1、1目录第1章引言311中学数学内容改革的现状13第2章中学几何内容改革的新思路521几何在现有中学数学教学中的现状及不足522解决中学几何问题的关键623面积法在中学几何中的应用824三角函数的导入825几何新中心三角形面积公式826关于几何改革新思路的优劣分析9第3章数学史容易遗忘的角落1631数学史在现有中学数学教学中的现状1632数学史的教育功能1933数学史在中学数学中的运用与融合20第4章与大学内容的衔接微积分的高门槛2641微积分的教学现状2642极限的初等化2643数列的极限28致谢33参考文献342摘要我国新一轮数学课程改革自进入新世纪以来已经取得了长足的进步。这一改革有不少可
2、取和成功的地方,极大地促进了诸多新的教育思想或理论的传播,但也有很多地方值得认真的总结和反思本文通过对中学数学内容改革不足的简要分析,主要针对中学几何、数学史教育以及极限的初等化等三部分内容改革的不足提供了相应对策,这对中学数学教育的探索以及中学数学课程改革有着一定指导意义和参考价值关键词内容改革三角函数数学史极限3第1章引言数学课程改革一直是数学教育改革的中心,如20世纪初的数学教育近代化运动,20世纪50年代中叶由美国发起的数学教育现代化运动,直至面向21世纪的教育改革,其中心是数学内容的改革中国在这样一个改革的大背景下,建国后数学课程经历了三次大的改革最初是移植国外课程,然后是义务教育的
3、课程的实施,直至今日又开始新一轮的数学课程改革这都说明了数学课程在数学教育中的核心地位211中学数学内容改革的现状1课程研制及具体实施、实验还将持续一个相当长的时期,现在我中国中学数学课程改革呈现以下趋势一、实现从“升学型”课程向“素质型”课程转轨数学教育的根本目的在于提高全民的数学素质,为学生的终身可持续发展奠定良好的基础；数学课程必须从传统的“升学教育”转向具有时代意义的“素质教育”这就要破斥惟天资论的教育观念,建立面向全体学生的数学课程体系,实现1人人学有价值的数学；2人人都能获得必要的数学；3不同的人在数学上得到不同的发展二、实现数学课程内容的现代化、综合化数学课程的教学内容要与时俱进
4、,要剔除不合时代要求的教学内容,把近现代数学成果适当纳入教材,尽量缩小教学内容同时代数学成果的差距计算机技术、算法思想、数学建模、数学文化、概率统计、数据处理等,没有争议地要进入基础教育的数学课程“微积分的衰落和离散数学的兴起”、古典集合分量的相对减少,将是数学课程改革总的趋势另外,由于当代数学综合化趋势的加强,一大批应用数学学科或学科分支不断涌现,有些传统的概念和范畴正在被综合性的概念和范畴所代替,数学课程内容将适当加强数学领域的综合学习,如将集合,代数合二为一,灵活变通、相互渗透、相互为用4三、强化数学知识的社会适用性20世纪后期,由于计算机的出现,高度发展的数学与计算机技术的结合,形成了
5、数学技术,使得高新技术得到迅猛发展,以至有人说“高技术本质上是学习技术”如今,数学的应用无处不在,而且几乎所有的数学都找到了它应用的领域,这种趋势方兴未艾为了得数学课程,将更重视数学对社会发展的作用,强化数学知识的社会适应性,重视数学与社会、生活的关系,新的数学课程将更贴近学生生活的各个角落同时,数学课程也将由封闭式的“小课堂”走向开放式的“大课堂”,从“小课堂”中的“学数学”,走向“大课堂”中“体验数学”、“做数学”未来的数学课程将充分考虑拓展学生的学习时间和空间,让学生在生活中形成“数学意识”,用“数学头脑”去分析和解决现实问题四、增加数学课程的弹性和选择性为适应21世纪信息社会的知识经济
6、发展要求,数学课程将改整齐划一、高度集中的数学课程为多样化的课程,必学内容将减少,选学内容要增加,增加课程的弹性和选择性,保障和促进新课程对不同地区、不同学校和不同学生发展的要求,要建立国家、地区、学校三级课程管理体系,大力发展地方课程和校本课程,增强数学课程的适应性同时,各学校可根据当地的实际以及学校学生的不同层次,灵活选择参照不同层次的数学教学大纲真正使“难教难学”的数学成为“易教易学”的数学,使数学走向大众,支持个性发展,使各类不同层次的学生都有相应的提高,具备相应的数学意识和数学观念学生的数学学习内容应当是现实的、有趣的和富有挑战性的在内容的呈现上应根据各阶段学生所具有的独特学习背景,
7、采用不同的表达方式,制定不同的课程目标,以求形成不同的理解教材建设是课程改革的一个重要方面,但是从总体上说依然有一些普遍性的问题需要我们作更深入的思考和研究下面我们从中学几何的新思路抓住面积、引入三角函数、数学史在中学数学中的作用增强爱国信念、吸取先进数学思想等以及高中到大学的内容衔接讲不讲极限若讲,该如何讲等三个方面,提出了关于中学数学内容改革的一些建议和思考5第2章中学几何内容改革的新思路21几何在现有中学数学教学中的现状及不足几何一直是中小学数学课程改革的焦点从贝利提出“数学教育应从欧氏几何原本的包围中解放出来”,到“新数”运动的“欧几里得滚蛋”,从克莱因的爱尔朗根纲领,到托姆与狄奥东尼
8、之争,中学几何在风风雨雨中度过了一个多世纪几何在数学中占有举足轻重的地位,历史上,数学科学首先是以几何学的形式出现的几何学提出的问题,诱发出一个又一个重要的数学观念和有力的数学方法在现代,几何学正趋于活跃和复兴3在中学阶段,代数的教学方式和内容在各国是基本一致的,但几何教学内容却很少一致,虽然它几乎只涉及平面几何的基础知识、坐标和向量的简单应用,以及基本的立体几何知识对比各种数学教材,不难发现,现行中学几何课程以及教学方式主要出现以下一些问题1过分强调推理论证的严密性,忽视了几何学本身具有直观性的特点；2推理论证的方法是否符合学生的认知过程,是一个很重要的问题；3考虑到进一步学习的需要,我们的
9、几何教学偏于弱化趋势22解决中学几何问题的关键如果我们把数学比作美丽的大花园,那么几何学就是花园门前五彩缤纷的花坛和晶莹夺目的喷泉,它吸引着更多的青少年学生来进一步了解数学、研究数学因此,怎样处理好几何学的呈现方式或教学方法,成为了中学数学课程改革的重点,也是关键那么对于它的内容的安排,又该何去何从呢首先,它应该直观、生动,内容丰富,具有浓厚的趣味它也应当有由易到难的练习题,并且用引人入胜的方法引导学生解决一系列的数学问题其次,在逻辑结构上,它应当有明确的中心,便于从这里出发去解决或推导其它的数学问题,同时要有俯瞰数学全局的制高点再有,它应当提供一些常用的高效的解题方法,应当兼有几何的直观性和
10、代数的简洁性,像坐标法那样有迹可循当然,它也必须能够6照顾到与其他内容、其他科学的联系,这应该是最基本的要求正如前苏联数学家斯托利亚尔AA所说“几何教学问题仍然是中等数学教育现代化最复杂的问题之一它引起了广泛的、世界性的争论,并且出现了许多方案”3因此,在这一章中,我们将集中讨论一个关于中学几何内容改革的新方案,其核心思想是抓住几何图形的面积,引入三角函数的相关概念和定理,最终解决一些常见的几何问题23面积法在中学几何中的应用我们知道,几何学的产生源于人们对土地面积的测量需要,这样,几何学从一开始便与面积结下了不解之缘同时,面积很早就成为人们认识几何图形性质与证明几何定理的重要工具首先,我们以
11、勾股定理和维氏定理的证明为例,着重分析面积法在中学几何问题中的应用案例1勾股定理在直角三角形中,两直角边的平方之和等于斜边的平方勾股定理亦可叙述为“勾方加股方等于弦方”,这种描述来自于我国古代同时,关于勾股定理的证明方法多达300余种,其中有很多方法运用了面积法的思想,现举例如下图231图232证法1如图231示,4个同样大小的直角三角形的斜边围成一个正方形,同时,它们的直角边围成了一个更大的正方形因为两边之和必大于第三边由题意,大正方形的面积为,2BAS大以及小正方形的面积为AAABCDEGFABCABC7,2CS小而每一个直角三角形的面积为,21ABS利用它们的面积关系,显然有,4SSS小
12、大即,222ABCBA经整理,可得222CBA证法2如图232示,把两本大小一样的书一横一竖并排在一起一方面,梯形ACDG的面积为,21212BAACDGACSACDG另一方面,梯形ACDG可以分割成三个较小的三角形GBDBCDABG,注意到GBD是直角,则它们的面积分别为,21ABSSBCDABG,212CSGBD利用它们的面积关系,显然有,2121212122CABABBA经整理,亦可得222CBA这样,便证明了勾股定理案例25维氏定理正三角形内任意一点到三边的距离之和为定值,且等于该三角形的高证明在图233记正ABC的边长为A,连接PA,PB,PC,利用面积关系,有CPABPCAPBAB
13、CSSSS,8即PFAPEAPDAAH21212121,图233经整理,可得HPFPEPD,这样,便证明了维氏定理当然,也可以用别的方法证明维氏定理,但是处理数学问题的一个基本原则是简单化原则,对于维氏定理,面积法无疑能够做到这一点下面我们不加证明地给出维氏定理在平面几何中的一个推广,它的证明亦可用等面积法推得推论231正多边形内任一点到各边距离之和为定值,并且NHPPPPPPN21,其中,2,1NIPI为垂足,H为正多边形的中心到各边的距离边心距事实上,从以上两个案例中,可以归纳出利用面积法解决几何问题的一个基本模式,那便是用不同的办法求出同一块封闭几何图形的面积,得到一个代数等式,再从这个
14、等式经过推理或者整理便得到所需结论于是,面积就架起了代数和几何的一个桥梁24三角函数的导入三角函数不但在高考中占据相当重要的地位,而且在现实生活中发挥重要的作用初中部分主要涉及它的定义以及在一些特殊角的值,高中部分主要涉及它的一些基本性质、基本公式的相互转换以及利用它解决一些常见的几何问题因此,三角函数的学习对于后续的几何问题的学习和解决至关重要我们知道,矩形的面积等于长乘以宽,即ABS,这个公式可采用图241进ABCDEFP9行直观理解图241假设上图是可以变形的木制框架,在某种条件下由矩形变成了平行四边形,每一个小正方形变成了面积相同的菱形,类似地,它的面积就可采用图242进行直观理解图2
15、42图中的S表示一个边长为1、夹角为的小菱形的面积,我们所要展开的关于三角函数的新局面就是从这个小菱形的面积开始的定义2413边长为1、有一个夹角为的菱形的面积S,叫做角的正弦,记为SIN当或。0时,0SIN相比于传统教材中难以捉摸的“比值”,利用面积这样直观的方式定义的三角函数虽然有些古怪,但它是比较容易理解和接受的按照以上定义,我们不难得出三角函数的一些简单的基本性质性质1对于4/0,SIN有定义并且非负,仅当或0时,才有0SIN性质212/SIN这是因为按照定义,此时2/SIN表示边长为1的正方形的面积如果按现行中学教材的定义,用直角三角形的边比来定义正弦,12/SIN是颇难理解的性质3
16、SINSIN12231310继续以长方形面积公式的直观推导作类比推理,很容易得到平行四边形的面积公式定理2413（平行四边形面积公式）若在平行四边形ABCD中,A,AAB,BAD,则平行四边形的面积为SINSINABAADABSABCD作平行四边形的任一条对角线,将任意三角形看成半个平行四边形,便得到了三角形的面积公式定理2423三角形面积公式对任意三角形ABC,有BACABCCABSABCSIN21SIN21SIN21在目前的各种中学教材中,上述公式显得有些微不足道,但是如果我们能够充分利用它的话,它也可以作为我们打开三角函数新局面的核心,以下就以它为工具,给出几个关于三角函数的基本定理把三
17、角形面积公式中的各项都除以ABC21,便可轻而易举地得到了下面的正弦定理,它的应用是十分广泛的定理2433正弦定理对任意三角形ABC,有CCBBAAABCSABCSINSINSIN2这个公式在几何中的作用是众所周知的,而在我们试图建立的三角函数新局面中,仅两三个步骤就得到了这个定理更为有趣的是,若在三角形面积公式中令2/C此时1SINC,便会得到正弦的与传统教材相同的定义定义2423在ABC中,若2/C,则CAASIN,CBBSIN与此同时,为了充分发挥正弦的作用,正弦加减法定理亦可被自然地引入定理2443正弦加减法定理当2/0时,有2/SINSIN2/SINSINSIN（241）2/SINS
18、IN2/SINSINSIN（242）11图243图244证明对于正弦加法定理,如图243所示,设BAD,CAD,BCAD,利用面积关系,将三角形面积公式代入,可得SIN21SIN21SIN21BHCHBC,两边同时除以BC21,可得SINSINSINSINSINSINSINBCCHBH2/SINSIN2/SINSIN,这样,便得到了（241）式对于正弦减法定理,如图244所示,设APC,BPC,利用面积关系,将三角形面积公式代入,可得SIN21SIN21SIN21PCPBPCPAPBPA,两边同时除以PBPA21,可得SINSINSINPAPCPBPC4/SINSIN4/SINSIN,这样,便
19、得到了（242）式在传统教材中,关于上述定理的证明略显繁琐,且难于记忆,更添加了附加条件2/这里仅要求或者不超过2/,若超过,2/和2/便没有意义了在公式（241）中,取3/,便得到ABCPABCDCHB123/SIN6/SIN3/SIN6/SIN3/SIN,由此解出216/SIN；又取4/,便得到4/SIN4/SIN2/SIN122,由此解出224/SIN；再取6/,3/,便得到3/SIN6/SIN2/SIN122,将216/SIN代入,则有233/SIN,几个特殊角的正弦值就轻而易举地得到了,这正是初中阶段所接触的主要内容在公式（241）中,取2/,我们很容易就得到下面这个很重要的命题,称
20、为正弦的勾股关系定理2453正弦的勾股关系若2/,则有1SINSIN22类似地,当研究角的正弦时,会经常研究另外一个角2/的正弦为此,我们引入新的记号,称“余角的正弦”为余弦,记为COS定义2433的余角的正弦,称为角的余弦,记为COS具体地,我们约定如下2/,2/SIN,2/0,2/SINCOS有了余弦的定义,可以很容易导出三角函数的一些基本公式以及重要的余弦定理；有了正弦定理和余弦定理,得到欧氏几何的基本工具全等三角形和相13似三角形的判定定理也就不是什么难事了因篇幅所限,这些工具在此就不一一列举了25几何新中心三角形面积公式从前一小节的几个重要定理的推导可以看出,三角形的面积公式扮演着非
21、常重要的角色,几乎成了印证定理的核心工具我们为什么选择它作为核心呢1平面几何里有3个最重要的度量长度、角度和面积,三角形面积公式将三者有机地联系了起来；2三角形是平面几何的基本图形,也是我们考虑问题的出发点,因此这个公式有着非常广泛的应用下面我们举出一些具体的实例,说明三角形面积公式不仅可以作为重要定理的推理依据,同时也是一种非常重要的解题工具例251证明在ABC中,若BA,则BA证明由三角形面积公式,有ABCBACSABCSIN21SIN21,于是ABBASINSIN,由已知,显然有BASINSIN,因此BA例252证明若0,且,则SINSIN证明如图251所示,ABC是顶角为的等腰三角形由
22、,可在底边CB的延长线上取一点D,使得DAB,则DABDACSS,14图251将三角形面积公式代入,有SIN21SIN21ABADACAD,由ACAB,便得SINSIN例253证明在ABC中,已知BA,则BA证明用反证法假设BA,以下分BA、BA两种情况讨论若BA,则BASINSIN,由例1知,BA,这与BA矛盾,因而假设不成立；若BA,BA,由例252知,BASINSIN,再由例251的推理过程知,BA,这与BA矛盾,因而假设不成立综上所述,在ABC中,已知BA,则BA例254在ABC中,设A的平分线为AP,求证CPBPACAB证明由题意,可设CAPBAP,利用三角形面积公式,得ACABAP
23、ACAPABSSCPBPACPABPSIN21SIN2126关于几何改革新思路的优劣分析我们看到,一个微不足道的三角形面积公式,它的变化和应用是非常广泛的通常在几何图形里会有若干个三角形,把这些三角形的面积用不同的方法来表示,就会自然地得到很多代数等式,我们适当地选取某些等式,经过推导或加工整理后往往就得到了所需的结论ADCB15在这一节中,我们提到的中学几何内容改革的新思路有很多好处,现在说明如下1直观易懂,容易理解,学生可以很快掌握了关于三角函数的一些很重要的定理和数学工具2中心明确,解题方法易于掌握,这是因为充分利用了三角和代数的方法3提前引入三角函数,解决了目前初中生学习三角函数时间过
24、于紧促,且不能很好消化的问题与此同时,这种中学几何内容改革的新思路也存在着很多缺陷和问题,有待我们进一步研究和实践,说明如下1三角形面积公式通过直观形式引入的,在数学逻辑上留下了很大的缺口和漏洞,还要依赖于旧的数学体系2解决问题时,几乎处处都需要运用三角函数,几何本身的风格反而丧失太多,不易被广大的中学生所接受3正余弦概念的提前引入,是否适应中学生的年龄特点和认知过程,还需要教学实践去检验总而言之,一个新的内容改革方案,只有既符合科学原则,又能适应学习者的认知能力和认知过程,并在实践中经过反复的实验和检验,才能慷慨地列入国家的规划教材,才能积极有效地推动教育改革的进程16第3章数学史容易遗忘的
25、角落数学史蕴涵着丰富的思想内涵,具有强大的教育功能,很多国家在基础教育中都十分重视数学史的教育作用而我国一直以来对数学史教育功能的理解比较狭隘,再加上应试教育对数学史教育的抑制,使数学史在中学数学中的作用难以发挥出来新一轮的课程改革在这方面有所突破,提高了对数学史教学的要求,这应当是值得我们思考的内容631数学史在现有中学数学教学中的现状从目前的教育现状看,我国在非教学实验区实施的还是“一纲一本式”的教学,即与大纲相配套的教材只有人民教育出版社编写的一个版本,但是从一定程度上讲,一种教材只能反映该教材编写者对教学大纲的理解,不应该取代广大数学教师对教学大纲的钻研,教材只应该是教师教学的辅助工具
26、在实际的教学过程中,有些教师只是简单的从这一个版本的教材出发,以与该教材相配套的教学参考资料为教学的直接依据,对教材顶礼膜拜,而对大纲反而不甚关注所以教材中对数学史内容的涉及程度、处理方式将直接影响教师对数学史的教学方式和学生数学史的学习我们以现行中学数学教材人教版为例,找出其中涉及数学史内容的部分,并列表如下表31章节内容表现形式数学家著作主要内容必修一集合批注康托集合论简介函数批注莱布尼茨函数的由来阅读材料笛卡尔与欧拉对数的发明阅读材料伽利略实验数学模型简介必修二直线与圆的方程阅读材料笛卡尔费马解析几何的创立圆锥曲线方程立体几何阅读材料祖冲之祖暅定理17研究学习欧拉多面体欧拉定理的发现阅读
27、材料欧拉正多面体的种类研究学习欧拉多面体欧拉定理的证明必修三算法初步阅读材料刘徽割圆术统计阅读材料一个著名的案例必修四向量阅读材料卡皮尔人类早期如何测量地球半径必修五数列阅读材料欧拉三角与欧拉九连环斐波那契数列解三角形海伦与秦九韶选修导数正文杨辉杨辉三角阅读材料不完全归纳法正文牛顿莱布尼茨微积分的创立批注牛顿莱布尼茨生平复数正文牛顿莱布尼茨微积分的意义阅读材料卡丹欧拉哈密顿复数系是怎样建立的批注高斯生平简介研究人教版教材的数学史内容,反映出的问题主要有以下几个方面1教材中涉及数学史内容太少统计这套教材中的所有涉及数学史内容仅有24处,平均到每本教材不到四处,最少的全书只有一处必修四,除去阅读材
28、料,大都只是简略的介绍,且篇幅很少,不过几十字提到名字的中外数学家一共仅有28位,数学著作不到10本,其中中国数学家有5位李善兰、祖冲之、秦九韶、杨辉、刘徽,外国数学家共23位在这些数学家中,只有欧拉、高斯、笛卡儿、牛顿、莱布尼茨这五位有稍详细的18介绍,其他数学家均只给出了简单生平或是只提到姓名教材作为教师和学生进行教学活动最直接的媒介,涉及到的数学史知识的匮乏可见一斑2数学史内容缺乏与教学内容有机融合教材中数学史内容的出现有五种形式阅读材料、章节引言、批注、正文和研究性学习章节引言处出现的数学史内容或是数学趣题和古代著名思想方法,例如讲极限时用“割圆术”引入,讲数列时用棋盘上放麦粒的故事吸
29、引学生,或是讲述某一概念或思想方法的背景、意义,比如导数和积分的产生背景和历史作用注释中一般是插入正文中提到的某位数学家的画像并简介其生平,比如高斯、牛顿、莱布尼茨等,或者是对某个概念的产生作简单的注解,如集合论的创始、函数概念的由来等等阅读材料中主要是对教学内容的扩充,主要是对科学家或者是某些数学问题的发展历史的介绍,例如必修二的笛卡儿和费马,选修教材中的复数系是怎样建立的等等研究性学习中也提到一些数学史,主要是对所研究问题的背景的介绍统计这些形式出现的次数见表1,可以看出阅读材料出现的次数最多有9次,其次是章节引言和批注处,正文中仅出现3次,研究性学习材料中出现3次表32人教版教材数学史表
30、现形式统计形式阅读材料章节引言批注正文研究学习总计出现次数9543324所占比率375208167125125100由此看出,阅读材料是数学史内容在教材中的最大载体而阅读材料的地位在教学中又是很尴尬的,并得不到教师和学生的重视在后面的中学数学史教学现状问卷中有明显的体现除此之外,章节引言、批注等形式体现的只是对数学史和教学内容的简单拼凑而已,数学史内容像是教学内容华而不实的外包装,或是“花絮”,点缀着教学内容,缺乏与教学内容的有机融合要么被简单的表现为数学家故事,要么表现为用简洁语言高度概括的数学成果,它的核心和与教学最有益的精髓数学思想和数学理论的演化过程及其发展规律,数学家的思维方式和研究
31、方法,数学研究中的成败原因,数学发展中不同观点和理论之间的纷争与融合等等都被忽视掉了因此,有必要将数学史的部分内容引入到现行教材或者教学当中,关键在于19教育工作者如何将它的内容、思想和方法融合到数学学习过程中,既要提高学生对于科学的追求精神,又不能抹杀掉学生对于科学的创造力,只有这样,我们进行的改革才会收到事半功倍的效果,我们进行的改革才有积极的意义32数学史的教育功能数学是在历史中形成的,只有懂得历史,才能深刻地理解数学法国伟大的数学家享利庞加莱说“如果我们想要预测数学的未来,那么适当的途径是研究这门学科的历史和现状”5长期以来,数学史在中学教学中没有得到应有的重视,教材本身反映的比较少,
32、同时,供教师参考的关于渗透数学史教育的文献也比较少,大多数数学老师把有关的数学史知识一带而过,这就忽视了数学史对中学数学的促进作用如果不把数学史融入到数学教学当中,那么数学的教育价值就很难得到体现,所以我们要认识到数学史对数学学习的重大意义数学史是人类文明给后人留下的路标,具有其独特的教育功能,如果学生对数学史一无所知,其知识不可能成为一个有机的系统网络,故数学史对人才的培养和选拔,起着非常重要的作用1学习数学史有利于培养学生科学的数学思维方式数学史在很大程度上被认为是重要数学思想方法的演变记录,学生在学习中所出现的困惑往往与数学发展史上出现的困惑相一致今天学生们在理解上的困惑,不过是历史上数
33、学解题思想方法困惑的逻辑“重演”而已历史上数学思想方法的突破点是数学发展的重大转折,也是学生学习的难点,教师如何采取措施引导学生合乎规律地实现那些重大转折,就不得不从数学史中吮吸乳汁,数学史可以帮助学生完整地、深刻地理解蕴含在数学中的思想方法2学习数学史有利于培养学生对数学的兴趣和动机数学发展的历史长河中,数学史丰富多彩,适当运用数学史材料,能极大地丰富数学课堂生活,激发学生学习数学的积极性因此,在数学教育中适当地结合数学史有利于培养学生对数学的兴趣,帮助克服动机因素的消极倾向正因为数学史在数学教学中的独特作用,新课改后的中学数学教材中大大增加了数学史的内容3运用数学史对学生进行辩证唯物主义世
34、界观教育20数学的产生发展过程充满了唯物主义和唯心主义、辩证法和形而上学各种世界观的激烈斗争,数学史正是一部对学生进行辩证唯物主义教育的科学史在中学数学学习过程中,可采取恰当串联篇章、补充史事、开展专题讲座、举办专刊等办法,结合教学内容,讲两种世界观和方法论的斗争,讲马克思主义唯物辩证法和认识论在自然科学领域里取得的伟大胜利4运用数学史教育树立学生的爱国主义思想数学是门古老的学科,历史悠久,源远流长中华民族的数学为世界数学发展创立了丰功伟绩,早在公元前,成书于东汉日寸期的九章算术标志着独具特色的中国传统数学体系机械算法体系已形成,随后出现的祖冲之圆周率,杨辉三角、秦九韶公式,以至现代数学家陈省
35、身、苏步青的微分几何,华罗庚、陈景润的数论,吴文俊的数学机械化方法等在数学教学中,我们有机地渗透这些内容,将会激发学生的爱国主义热情,树立民族自豪感33数学史在中学数学中的运用与融合人教版高中教材中数学史内容的出现有五种形式阅读材料、章节引言、批注、正文和研究性学习如何将一些数学史上著名的案例融入到教材或者教学中便成为了一个很关键的问题,下面主要介绍一些与各知识点紧密联系的数学史内容,仅供教育工作者借鉴参考案例16无理数的故事毕达哥拉斯学派2是人类最早发现的无理数之一,早在公元前500年左右,人们就会证明它是无理数了关于无理数的故事有很多,它们都是数学学习者在介绍数的发展历史时最喜欢使用的材料
36、毕达哥拉斯学派有一个基本观点,叫做万物皆数在他们的心目中,数只有正整数,而且正整数是组成物质的基本粒子,即原子因此,他们认为,一切量都可以用整数或整数的比有理数来表示,他们觉得一条线段就好比一条珍珠,这珍珠就是一个一个的点,不过又小又多罢了按照这种看法,两条线段长度之比,就应当是它们各自包含的小珍珠的个数之比,当然应当是可以用整数之比来表示的了21据说,毕达哥拉斯学派一个名叫希帕苏斯的年轻人,第一个发现了正方形的边和对角线长度之比不能用整数之比来表示,用现在的话说,就是“2不是有理数”这个发现直接和毕达哥拉斯学派的信条万物皆数相抵触,使这个学派的人大为惶恐和恼怒据说,希帕苏斯在船上向学派的其他
37、成员讲述这个发现时,遭到了强烈的谴责和反对,也由于他坚持自己发现的真理,竟被抛入大海淹死了但是,真理是不会永远被淹没的,随着数学的向前发展,无理数终于在人们的心目中取得了合法的地位,后被广泛用于科学研究、技术推广以及人们的日常社会生产中顺便提一下,用“”来表示平方根,是解析几何的创始人笛卡尔1596年1650年于16世纪首先使用的那时,2已经被发现了近2000年,不少数学家已经开始承认像2这类数是不能用分数表示的案例210一元二次方程神奇的黄金分割黄金分割是毕达哥拉斯、欧多克斯、欧几里得、斐波那契等许多数学家经过不懈的努力,打造并留给我们的数学遗产这份遗产,在其它学科也有重要应用在美学上,它是
38、一条普遍的最具和谐性的形式法则在哲学上,它与中国两千多年前孔子的“中庸”和合思想遵循同一模式从数学上看,则表达了对称、协调、再生的思想数学、自然、美学、哲学、社会、教育之间原是天涯若比邻有这样一个问题,什么样的矩形才最优美呢建筑学家很早就研究过这个问题,因为盖房子开窗口,窗子多数是矩形的经过调查研究,大家认为,如果一个矩形把它切掉一个正方形后,剩下的小矩形和原来的相似,则此时的矩形是最美的怎样达到这个要求呢图331如图331,设矩形长为Y,宽为X,想要从ABCD中切掉一个正方形CDFE,使得剩下来的ABEF相似于原来的矩形BCDA,必须有ABCDEFXY221XYXXYYX,也就是012YXY
39、X,设YX,求解一元二次方程012,得到251,取正根,即得6180215YX于是,这个无理数215就是有名的黄金分割数,简称黄金数黄金数又叫“中外比”,它的来历是这样的在线段AB上取一个点C,C把AB分成大小两段AC、BC如果能使全段比大段等于大段比小段,即BCACACAB,那么比值ACBC叫做中外比这时,C点在何处呢设ACBC,由ACBCAB以及上述要求,就有BCACACACBC,也就是11,即012,又得到正根215人们常把0618这个数字看做美的分割点其实,在我们日常消费中,它同样也是一个科学的数字,是购物的“黄金数”例如在买茶叶时,高档和低档的价格分别在200元每公斤和20元每公斤左
40、右,若你觉得太贵,低档的又太差,则不妨选用200200618112元每公斤这一档次的事实上,这一档次的茶叶在市场上最畅销不论买什么物品,在品种规格较多的情况下,请记住高档价一低档价0618低档价一般最为适宜又例如某女子身高为161CM,腰长为97CM,则在选购鞋子的时候,应该购买23能使其腰长与身高比例为0618的鞋子,会给人美的感觉,设她应穿鞋跟高为DCM的鞋,则有618016197DD,解得5463820971616180CMD可知对于这名女子,鞋跟高约为65CM的鞋子最美观由此可见,高跟鞋有效地修正了人体的腰长与身高的比例关系,使其符合黄金分割率,这就是高跟鞋产生的美学效果,也是流行的原
41、因所在学会运用“黄金分割点”的美感,对整体造型或自身艺术素养有一个完美的认识,发挥出自身潜能的每一个灵感,让我们也可以创作出黄金分割比例的美感,不仅会对自身工作不断提高,也会对自己追求的创作目标给予肯定,不要受传统压制,大胆地运用我们所能理解的一切美的灵感,去创造万物的美感案例3数列的前N项和NS人教版高中数学教材第三章求数列的通项与部分和是学习数列时涉及的主要内容,在学习数列的部分和时,可考虑采用数学史上两个著名的故事作为数学史教育的案例,它们是很有意思的,很容易激起学生们对于数列部分和的兴趣1、棋盘上的麦粒在印度有这样一个古老的传说舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人宰相西萨班达依尔,国王问他想
42、要什么,他对国王说“陛下,请您在这张棋盘的第1个小格里,赏给我1粒麦子,在第2个小格里给2粒,第3小格给4粒,以后每一小格都比前一小格加一倍请您把这样摆满棋盘上所有的64格的麦粒,都赏给您的仆人吧”国王觉得这要求太容易满足了,就命令给他这些麦粒当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时,国王才发现,就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来,也满足不了那位宰相的要求那么,宰相要求得到的麦粒到底有多少呢总数为37095516151844674407222263210粒人们估计,全世界两千年也难以生产这么多麦子2、梵塔上的金片24与棋盘上麦粒的故事十分相似的,还有另一个印度的古老传说在世界中心贝拿勒斯在印度北部
43、的圣庙里,一块黄铜板上插着三根宝石针印度教的主神梵天在创造世界的时候,在其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的64片金片,这就是所谓梵塔不论白天黑夜,总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片一次只移动一片,不管在哪根针上,小片必须在大片上面当所有的金片都从梵天穿好的那根针上移到另外一根针上时,世界就将在一声霹雳中消灭,梵塔、庙宇和众生都将同归于尽不管这个传说是否可信,如果考虑一下把64片金片,由一根针上移到另一根针上,并且始终保持上小下大的顺序,一共需要移动多少次,那么,不难发现,不管把哪一片移到另一根针上,移动的次数都要比移动上面一片增加一倍这样,移动第1片只需1次,第2片则需2次,第3片需
44、4次,第64片需2的63次方次全部次数为18446744073709551615,这和麦粒问题的计算结果是完全相同的假如每秒钟移动一次,共需要多长时间呢一年大约有31556926秒,计算表明,移完这些金片需要5800多亿年案例410定积分的定义求曲边梯形的面积配人教版高中数学教材选修22在学习定积分的定义时,需要集中处理一类图形的面积,这就是曲边梯形的面积曲边梯形的面积并不是一个孤立的概念,曲边梯形与直边图形有着非常紧密的联系,二者的主要区别在于前者的某些边是曲线段,而后者的所有边是直线段曲边梯形面积的求法主要用了“以直代曲”的思想,即用直边图形如矩形的面积代替曲边梯形的面积,再用求极限的方法
45、求曲边梯形的面积概括起来,经历了四步分割、近似代替、求和、取极限学习“以直代曲”的思想时,可以选用数学史上的两个重要案例来加以理解1、刘徽圆周率的估算图332中国魏晋时期的数学家刘徽约生于250年研究圆周率时创立了“割圆术”,他先把圆周分割成六等分,连接成圆的内接正六边形,再继续细分圆周,让圆的内接正多边形的边数不断地增加,则正多边形的边即圆的弦越来越短,也越来越接近它所对的圆弧,整个正多边形的面积越来越逼近圆的面积25图332图333刘徽指出,这样无限分割的结果使圆的内接正多边形最终会与圆合体于是,可以通过研究圆的内接正多边形的面积的变化来研究圆的面积,再反过来考虑圆周率可以看出,刘徽用不断
46、割圆的方法把圆的割线段弦转化为圆弧,这正是一个用“直”代替“曲”的转化2、阿基米德圆周率的估算图333公元前3世纪,古希腊的著名学者阿基米德注意到这样一个重要的事实圆的周长介于圆的内接正多边形的周长与圆的外切正多边形的周长之间根据这个原理,他从圆的内接正六边形和圆的外切正六边形开始,让边数翻番,依次得出正12、24、48、96边的圆内接和圆外切正多边形,通过计算多边形的周长,得出圆周率的取值范围可以看出,阿基米德考虑问题时,既考虑割线,又考虑切线,他从两个不同的方向用“直”代替“曲”,一个方向是使圆的割线段内接正多边形的边逼近圆弧,另一个方向是使圆的切线段外切正多边形的边逼近圆弧值得注意的是,
47、“分割”的目的在于更精确地“以直代曲”事实上,在定积分的定义中,是以“矩形”代替“曲边梯形”的,随着分割的等份数的不断增加,这种代替就会越精确,当N越大时,所有小矩形的面积之和就越逼近整个曲边梯的面积RAB26第4章与大学内容的衔接微积分的高门槛41微积分的教学现状微积分或高等数学是大学理工科的一门最重要的基础课,它的学习关乎着后续很多其它课程的学习,但它又是大学学生学习的难点,甚至成为了很多学生学习后续课程的“绊脚石”为了更好地适应大学数学学习和教学的开展,我们有必要考虑将一些微积分的基础知识放到中学去讲解和学习现行中学数学教材人教版采用的办法是让学生学会求导数,利用导数解决一些函数的基本问
48、题,如单调性、极最值问题和在生活中的简单应用,以及定积分初步,主要涉及简单函数的积分,如多项式函数、三角函数等这个办法的好处在于避免了极限理论的学习,并且使学生学会了求导数和求简单积分这两项技能,这对于大学进一步学习微积分是有一定意义的让我们重新考虑一下,不难发现会出现以下几个问题1导数部分学生还是容易掌握的,但到了定积分部分,大多数学生都听不懂了,原因在于定积分的定义比较繁琐,需要一些极限理论的铺垫才能理解,并且涉及到定积分计算时,大多数情况又不用这个定义,而是一些简单的法则,这是一个矛盾2定积分在高考中占的比例不大,很多中学已经取消了这一块内容的教学活动,这对于将大学微积分的内容融入中学的初衷相悖3回到我们的初衷上来,会发现这样的内容安排,并不有利于大学的学习和教学活动这是因为,在大学教材微积分的学习和教学中,往往定积分的计算不是首先接触到的,甚至不是学习和教学
