1、二 0 一 0 年中考数学压轴题汇总 十一 1、（ 2010 年江苏盐城， 28， 12 分）已知：函数 y=ax2+x+1 的图象与 x 轴只有一个公共点 （ 1）求这个函数关系式； （ 2）如图所示，设 二次 函数 y=ax2+x+1 图象的顶点为 B，与 y 轴的交点为 A， P 为图象上的一点，若以线段 PB 为直径的圆与直线 AB 相切于点 B，求 P 点的坐标； （ 3）在 (2)中，若圆与 x 轴另一交点关于直线 PB 的对称点为 M，试探索点 M 是否在抛物线 y=ax2+x+1 上，若在抛物线上，求出 M 点的坐标；若不在，请说明理由 【分析】 （ 1） 根据根与系数的关系，
2、可以得出 函数 y=ax2+x+1 的图象与 x 轴只有一个公共点则， =1- 4a=0，可以求出 函数的解析式为： y=x+1 或 y=14 x2+x+1.（ 2） 设 P 为二次函数图象上的一点，过点 P 作 PC x 轴于点 C可得解析式为： y=14 x2+x+1. 则顶点为 B（ -2， 0），图象与 y 轴的交点坐标为 A（ 0， 1），坐标为 A（ 0， 1），从而可以得到 Rt PCB Rt BOA，可得 PC=2BC， 设 P 点的坐标为 (x， y)，可求出 x 即：当 n 为非负整数时，如果 11,22n x n-+ n 如： 0， 1， 2， 4， 试解决下列问题： （
3、 1）填空： （为圆周率）； 如果 3，则实数 x 的取值范围为 ； （ 2）当 xmmxmx :,0 求证为非负整数时 ； 举例说明 yxyx 不恒成立； （ 3）求满足 43xx= 的所有非负实数 x 的值； （ 4）设 n 为常数，且为正整数，函数 y x2 x 14 的自变量 x 在 n x n 1 范围内取值时，函数值 y 为整数的个数记为 a；满足 kn= 的所有整数 k 的个数记为b. 求证： a b 2n. 【分析】 (1)第一空： 3，所以填 3；第二空：根据题中的定义得 3-12 2x 1 3+12 ，解这个不等式组，可求得 x 的取值范围；（ 2）根据定义进行证明和举反例
4、；（ 3）用图象法解，可设 y ， y 43x ，在直角坐标系中画出这两函数的图象，交点的横坐标就是 x 的值（ 4）根据在 12 n x n 1 范围内 y 随 x 的增大而增大，所以可得出 y 的取值范围，从而求出y 的整数解的个数，同样地由定义得， 1122n k n- ? +，把此式两边平方可得2211( ) ( ) ,n k n- ? +k 与 y 的取值范围一致所以 a b. 【答案】 （ 1） 3； x79 n，则 n 12 x n 12 ， n 为非负整数； 又 (n m) 12 x m (n m) 12 ，且 m n 为非负整数， n m m 法二 设 x k b， k 为
5、x 的整数部分， b 为其小数部分 1）当 0 b 0.5 时， k m x (m k) b， m k 为 m x 的整数部分， b 为其小数部分 m k m 2）当 b 0.5 时， k 1 则 m x (m k) b， m k 为 m x 的整数部分， b 为其小数部分 m k 1 m 综上所述： m 举反例： 1 1 2，而 1， ， 不一定成立 （ 3） 法一 作 xyxy 34, 的图象，如图 （注：只要求画出草图，如果没有把有关点画成空心点，不扣分） y 的图象与 y 43x 图象交于点 (0， 0)、 3( ,1)4 、 3( ,2)2 x 0， 33,42 法二 x 0， 43
6、x 为整数，设 43x k， k 为整数 则 x 34k ， 34k k， 1 3 1 ,02 4 2k k k k 0 k 2， k 0， 1， 2 x 0， 33,42 （ 4）函数 y x2 x 14 (x 12 )2， n 为整数， 当 n x n 1 时， y 随 x 的增大而增大， (n 12 )2 y (n 1 12 )2 即 (n 12 )2 y (n 12 )2， n2 n 14 y n2 n 14 ， y 为整数 y n2 n 1， n2 n 2， n2 n 3， n2 n 2n，共 2n 个 y. 0.5 O 0.5 1 1.5 2 2.5 x y 3 2.5 2 1.5
7、 1 0.5 a 2n （ 8 分） 则 ,)21()21(,2121 22 nknnkn 比较，得： a b 2n 【涉及知识点】 近似数，整数，二次函数，不等式 【点评】 这是一道创新题，要求学生读懂定义，能用定义解决简单的实际问题，然后能更进一步地结合已经学过的知识进行拓展，是一道不易的压轴题，学生 要在短时间解决此问题，要求平时的学习要有一定的创新思维，特别是自学习能力的培养显得尤为重要就这题而言，对不等式组，及不等式组的整数解的应用要掌握得非常熟练，还有二次函数式的变形能力也要求较高 4、 26 （ 2010 辽宁铁岭 26 14 分） 如图，在平面直角坐标系中，已知点 A、 B、
8、C 的坐标分别为 ( 1， 0)，（ 5， 0），（ 0， 2） （ 1）求过 A、 B、 C 三点的抛物线解析式 （ 2）若点 P 从 A 点出发，沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度向 B 点移动，连接PC 并延长到点 E，使 CE PC，将线段 PE 绕点 P 顺时针旋转 90得到线段 PF，连接 FB若点 P 运动的时间为秒，（ 0 6）设 PBF 的面积为 S 求 S 与 t 的函数关系式 当 t 是多少时， PBF 的面积最大，最大面积是多少？ （）点 P 在移动的过程中， PBF 能否成为直角三角形？若能，直接写出点 F 的坐标；若不能，请说明理由 【分析】 （ 1）由三
9、点坐标即可求得抛物线的解析式；（ 2）根据点 P 在点的位置需要分类讨论，再根据相似三角形知识列出 S 与 t 的二次函数关系式，通过顶点式或公式求得最大面积；（）是直角三 角形，也要分两种情况（点 F 在原点左侧与右侧）通过勾股定理的逆定理进行讨论求出。 x y 10 8 6 4 2 2 4 6 87654321123ACBPEF【答案】 解：（ 1）设抛物线的解析式为 y ax2 bx c(a0)，把 A( 1， 0)， B(5， 0) C(0， 2)三点代入解析式得 025 5 02a b ca b cc 228255y x x （ 2）过点 F 作 FD x 轴于 D 当点 P 在原点
10、左侧时， BP 5 t， OP t 在 Rt POC 中， PCO CPO 90 FPD CPO 90， PCO FPD POC FDP， CPO PFD， PCPFPOFD PF PE 2PC FD 2PO 2t S PBF 12BP DF t2 5t( 1t 0) 当点 P 在原点右侧时， OP tBP 5 t CPO PFD FD 2t S PBF 12BP DF t2 5t(0 t 5) （ 3）能 12 分 t 1 或 t时， PFB 是直角三角形 14 分 【涉及知识点】相似、二次函数、三角形面积、分类讨论 10 8 6 4 2 2 4 6 86543211234DACBPEFx
11、y O x y 10 8 6 4 2 2 4 6 87654321123ACBPEFD 0 2 51【点评】通过三角形相似得到线段间的关系式是常用的方法，注意结合图形进行分类讨论的方法。 5、 （ 2010 江西， 25， 10 分）课题：两个重叠的正多边型，其中一个绕某一顶点旋转所形成的有关问题。 实验与论证 设旋转角 A1A0B1=（ A1A0A2） , 3， 4， 5， 6， 所表示的角如图所示。 （ 1） 用含 的式子表示角的度数： 3=_4=_5=_ （ 2）图 1图 4 中，连接 A0H 时，在不添加其他辅助线的情况下，是否存在与直线 A0H 垂直且被它平分的线段？若存在，请选择期
12、中的一个图给出证明；若不存在，请说明理由； 归纳与猜想 设正 n 边形 A0A1A2 An 1 与正 n 边形 A0B1B2 Bn 1 重合（其中， A1 与 B1 重合），现将正 n 边形 A0B1B2 Bn 1 绕顶点 A0 逆时针旋转 （n 1800 ） （ 3）设 n 与上述 “3， 4， ” 的意义一样，请直接写出 n 的度数； （ 4） 试猜想在正 n 边形的情形下，是否存在与直线 A0H 垂直且被它平分的线段？若存在，请将这条线段用相应的顶点字母表示出来（不要求证明）；若不存在，请说明理由 【分析】（ 1）要求 的度数，应从旋转中有关角度的变与不变上突破；（）结合图形比较容易得到
13、被 0AH垂直平分的线段，在证明时要充分利用背景中正多边形及旋转中的角度；（）要探究 n 的度数，要注 意区分正偶数边形及正奇数边形两种情形去思考与求解度数的表达式；（）要探究正边形中被 0AH垂直平分的线段，也应注意区分正偶数边形及正奇数边形两种情形去思考与突破； 【答案】解：（） 60 , , 36 （）答案不唯一，选图，图中有直线 0AH垂直平分 21AB 证明： 0 1 2AAAV 与 0 1 2ABBV 是 全 等 的 等 边 三 角 形 ， 0 2 0 1A A A B ， 0 2 1 0 1 2A A B A B A ， 21A H BH ， 点 H 在线段 21AB 的垂直平分
14、线上，所以图 1 图 2 图 3 图 4 4 6 5 3HHHHB 4A 4B 2B 3B 3B 4B 5A 5A 4B 3A 3A3A 3A 2A 2A 2B 2B 2B 1 B1 B 1A 0 A 0A 1 A 1 A 1A 2B 2A 0B 1A 1A 0直线 0AH垂直平分 21AB （ ）当 n 为奇数时， 180n n当 n 为偶数时， n （）存在，当 n 为奇数时，直线 0AH垂直平分1122nnAB 当 n 为偶数时，直线 0AH垂直平分22nnAB 【涉及知识点】正多边形、旋转、规律探究题 【点评】本题是以旋转操作为背景的课题学习题， 尤其是在这道题中，先探讨简单情景下存在
15、的某个结论，然后进一步推广到一般情况下，原来结论是否成立， 本题题型新颖是个不可多得的好题，有利于培养学生的思维能力，但难度较大，具有明显的区分度 6、 （ 2010 辽宁大连， 26， 12 分） 如图，抛物线 F： 2 ( 0 )y a x b x c a 与 y 轴相交于点C，直线 1L 经过点 C 且平行于 x 轴，将 1L 向上平移 t 个单位得到直线 2L ，设 1L 与抛物线 F 的交点为 C、 D， 2L 与抛物线 F 的交点为 A、 B，连 接 AC、 BC （ 1）当 12a ， 32b ， 1c ， 2t 时，探究 ABC 的形状，并说明理由； （ 2）若 ABC 为直角
16、三角形，求 t 的值（用含 a 的式子表示）； （ 3）在（ 2）的条件下，若点 A 关于 y 轴的对称点 A恰好在抛物线 F 的 对称轴 上，连接AC， BD，求四边形 ACDB的面 积（用含 a 的式子表示） 【分析】 （ 1）由于已知抛物线求出点 C 的坐标，再确定 A、 B 的坐标，进而求出三边的长度，从而根据勾股定理判断是直角三角形 ； （ 2）注意利用 “直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ”建关于 t 的方程求解；（ 3）在（ 2）的条件下，根据图形对称的性质，得到 四边形 ACDB是平行四边形和 ACA为等边三角形 ，进而用 a 表示出 四边形 ACDB的面积 2L O C A B D x 1Ly
