1、高中数学函数知识点梳理 1. .函数的单调性 (1)设 2121 , xxbaxx 那么 1 2 1 2( ) ( ) ( ) 0x x f x f x baxfxx xfxf ,)(0)()(2121 在 上是增函数； 1 2 1 2( ) ( ) ( ) 0x x f x f x baxfxx xfxf ,)(0)()(2121 在 上是减函数 . (2)设函数 )(xfy 在某个区间内可导，如果 0)( xf ，则 )(xf 为增函数；如果0)( xf ，则 )(xf 为减函数 . 注： 如果函数 )(xf 和 )(xg 都是减函数 ,则在公共定义域内 ,和函数 )()( xgxf 也是
2、减函数 ;如果函数 )(ufy 和 )(xgu 在其对应的定义域上都是减函数 ,则复合函数)( xgfy 是增函数 . 2. 奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称 ;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于 y 轴对称，那么这个函数是偶函数 注： 若函数 )(xfy 是偶函数，则 )()( axfaxf ；若函数 )( axfy 是偶函数，则 )()( axfaxf . 注： 对于函数 )(xfy ( Rx ), )()( xbfaxf 恒成立 ,则函数 )(xf 的对称轴是函数 2bax ;两个函数 )( ax
3、fy 与 )( xbfy 的图象关于直线 2bax 对称 . 注： 若 )()( axfxf , 则函数 )(xfy 的图象关于点 )0,2(a 对称 ; 若)()( axfxf ,则函数 )(xfy 为周期为 a2 的周期函数 . 3. 多项式函数 110() nnnnP x a x a x a 的奇偶性 多项式函数 ()Px是奇函数 ()Px的偶次项 (即奇数项 )的系数全为零 . 多项 式函数 ()Px是偶函数 ()Px的奇次项 (即偶数项 )的系数全为零 . 23.函数 ()y f x 的图象的对称性 (1)函数 ()y f x 的图象关于直线 xa 对称 ( ) ( )f a x f
4、 a x (2 ) ( )f a x f x . (2)函数 ()y f x 的图象关于直线 2abx 对称 ( ) ( )f a m x f b m x ( ) ( )f a b m x f m x . 4. 两个函数图象的对称性 (1)函数 ()y f x 与函数 ()y f x的图象关于直线 0x (即 y 轴 )对称 . (2)函数 ()y f mx a与函数 ()y f b mx的图象关于直线 2abx m 对称 . (3)函数 )(xfy 和 )(1 xfy 的图象关于直线 y=x 对称 . 25.若将函数 )(xfy 的图象右移 a 、上移 b 个单位，得到函数 baxfy )(
5、 的图象；若将曲线 0),( yxf 的图象右移 a 、上移 b 个单位，得到曲线 0),( byaxf 的图象 . 5. 互为反函数的两个函数的关系 abfbaf )()( 1. 27.若函数 )( bkxfy 存在反函数 ,则其反函数为 )(1 1 bxfky ,并不是)( 1 bkxfy ,而函数 )( 1 bkxfy 是 )(1 bxfky 的反函数 . 6. 几个常见的函数方程 (1)正比例函数 ()f x cx , ( ) ( ) ( ) , (1 )f x y f x f y f c . (2)指数函数 () xf x a , ( ) ( ) ( ) , (1 ) 0f x y
6、f x f y f a . (3)对数函数 ( ) logaf x x , ( ) ( ) ( ) , ( ) 1 ( 0 , 1 )f x y f x f y f a a a . (4)幂函数 ()f x x , ( ) ( ) ( ) , (1 )f xy f x f y f . (5)余弦函数 ( ) cosf x x ,正弦函数 ( ) sing x x ， ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x y f x f y g x g y ， 0 ()(0 ) 1, lim 1x gxf x. 7. 几个函数方程的周期 (约定 a0) （ 1） )()( axfxf ，则 )(xf 的
7、周期 T=a； （ 2） 0)()( axfxf ， 或 )0)()(1)( xfxfaxf， 或 1()()f x a fx ( ( ) 0)fx, 或 21 ( ) ( ) ( ) , ( ( ) 0 , 1 )2 f x f x f x a f x ,则 )(xf 的周期 T=2a； (3) )0)()( 11)( xfaxfxf，则 )(xf 的周期 T=3a； (4)()(1 )()()( 21 2121 xfxf xfxfxxf 且 1 2 1 2( ) 1 ( ( ) ( ) 1 , 0 | | 2 )f a f x f x x x a ，则)(xf 的周期 T=4a； (5)
8、( ) ( ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 )f x f x a f x a f x a f x a ( ) ( ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 )f x f x a f x a f x a f x a ,则 )(xf 的周期 T=5a； (6) )()()( axfxfaxf ，则 )(xf 的周期 T=6a. 8. 分数指数 幂 (1) 1mnn ma a（ 0, ,a m n N，且 1n ） . (2) 1mnmna a （ 0, ,a m n N，且 1n ） . 9. 根式的性质 （ 1） ()nn aa . （ 2）当 n 为奇数时 ， n naa ； 当 n 为偶数时，
9、 ,0|,0n n aaaa aa. 10. 有理指数幂的运算性质 (1) ( 0 , , )r s r sa a a a r s Q . (2) ( ) ( 0 , , )r s rsa a a r s Q . (3) ( ) ( 0 , 0 , )r r ra b a b a b r Q . 注： 若 a 0， p 是一个无理数，则 ap 表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用 . 33.指数式与对数式的互化式 lo g ba N b a N ( 0, 1, 0)a a N . 34.对数的换底公式 loglog logmamNN a ( 0a ,且 1a ,
10、0m ,且 1m , 0N ). 推论 log logm n aa nbbm( 0a ,且 1a , ,0mn ,且 1m , 1n , 0N ). 11. 对数的四则运算法则 若 a 0， a 1， M 0， N 0，则 (1) lo g ( ) lo g lo ga a aM N M N; (2) lo g lo g lo ga a aM MNN ; (3) lo g lo g ( )naaM n M n R. 注： 设函数 )0)(lo g)( 2 acbxaxxf m ,记 acb 42 .若 )(xf 的定义域为R ,则 0a ，且 0 ;若 )(xf 的值域为 R ,则 0a ，且 0 .对于 0a 的情形 ,需要单独检验 . 12. 对数换底不等式及其推论 若 0a , 0b , 0x , 1xa,则函数 log ( )axy bx (1)当 ab 时 ,在 1(0, )a和 1( , )a上 log ( )axy bx 为增函数 . (2)(2)当 ab 时 ,在 1(0, )a和 1( , )a上 log ( )axy bx 为减函数 . 推论 :设 1nm， 0p ， 0a ，且 1a ，则 （ 1） lo g ( ) lo gm p mn p n . （ 2） 2lo g lo g lo g 2a a a mnmn .
