1、 最专业的 K12 教研 交流 平台 1 2017年北京市高级中等学校招生考试 数 学 试 题 一、 选择题 （ 本题共 30 分，每小题 3 分） 1.如图所示，点 P 到直线 l 的距离是 （ ） A 线段 PA 的长度 B 线段 PB 的长度 C 线段 PC 的长度 D 线段 PD 的长度 2.若代数式4xx有意义，则实数 x 的取值范围是 （ ） A 0x B 4x C 0x D 4x 3. 右图是某个几何题的展开图，该几何体是（ ） A 三棱柱 B 圆锥 C 四棱柱 D 圆柱 4. 实数 , , ,abcd 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是 （ ） A 4a B 0bd
2、 C. ab D 0bc 5.下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A B C. D 6.若正多边形的一个内角是 150，则该正多边形的边数是（ ） A 6 B 12 C. 16 D 18 7. 如果 2 2 1 0aa ，那么代数式 242aa aa的值是 （ ） A -3 B -1 C. 1 D 3 8.下面的统计图反映了我国与“一带一路”沿线部分地区的贸易情况 . 2011-2016 年我国与东南亚地区和东欧地区的贸易额统计图 最专业的 K12 教研 交流 平台 2 （以上数据摘自“一带一路”贸易合作大数据报告（ 2017） 根据统计图提供的信息，下列推理不合理的是 （
3、） A 与 2015 年相比， 2016 年我国与东欧地区的贸易额有所增长 B 2011-2016 年，我国与东南亚地区的贸易额逐年增长 C. 2011-2016 年，我国与东南亚地区的贸易额的平均值超过 4200 亿美元 D 2016 年我国与东南亚地区的贸易额比我国与东欧地区的贸易额的 3 倍还多 9.小苏和小林在右图所示的跑道上进行 4 50 米折返跑 .在整个过程中，跑步者距起跑线的距离 y （单位：m ）与跑步时间 t （单位： s ）的对应关系如下图所示 .下列叙述正确的是（ ） 最专业的 K12 教研 交流 平台 3 A 两人从起跑线同时出发，同时到达终 点 B 小苏跑全程的平均
4、速度大于小林跑全程的平均速度 C. 小苏前 15s 跑过的路程大于小林前 15s 跑过的路程 D 小林在跑最后 100m 的过程中，与小苏相遇 2 次 10. 下图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验 的结果 . 下面有三个推断： 当投掷次数是 500 时，计算机记录“钉尖向上”的次数是 308，所以“钉尖向上 ”的概率是 0.616； 随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在 0.618 附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是 0.618； 若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为 1000 时，“钉尖向上”的概率一定是 0.620. 其中合理的是 （ ） A B
5、 C. D 二、填空题（ 本题共 18 分，每题 3 分 ） 11. 写出一个比 3 大且比 4 小的无理数： _ 12. 某活动小组购买了 4 个篮球和 5 个足球，一共花费了 435 元，其中篮球的单价比足球的单价多 3元，求篮球的单价和足球的单价 .设篮球的单价为 x 元，足球的单价为 y 元，依题意，可列方程组为_ 13.如图，在 ABC 中， MN、 分别为 ,ACBC 的中点 .若 1CMNS ，则 ABNMS 四 边 形 最专业的 K12 教研 交流 平台 4 14.如图， AB 为 O 的直径， CD、 为 O 上的点， AD CD .若 040CAB，则 CAD 15.如图，
6、在平面直角坐标系 xOy 中， AOB 可以看作是 OCD 经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一中由 OCD 得到 AOB 的过程： 最专业的 K12 教研 交流 平台 5 16.下图是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程 已知： 0, 90Rt ABC C ，求作 Rt ABC 的外接圆 . 作法：如图 （ 1）分别以点 A 和点 B 为圆心，大 于 12AB 的长为半径作弧，两弧相交于 ,PQ两点； （ 2）作直线 PQ ，交 AB 于点 O ； （ 3）以 O 为圆心， OA为半径 作 O . O 即为所求作的圆 . 请回答：该尺规作图的依据是 最专业的 K12
7、 教研 交流 平台 6 三、解答题 （本题共 72 分 ，第 17 题 -26题，每小题 5 分，第 27 题 7 分，第 28题 7 分，第29 题 8 分） 解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17. 计算： 004 c o s 3 0 1 2 1 2 2 . 18. 解不等式组： 2 1 5 71023xxx x 19.如图，在 ABC 中， 0, 36AB AC A ， BD 平分 ABC 交 AC 于点 D . 求证： AD BC . 20. 数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图所示）
8、”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了海岛算经九题古证 . （以上材料来源于古证复原的原理、吴文俊与中国数学和古代世界数学泰斗刘徽） 请根据上图完成这个推论的证明过程 证明： A D C A NF F G CNF G DS S S S 矩 形 ， ABCEBMFSS矩 形 （ _+_） 易知， ADC ABCSS ， _=_， _=_ 可得 NFGD EBMFSS矩 形 矩 形 最专业的 K12 教研 交流 平台 7 21.关于 x 的一元二次方程 2 3 2 2 0x k x k . （ 1）求证：方程总 有两个实数根； （ 2）若方程有一根小于 1，求 k 的取值范围 .
9、 22. 如图，在四边形 ABCD 中， BD 为一条对角线， 0/ / , 2 , 9 0A D B C A D B C A B D ， E 为 AD 的中点，连接 BE . （ 1）求证 ：四边形 BCDE 为菱形； （ 2）连接 AC ，若 AC 平分 ,1BAD BC，求 AC 的长 . 23. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，函数 0kyxx的图象与直线 2yx 交于点 3,Am. （ 1）求 km、 的值； （ 2）已知点 ,0P n n n ，过点 P 作平行于 x 轴的直线，交直线 2yx 于点 M ，过点 P 作平行于 y轴的直线，交函数 0kyxx的图象于点 N . 当
10、 1n 时，判断 线段 PM 与 PN 的数量关系，并说明理由； 若 PN PM ，结合函数的图象，直接写出 n 的取值范围 . 最专业的 K12 教研 交流 平台 8 24.如图， AB 是 O 的一条弦， E 是 AB 的中点，过点 E 作 EC OA 于点 C ，过点 B 作 O 的切线交 CE的延长线于点 D . （ 1）求证： DB DE ； （ 2）若 12, 5AB BD，求 O 的半径 . 25.某工厂甲、乙两个部门各有员工 400 人，为了解这两个部门员工的生产技能情况，进 行了抽样调查，过程如下，请补充完整 . 收集数据 从甲、乙两个部门各随机抽取 20 名员工，进行了生产
11、技能测试，测试成绩（百分制）如下： 甲 78 86 74 81 75 76 87 70 75 90 75 79 81 70 74 80 86 69 83 77 乙 93 73 88 81 72 81 94 83 77 83 80 81 70 81 73 78 82 80 70 40 整理、描述数据 按如下分数段整 理、描述这两组样本数据： 成绩 x 人数 部门 40 49x 50 59x 60 69x 70 79x 80 89x 90 100x 甲 0 0 1 11 7 1 乙 （说明：成绩 80 分及以上为 生产技能优秀， 70-79 分为生产技能良好， 60-69 分为生产技能合格， 60
12、 分以下为生产技能不合格） 分析数据 两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示： 最专业的 K12 教研 交流 平台 9 部门 平均数 中位数 众数 甲 78.3 77.5 75 乙 78 80.5 81 得出结论： a .估计乙部门生产技能优秀的员工人数为 _； b .可以推断出 _部门员工的生产技能水平较高，理由为 _.（至少从两个不同的角度说明推断的合理性） 26.如图， P 是 AB 所对弦 AB 上一动点，过点 P 作 PM AB 交 AB 于点 M ，连接 MB ，过点 P 作PN MB 于点 N .已知 6AB cm ，设 AP、 两点间的距离为 xcm ， PN、 两点间的
13、距离为 ycm .（当点P 与点 A 或点 B 重合时， y 的值为 0） 小东根据学习函数的经验，对函数 y 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究 下面是小东的探究过程，请补充完整： （ 1）通过取点、画图、测量，得到了 x 与 y 的几组值，如下表： /xcm 0 1 2 3 4 5 6 /ycm 0 2.0 2.3 2.1 0.9 0 （说明：补全表格时相关数值保留一位小数） （ 2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象 . 最专业的 K12 教研 交流 平台 10 （ 3）结合画出的函数图象，解决问题：当 PAN 为等腰三角形时， AP 的
14、长度约为 _cm . 27.在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 2 43y x x 与 x 轴交于点 AB、 （点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C . （ 1）求直线 BC 的表达式 ； （ 2）垂直于 y 轴的直线 l 与抛物线交于点 1 1 2 2, , ,P x y Q x y，与直线 BC 交于点 33,N x y ，若1 2 3x x x，结合函数的图象，求 1 2 3x x x的取值范围 . 28.在等腰直角 ABC 中， 090ACB， P 是线段 BC 上一动点（与点 BC、 不重合），连接 AP ，延长 BC至点 Q ，使得 CQ CP ，过点 Q 作 QH AP 于点 H ，交 AB 于点 M . （ 1）若 PAC ，求 AMQ 的大小（用含 的式子表示） . （ 2）用等式表示线段 MB 与 PQ 之间的数量关系，并证明 . 29在平面直角坐标系 xOy 中的点 P 和图形 M ，给出如下的定义：若在图形 M 上存在一点 Q ，使得 PQ、两点间的距离 小于或等于 1，则称 P 为图形 M 的关联点
