，则该圆锥的体积为 _ 答： 322 （ 20）在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得 n次测量分别得到 , 21 naaa 共 n 个数据。我们规定所测量物理量的“最佳近似值” a 是这样一个量：与其它近似值比较， a 与各数据的差的平方和最小。依此规定，从 naaa , 21 推出的 a =_ 4 答： )(121 naaan 三解答题：本大题共 5 小题 ;共 50 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。 （ 21） （本小题满分 8分） 已知 z=1+i （）设 ,432 zz 求 的三角形式 ; （）如
8、果 ,1122 izz bazz 求实数 ba, 的值。 解：（ ）由 z=1+i，有 )45s i n45( c o s2,14)1(324)1(3)1(43 _22iiiiiizz的三角形式是（）由 z=1+i，有 .2,1.1)(,12,1)()2()()2()2()(1)1()1()1()1(1 2222babaaiibaaibaaiiabaiibiaizzbazz解得得根据复数相等的定义由题设条件知（ 22） （本小题满分 10 分） 已知函数 )2,0(,)( xtgxxf 若2121 ),2,0(, xxxx 且，证明： ).2()()(21 2121 xxfxfxf 证明：22
9、1121 c o ss inc o ss in xxxxtg xtg x 21211 c o sc o s s inc o sc o ss in xx xxxx 5 )c o s ()c o s ()s in (2c o sc o s)s in (2121212121xxxxxxxxxx0c o sc o s,0)s in (2,),2,0(,21212121xxxxxxxx )c os (1)c os ()c os (0,1)c os (0 21212121 xxxxxxxx 从而有且 ,2)(21)c o s (1)s in (22121212121xxtgtg xtg xxxxxtg x
10、tg x因此得即 ).2()()(21 2121 xxfxfxf （ 23） （本小题满分 10 分） 如图，已知 A1B1C1-ABC是正三棱柱， D是 AC中点。 （）证明： AB1平面 DBC1; （）假设 AB1 BC1，求以 BC1为棱， DBC1与 CBC1为面的二面角 的度数。 （）证明： A1B1C1-ABC 是正三棱柱，四边形 B1BCC1是矩形。 连结 B1C 交 BC1于 E，则 B1E=EC。 连结 DE，在 AB1C中， AD=DC， DE AB1，又 AB1 平面 DBC1， DE平面 DBC1， AB1平面 DBC1 （）解：作 DF BC，垂足为 F，则 DF面
11、 B1BCC1。连结 EF，则 EFA1 A D C1 C F E G B1 B 6 是 ED 在平面 B1BCC1上的射影。 AB1 BC1，由（）知 AB1 DE， DE BC1，从而 EF BC1， DEF 是二面角 的平面角。 设 AC=1，则 DC=21 ， ABC 是正三角形， 在 Rt DEF中， .41c o s,4 3s in CDCCFCDCDF 取 BC 的中点 G， EB=EC， EG BC 在 Rt BEF中， EF2=BF GF， 又 BF=BC-FC=43 ， GF=41 ， EF2= 4143 ，即 EF=43 ,14343 EFDFD E Ftg DEF=45
12、0 故二面角 =450。 （ 24） （本小题满分 10 分） 已知直角坐标平面上一点 Q（ 2， 0）和圆 C： x2+y2=1，动点 M到圆 C 的切线长等于圆 C的半径与 |MQ|的和。求动点 M的轨迹 方程，说明它表示什么曲线，并画出草图。 解：如图设 MN切圆于 N， 又圆的半径 |ON|=1， 所以|OM|2=|MN|2+|ON|2=|MN|2+1， Y M N O 35 Q X 7 依题意，动点 M 组成的集合为 P=M|MN|=|MQ|+1 =M| 1|1| 2 MQOM 设点 M 的坐标为（ x,y)，则 ,0)2(321)2(1222222yxxyxyx整理得)23(058
13、3 22 xxyx即 经检验，坐标适合这个方程的点都属于集合 P，故这个方程为所求的轨迹方程 所求方程可化为 )23(13191)34( 22xyx 它所表示的曲线是以点 )0,34( 为中心，实轴在 x 轴上的双曲线的右支，顶点坐标为 )0,35( 。如图所示。 （ 25） （本小题满分 12 分） 设 na 是正数组成的数列，其前 n 项和为 Sn，并且对于所有的自然数 n, na 与 2的等差 中项等于 Sn与 2的等比中项。 （）写出数列 na 的前 3项 ; （）求数列 na 的通项公式（写出推证过程） 解：（）由题意，当 n=1时有 ,1111 ,22 2 aSSa ,22 222
14、,22 221222111aaSSanaaa时有当解得 8 10,0,64)2(6,2,22236,0,16)2(233232132123322221aaaaaaaaSSanaaaa解得由代入整理得将时有当解得由代入整理得将故该数列的前 3 项为 2， 6， 10。 （）解法一：由（）猜想数列 na 有通项公式 )(24 Nnnan 下面用数学归纳法给予证明 当 n=1时，因为 ,2214 又在（）中求出 ,21a 所以上述结论成立。 假设 n=k时结论成立，即有 24 kak 由题意，有 ,22 2kk Sa 将 24 kak 代入上式，得 ,22 kSk 解得 22kSk 由题意，有 得代
15、入将 ,2,22 2 211 kSSa kkk 0164),2(2)2 2(21122121kaakaakkkk整理得2)1(442 42,01 11 kka kaa k kk所以 解得由这就是说 ,n=k+1时，上述结论成立。 根据，上述结论对所有自然数 n成立。 解法二：由题意，有 )(22 2 NnSann 整理得 ,)2(81 2nn aS9 由此得 ,)2(81 211 nn aS,)2()2(81 22111 nnnnn aaSSa ,4,0 ,0)4)( 11 11 nnnn nnnn aaaa aaaa由题意知整理得即数列 na 为等差数列，其中 21a ，公差 d=4 .24
16、),1(42)1(1 nandnaa nn 即通项公式为 文科试题 一选择题： 本题共 15 个小题 ;第（ 1） -（ 10）题每小题 3 分，第（ 11）-（ 15）题每小题 4分 .共 50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。把所选项前的字母填在题后括号内 。 （ 1）点（ 0， 5）到直线 y=2x的距离是 （ B ） （ A） 25 （ B） 5 （ C） 23 （ D） 25 （ 2）如果方程 222 kyx 表示焦点在 y 轴上的椭圆，那么实数 k的取值范围是 （ D ） （ A）（ 0， +） (B)（ 0， 2） (C)（ 1， +） (D)（ 0， 1）
17、 (3) nnnnnnnCCCC 2221lim 2 210 （ B ） （ A） 0 （ B） 21 （ C） 1 （ D） 2 （ 4）设 是第二象限的角，则必有 （ A ） （ A） 22 ctgtg （ B） 22 ctgtg （ C） 2cos2sin （ D） 2cos2sin （ 5）若直线 x+ay+2=0和 2x+3y+1=0互相垂直，则 a= （ A ） 10 （ A）32（ B）23（ C） 32 （ D） 23 （ 6）某种细菌在培养过程中，每 20 分钟分裂一次（一个分裂为两个）。经过 3 小时，这种细菌由 1个可繁殖成 （ B ） （ A） 511个 （ B） 51
18、2个 （ C） 1023个 （ D） 1024个 （ 7）在下列函数中，以 2 为周期的函数是 （ D ） （ A） xxy 4co s2sin （ B） xxy 4cos2sin （ C） xxy 2co s2sin （ D） xxy 2cos2sin （ 8）已知正六棱台的上、下底面边长分别为 2和 4，高为 2，则其体积为 （ B ） （ A） 332 （ B） 328 （ C） 324 （ D） 320 （ 9）使 ni)26( 是纯虚数的最小自然数 n= （ A ） （ A） 3 （ B） 4 （ C） 5 （ D） 6 （ 10）有甲、乙 、丙三项任务，甲需 2 人承担，乙、丙各需 1人承担。从 10 人中选派 4人承担这三项任务，不同的选法共有（ C ） （ A） 1260种 （ B） 2025种 （ C） 2520种 （ D） 5040种 （ 11）对于直线 nm, 和平面 , 的一个充分条件是 （ C ） （ A） /,/, nmnm （ B） nmnm , （ C） mnnm ,/ （ D） nmnm ,/ （ 12）设函数 ),01(11)( 2 xxxf 则函数 )(1 xfy 的图象 （ A） Y （ B） Y （ C） Y 1 （ D） Y （ B ） 1 1 1 -1 O X O X O 1 X O X -1 -1
