1、 1 高中数学竞赛训练题 解答题 1 ba, 是两个不相等的正数，且满足 2233 baba ，求所有可能的整数 c,使得 abc 9 . 2已知不等式 2413 1. . .312111 annnn 对一切正整数 a 均成立，求正整数 a的最大值，并证明你的结论。 3设 na 为 1 4a 的单调递增数列，且满足 221 1 11 6 8 ( ) 2n n n n n na a a a a a ，求 na 的通项公式。 4（ 1）设 ,0,0 yx 求证： ;432 yxyxx （ 2）设 ,0,0,0 zyx 求证： .2333 zxyzxyxz zzy yyx x 5. 设数列 ,1,1
2、2,1,13,22,31,12,21,11 kkk ， 问：（ 1）这个数列第 2010 项的值是多 少； （ 2）在这个数列中，第 2010 个值为 1 的项的序号是多少 . 6. 设有红、黑、白三种颜色的球各 10 个。现将它们全部放入甲、乙两个袋子中，要求每个袋子里三种颜色球都有，且甲乙两个袋子中三种颜色球数之积相等。问共有多少种放法。 7 已知数列 na 满足 1aa （ 0, 1aa且 ），前 n 项和为 nS ，且 (1 )1nnaSaa， 记 lg | |n n nb a a （ n N ），当 73a 时，问是否存在正整数 m ，使得对于任意正整数n ， 都有 mn bb ？如
3、果存在，求出 m 的值；如果不存在，说明理由 8. 在 ABC 中，已 9 , sin c os sinA B A C B A C，又 ABC 的面积等于 6. （ ）求 ABC 的三边之长； （ ）设 P 是 ABC （含边界）内一点， P 到三边 AB、 BC、 AB 的距离为 1d 、 2d 和 3d ，求 1 2 3d d d 的取值范围 . 9 在数列 na 中， 1a ， 2a 是给定的非零整数， 21n n na a a （ 1）若 15 2a ， 16 1a ，求 2008a ； （ 2）证明：从 na 中一定可以选取无穷多项组成两个不同的常数数列 2 10. 已知椭圆 )1(
4、1222 ayax ， Rt ABC 以 A （ 0， 1）为直角顶点，边 AB、 BC 与椭圆交于两点 B、 C。若 ABC 面积的最大值为 278 ，求 a 的值。 11. 如图，椭圆 C： 221( 0)xy abab ， 1A 、 2A 、 1B 、 2B 为椭圆 C 的顶点 （ ）设点 )0,( 0xM ，若当且仅当椭圆 C上 的点 P在椭圆的顶点时， |PM 取得最大值与最小值，求 0x 的取值范围； （ ）若椭圆 C上的点 P 到焦点距离的最大值为 3 ，最小值为 1，且与直线 :l y kx m相交于 A， B两点（ AB， 不是椭圆的左右顶点），并满足 22 BAAA 试研究
5、：直线 l 是否过定点？若过定点，请求出定点坐标，若不过定点，请说明理由 12 如图，在四棱锥 ABCDS 中，底面 ABCD 是边长为 a 的正方形，侧面 SAD 为正三角形，且垂直于底面 ABCD （ 1）求四棱锥 ABCDS 的体积； （ 2）在边 CD 上是否存在一点 E ，使得 AESB ？请说明理由 13（本小题满分 15 分） 关于 yx、 的方程 C ： 04222 myxyx （ 1）若方程 C 表示圆，求实数 m 的取值范围； （ 2）在方程 C 表示圆时，若该圆与直线 l ： 042 yx 相交于 NM、 两点，且554| MN ，求实数 m 的值； （ 3）在（ 2）的
6、条件下，若定点 A 的坐标为（ 1， 0），点 P 是线段 MN 上的动点，求直线 AP的斜率的取值范围 SABCD3 B A C E A1 B1 C1 Pn Pn+1 14已知椭圆 C： 2222 1xyab（ 0ab ），其离 心率为 45 ，两准线之间的距离为 252。 （ 1）求 ,ab之值；（ 2）设点 A 坐标为 (6, 0)， B 为椭圆 C 上的动点，以 A 为直角顶点，作等腰直角ABP（字母 A， B， P 按顺时针方向排列），求 P 点的轨迹方程。 15. 如图，正三棱柱 1 1 1ABC ABC 中， E是 AC中点 . （）求证： 1AB /平面 1BEC； （）若 1
7、2, 2AB AA，求点 A 到平面 1BEC 的距离； （）当ABAA1为何值时，二面角 E BC1 C 的正弦值为510？ 16 （ 本小题满分 15 分） 在 xoy 平面上有一系列点 ),(),( 222111 yxPyxP ， ),( nnn yxP 对每个正整数 n ,点 nP 位于函数 )0(2 xxy 的图象上 以点 nP 为圆心的 nP 与 x 轴都相切，且 nP 与1nP 彼此外切 若 11x ,且 nn xx 1 （ *Nn ） （ 1）求证：数列 1nx是等差数列； （ 2）设 nP 的面积为 nS ， nn SSST 21 , 求证：对任意 *Nn ，均有 23 nT
8、 17 （本小题满分 18 分） 二次函数 rqxpxxf 2)( 中，实数 rqp 、 满足 mrm qm p 12 =0,其中 0m 求证 ： (1) 0)1( mmpf ； (2)方程 0)( xf 在 (0， 1)内恒有 解 4 18 如图 ， 斜三棱柱 111 CBAABC 的 所有 棱长 均 为 a ， 侧面 CBCB 11 底面 ABC ，且 BCAC 1 . （ 1） 求异面直线 1AA 与 11CB 间 的 距离； （ 2） 求侧面 BABA 11 与底面 ABC 所成二面角 的 度数 19 设向量 ji, 为直角坐标平面内 x 轴， y 轴正方向上的单位向量若向量 jyix
9、a ）2( ， jyixb ）2( ，且 ab （ 1）求 满足上述条件的 点 ),( yxP 的 轨迹方程； （ 2）设 ( 1, 0), (2, 0)AF ，问是否存在常数 )0( ，使得 PA FPFA 恒成立？证明你的结论 20已知抛物线 2 12 8y x x 和 1 11( , )48A 。过 11( , )48F 任作直线，交抛物线于 B、 C两点。 求重心的轨迹方程，并表示成 ()y f x 形式； 数列 kx 中，1 10 2x，且满足 1 ()kkx f x 。试证：11 35n kkk x 21 椭圆 C：2222 byax = 1 ( a b 0 )的两个焦点为 F1
10、( c , 0 )， M 是椭圆上一点，且满足MFMF 21 = 0。 （ ） 求离心率 e 的取值范围； （） 设斜率为 k ( k 0 )的直线 l 与椭圆 C相于不同的两点 A、 B， Q 为 AB 的中点，问 A、 B 两点能否关于过点 P 33,0 、 Q 的直线对称？若能，求出 k 的范围，若不能，请说明理由。 22 已知定义在 R 上的函数 f(x) 同时满足： （ 1） 21 2 1 2 1 2 2( ) ( ) 2 ( ) c o s 2 4 s i nf x x f x x f x x a x （ 12,xx R， a 为常数）； （ 2） (0) ( ) 14ff； （
11、3）当 0,4x 时， ()fx 2 求：（）函数 ()fx的解析式； （） 常数 a 的取值范围 A B C 1A 1B1B1C5 23把正奇数数列 2 1n 中的数按上小下大、左小右大的原则排成如下三角形数表： 1 3 5 7 9 11 设 *)( Njiaij ， 是位于这个三角形数表中从上往下数第 i 行、从左往右数第 j 个数。 （ I） 若 amn 2005 ，求 mn， 的值； （ II）已知函数 f x() 的反函数为 f x xn 1 38( ) ( )x0 ，若记三角形数表中从上往下数第 n 行各数的和为 bn ，求数列 ( )f bn 的前 n 项和 Sn 。 24.若
12、a 、 b 、 Rc ，且满足 22 )4()( cbabacba k a b c ，求 k 的最大值。 25 设定义在 0， 2上的函数 ()fx满足下列条件： 对于 0,2x ，总有 (2 ) ( )f x f x ，且 ( ) 1fx ， (1) 3f ； 对于 , 1,2xy ，若 3xy，则 ( ) ( ) ( 2 ) 1f x f y f x y 证明：（ 1） 12( ) 133nnf （ *nN ）；（ 2） 1,2x 时， 1 ( ) 13 6f x x 26求解不等式 2 11xxa 。 27设非负等差数列 na 的公差 0d ，记 nS 为数列 na 的前 n 项和，证明
13、： (1)若 *,m n p N ，且 2m n p ，则 1 1 2m n pS S S； (2)若503 1 ,1005a 则 200711 2008n nS 。 28.已知数列 na 满足 411a， ),2(21 11 Nnnaaa nn nn （）求数列 na 的通项公式 na ； （）设21nn ab，求数列 nb 的前 n 项和 nS ； （ ） 设 2 )12(sin nacnn，数列 nc 的前 n 项和为 nT 求证：对任意的 Nn ， 74nT 6 高中数学竞赛训练题答案 解答题部分 1 ba, 是两个不相等的正数，且满足 2233 baba ，求所有可能的整数 c,使得
14、 abc 9 . 1.解：由 2233 baba 得 bababa 22 ,所以 0)()( 2 babaab , 由此得到 1ba . 又因为 )()()(41 22 babaabba ,故 341 ba . 4 分 又因为 )()( 2 babaab , 令 )34,1( bat 则 ttab 2 . 6 分 当 1t 时， 2tt 关于 t 单调递增，所以 40 9ab， 0 9 4ab. 因此 c 可以取 1， 2， 3. 10 分 2：先证 f(n)= 13 1. . .312111 nnnn 单调递增，则 f(1)=1213 最小 故 1213 25,26,24 aaa 所以即 .
15、 3 解： 221 1 11 6 8 ( ) 2n n n n n na a a a a a 21 1 1( ) 8 ( ) 1 6 4n n n n n na a a a a a 211( 4 ) 4n n n na a a a 1142n n n na a a a （由题意可知取正号。） 21( ) 4nnaa 1 2nnaa 因此， na公差为的等差数列，即 2nan 。从而可得 24nan 4 证明：（ 1） 0)(4 )(4322 yx yxyxyx x， 2 34x x yxy . （ 2）由（ 1）得 .4323 xyxyx x 类似的 3234y y yzyz ， 323 4z
16、 z zxzx ， 3 3 3 2 2 23 3 34x y z x x y y y z z z xx y y z z x 2 2 23 ( )43 ( )42x y z x y y z zxx y y z zx x y y z zxx y y z zx 7 5 解（ 1）将数列分组： ),1,12,1(,),13,22,31(),12,21(),11( kkk 因为 1+2+3+ +62=1953； 1+2+3+ +63=2016， 所以数列的第 2010 项属于第 63 组倒数第 7 个数，即为 577。 - 10 分 （ 2）由以上分组可以知道，每个奇数组中出现一个 1，所以第 2010
17、 个 1 出现在第 4019 组，而第 4019组中的 1位于该组第 2010位，所以第 2010个值为 1的项的序号为（ 1+2+3+ +4018）+2010=809428。 - 17 分 6 解：设甲袋中的红、黑、白三种颜色的球数为 ,xyz ，则有 1 , , 9x y z，且 (1 0 ) (1 0 ) (1 0 )x y z x y z （ *1） - 5 分 即有 5 0 0 5 0 ( ) 5 ( )x y z x y z x y y z z x 。 （ *2） 于是有 5xyz 。因此 ,xyz 中必有一个取 5。不妨设 5x ，代入（ *1）式，得到 10yz 。 -10 分
18、 此时， y 可取 1， 2， 8， 9（相应地 z 取 9， 8， 2， 1），共 9 种放法。同理可得 y=5或者 z=5 时，也各有 9 种放法，但有 x y z时二种放法重复。因此可得共有 9 3 2 = 25 种放法。 -17 分 7 解：当 2n 时， (1 )1nnaSaa，11(1 )1nnaSaa， 1 1 1 ( 1 ) ( 1 ) ( )11n n n n n n naaa S S a a a a ， 即 1nna aa ，又 1 0aa ， 所以， na 是首项和公比都是 a 的等比数列， nnaa ，于是 lg | | lg | |nn n nb a a n a a.
19、 7 ( 1, 0)3a ， lg| | 0a ， 故当 n 为偶数时， lg | | 0nnb na a，当 n 为奇数时， 0nb . 可见，若存在满足条件的正整数 m ，则 m 为偶数 . 2 2 22 2 22222 2 222222 ( 2 2 ) 2 l g | |2 ( 1 ) l g | |12 ( 1 ) l g | |12 ( 1 ) ( ) l g | | ( ) .1kkkkkkkb b k a k a aa k a k aaa k a a aaaa a k a ka N当 73a 时， 2 21 9a ， 222 ( 1) lg | | 0ka a a.又 22 71
20、2aa 8 当 72k 时， 2 2 2kkbb ，即 8 10 12b b b； 当 72k 时， 2 2 2kkbb ，即 8 6 4 2b b b b . 故存在正整数 8m ， 使得对于任意正整数 n ， 都有 mn bb . 8.解：（ ）设三角形三内角 A、 B、 C对应的三边分别为 a, b, c， sin cos sinB A C ， sincossinBA C，由正弦定理有 cos bAc, 又由余弦定理有 2 2 2cos2b c aA bc， 2 2 22b b c ac bc，即 2 2 2a b c ， 所以 ABC 为 Rt ABC ，且 90C . 又 | | |
21、 c os 91 | | | sin 62ABCA B A C A B A C AS A B A C A ，得 4tan3 aA b令 a=4k, b=3k (k0) 则 1 612ABCS ab k ， 三边长分别为 3， 4， 5. （ ）以 C 为坐标原点，射线 CA 为 x 轴正半轴建立直角坐标系，则 A、 B 坐标为（ 3， 0），（ 0， 4），直线 AB 方程为 4 3 12 0.xy 设 P 点坐标为（ x, y），则由 P 到三边 AB、 BC、 AB 的距离为 d1, d2 和 d3 可知 1 2 3 | 4 3 1 2 |5xyd d d x y ，且 0,0,4 3 1
22、2 0.xyxy 故1 2 3 2 1 2 .5xyd d d 令 2m x y ，由线性规划知识可知 0 m 8，故 d1+d2+d3 的取值范围是 12,459 解：（ 1） 15 2a ， 16 1a ， 17 3a ， 18 4a ， 19 1a ， 20 3a ， 21 2a ， 22 1a ，23 1a ， 24 0a ， 25 1a ， 26 1a ， 27 0a ， 自第 22 项起，每三个相邻的项周期地取值 1， 1， 0，故 2008a =1 4 分 （ 2）首先证明数列 na 必在有限项后出现零项假设 na 中没有零项， 由于 21n n na a a，所以 . 3n 时
23、，都有 1na 6 分 当 1nnaa 时， 2 1 1 1n n n na a a a （ 3n ）； 当 1nnaa 时， 21 1n n n na a a a （ 3n ）， 即 2na 的值要么比 1na 至少小 1，要么比 na 至少小 1 8 分 9 令 2 1 2 1 2 22 + 2 2 1 2 2( ) ( )n n nn n n na a ab a a a ， 1,2,.n ，则 101nnbb 由于 1b 是确定的正整数，这样下去，必然存在某项 0kb ，这与 0kb 矛盾，从而 na 中必有零项 . 10 分 若第一 次出现的零项为 na ，记 1 ( 0)na M M
24、 ，则自第 n 项开始，每三个相邻的项周期地取值 0, ,MM ，即 331320nknknkaaM， 0,1,2.k 所以数列 na 中一定可以选取无穷多项组成两个不同的常数数列 . 12 分 10 解： 不妨设 AB 的方程 01 kkxy ，则 AC 的方程为 11 xky 。 由11222 yaxkxy 得： 02)1(2222 kxaxka 2222 ,1B akx ak 由2221 11yxkx ya 得： 2 2 2 2( ) 2 0a k x a k x 2222 ,C akx ak 从而有 2222 2 2 2 22 1 21 , 1 ,1 a k a kA B k A Ca
25、 k k a k -5 分于是 2442 2 2 2 2 2 4211 ( 1 )2212 ( 1 ) ( ) ( ) 1ABCkkk kS A B A C a aa k a ka k ak 。 令 1 2tkk ，有 44222 2 2 2 222 ,( 1 )( 1 )ABCa t aSaa t a att - 10 分 因为 2222( 1 ) 2 ( 1 ) ,aa t a at 2 1at a 时等号成立。 因此当 23m a x 21 , ( ) ,1ABCaaS t=- 14 分 10 令 3 22 2 7 3 2 9 7( 3 ) ( 8 3 9 ) 0 3 ,1 8 1 6a
26、 a a a a aa 2 1 3 2 9 72 1 2 , ( ) 3 .16a a a aa 不 合 题 意 ， 舍 去 ， - 17 分 11. （ ）设 2202 )(|)( yxxPMxf 2 222002 2c x x x xa b . 对称轴方程202cxax ，由题意 acxa 202 或 2 02ax ac 或 0202 cxa . acx 20或 acx 20 或 00x , ),0,( 220 acacx. （ ）由已知与（ ）得： 3ac ， 1ac ， 2a， 1c ， 2 2 2 3b a c 椭圆的标准方程为 22143xy 设 11()Ax y， ， 22()B
27、 x y， ， 联立 221.43y kx mxy ， 得2 2 2( 3 4 ) 8 4 ( 3 ) 0k x m k x m ， 2 2 2 2 2 212 2212 26 4 1 6 ( 3 4 ) ( 3 ) 0 3 4 08344 ( 3 ) .34m k k m k mmkxxkmxxk ， 即 ， 则，又 22221 2 1 2 1 2 1 2 23 ( 4 )( ) ( ) ( ) 34mky y k x m k x m k x x m k x x m k ， 因为椭圆的右顶点为 (20)D， ， 1AD BDkk ，即 12 122yyxx ， 1 2 1 2 1 22 ( ) 4 0y y x x x x ， 2 2 22 2 23 ( 4 ) 4 ( 3 ) 1 6 403 4 3 4 3 4m k m m kk k k ， 227 1 6 4 0m m k k 解得： 1 2mk ，2 27km ，且均满足 223 4 0km ， 当 1 2mk 时， l 的方程为 ( 2)y k x，直线过定点 (20)， ，与已知矛盾；
