1、数学备课大师 【全免费】 http:/ http:/ 课时作业 一、选择题 1如果命题 p(n)对 n k(k N*)成立，则它对 n k 2 也成立若 p(n)对 n 2 也成立，则下列结论正确的是 ( ) A p(n)对所有正整数 n 都成立 B p(n)对所有正偶数 n 都成立 C p(n)对所有正奇数 n 都成立 D p(n)对所有自然数 n 都成立 B 由题意 n k 成立，则 n k 2 也成立，又 n 2 时成立，则 p(n)对所有正偶数都成立 2用数学归纳法证明不等式 1 12 14 12n 112764 (n N*)成立，其初始值最小应取 ( ) A 7 B 8 C 9 D
2、10 B 可逐个验证， n 8 成立 3 (2014海南三亚二模 )用数学归纳法证明 “ 1 2 22 2n 1 2n 1(n N*)”的过程中，第二步 n k 时等式成立，则当 n k 1 时，应得到 ( ) A 1 2 22 2k 2 2k 1 2k 1 1 B 1 2 22 2k 2k 1 2k 1 2k 1 C 1 2 22 2k 1 2k 1 2k 1 1 D 1 2 22 2k 1 2k 2k 1 1 D 由条件知，左边是从 20， 21 一直到 2n 1 都是连续的，因此当 n k 1 时，左边应为 1 2 22 2k 1 2k，而右边应为 2k 1 1. 4凸 n 多边形有 f
3、(n)条对角线，则凸 (n 1)边形的对角线的条数 f(n 1)为 ( ) A f(n) n 1 B f(n) n 数学备课大师 【全免费】 http:/ http:/ C f(n) n 1 D f(n) n 2 C 边数增加 1，顶点也相应增加 1 个，它与和它不相邻的 n 2 个顶点连接成对角线，原来的一条边也成为对角线，因此，对角 线增加 n 1 条 5在数列 an中， a1 13，且 Sn n(2n 1)an，通过求 a2， a3， a4，猜想 an的表达式为 ( ) A. 1（ n 1）（ n 1） B. 12n（ 2n 1） C. 1（ 2n 1）（ 2n 1） D. 1（ 2n
4、1）（ 2n 2） C 由 a1 13， Sn n(2n 1)an 求得 a2 115 13 5， a3 135 15 7， a4 163 17 9. 猜想 an 1（ 2n 1）（ 2n 1） . 6下列代数式 (其中 k N*)能被 9 整除的是 ( ) A 6 67k B 2 7k 1 C 2(2 7k 1) D 3(2 7k) D (1)当 k 1 时，显然只有 3(2 7k)能被 9 整除 (2)假设当 k n(n N*)时，命题成立， 即 3(2 7n)能被 9 整除， 那么 3(2 7n 1) 21(2 7n) 36. 这就是说， k n 1 时命题也成立 由 (1)(2)可知，
5、命题对任何 k N*都成立 二、填空题 7用数学归纳法证明 “ 当 n 为正奇数时， xn yn 能被 x y 整除 ” ，当第二步假设 n 2k 1(k N*)命题为真时，进而需证 n _时，命题亦真 解析 n 为正奇数，假设 n 2k 1 成立后，需证明的应为 n 2k 1 时成立 答案 2k 1 数学备课大师 【全免费】 http:/ http:/ 8用数学归纳法证明 1 2 3 n2 n4 n22 ，则当 n k 1 时左端应在 n k的基础上加上的项为 _ 解 析 当 n k 时左端为 1 2 3 k (k 1) (k 2) k2， 则当 n k 1 时，左端为 1 2 3 k2 (
6、k2 1) (k2 2) (k 1)2， 故增加的项为 (k2 1) (k2 2) (k 1)2. 答案 (k2 1) (k2 2) (k 1)2 9设数列 an的前 n 项和为 Sn，且对任意的自然数 n 都有： (Sn 1)2 anSn，通过计算 S1， S2， S3，猜想 Sn _ 解析 由 (S1 1)2 S21得： S1 12； 由 (S2 1)2 (S2 S1)S2 得： S2 23； 由 (S3 1)2 (S3 S2)S3 得： S3 34. 猜想 Sn nn 1. 答案 nn 1 三、解答题 10用数学归纳法证明： 12 32 52 (2n 1)2 13n(4n2 1) 证明
7、(1)当 n 1 时，左边 12 1， 右边 13 1 (4 1) 1，等式成立 (2)假设当 n k(k N*)时等 式成立， 即 12 32 52 (2k 1)2 13k(4k2 1) 则当 n k 1 时， 12 32 52 (2k 1)2 (2k 1)2 13k(4k2 1) (2k 1)2 13k(4k2 1) 4k2 4k 1 数学备课大师 【全免费】 http:/ http:/ 13k4(k 1)2 1 13k 4(2k 1) 4k2 4k 1 13k4(k 1)2 1 13(12k2 12k 3 8k2 4k) 13k4(k 1)2 1 134(k 1)2 1 13(k 1)
8、4(k 1)2 1 即当 n k 1 时等式也成立 由 (1)， (2)可知，对一切 n N*，等式都成立 11已知点 Pn(an， bn)满足 an 1 an bn 1， bn 1 bn1 4a2n(n N*)，且点 P1的坐标为 (1， 1) (1)求过点 P1， P2 的直线 l的方程； (2)试用数学归纳 法证明：对于 n N*，点 Pn 都在 (1)中的直线 l上 解析 (1)由题意得 a1 1， b1 1， b2 11 4 1 13， a2 1 13 13， P2 13， 13 . 直线 l的方程为 y 113 1 x 113 1，即 2x y 1. (2) 当 n 1 时， 2a
9、1 b1 2 1 ( 1) 1 成立 假设 n k(k 1 且 k N*)时， 2ak bk 1 成立 则 2ak 1 bk 1 2ak bk 1 bk 1 bk1 4a2k (2ak 1) bk1 2ak 1 2ak1 2ak 1， 当 n k 1 时， 2ak 1 bk 1 1 也成立 由 知，对于 n N*，都有 2an bn 1，即点 Pn 在直线 l上 12设数列 an的前 n 项和为 Sn，且方程 x2 anx an 0 有一根为 Sn 1， n 1， 2，3 . (1)求 a1， a2； (2)猜想数列 Sn的通项公式，并给出严格的证明 解析 (1)当 n 1 时， x2 a1x
10、 a1 0 有一根为 S1 1 a1 1， 于是 (a1 1)2 a1(a1 1) a1 0，解得 a1 12. 数学备课大师 【全免费】 http:/ http:/ 当 n 2 时， x2 a2x a2 0 有一根为 S2 1 a2 12， 于是 a2 122 a2 a2 12 a2 0，解得 a2 16. (2)由题设 (Sn 1)2 an(Sn 1) an 0， 即 S2n 2Sn 1 anSn 0. 当 n 2 时， an Sn Sn 1， 代入上式得 Sn 1Sn 2Sn 1 0. 由 (1)得 S1 a1 12， S2 a1 a2 12 16 23. 由 可得 S3 34.由此猜想 Sn nn 1， n 1， 2， 3 . 下面用数学归纳法证明这个结论 ( )n 1 时已知结论成立 ( )假设 n k(k 1， k N*)时结论成立，即 Sk kk 1， 当 n k 1 时，由 得 Sk 1 12 Sk， 即 Sk 1 k 1k 2，故 n k 1 时结论也成立 综上，由 ( )( )可知 Sn nn 1对所有正整数 n 都成立
