1、第 3 节 万有引力定律的应用导学目标 1.了解重力等于万有引力的条件.2.会用万有引力定律求中心天体的质量.3.了解万有引力定律在天文学上的重要应用.4.会应用万有引力定律结合圆周运动的知识求解天体运动的有关物理量行星绕太阳运动的线速度、角速度、周期和向心加速度行星绕太阳的运动可以简化为_运动，做圆周运动的向心力由_提供，则：1由 G m 可得：v _，r 越大，v_；Mmr2 v2r2由 G m 2r 可得： _，r 越大，_；Mmr23由 G m 2r 可得：T_，r 越大，T_；Mmr2 (2T)4由 G ma 向 可得：a 向 _，r 越大，a 向 _；Mmr2说明 式中 G 是比例
2、系数，与太阳和行星 _；太阳与行星间引力的方向沿着_；万有引力定律 FG 也适用于地球和某卫星之间.Mmr2一、重力与万有引力的关系问题情境在地球表面上的物体所受的万有引力 F 可以分解成物体所受到的重力 G 和随地球自转而做圆周运动的向心力 F，如图 1 所示其中 FG ，而 Fmr 2.MmR2图 1根据图请分析以下三个问题(1)当物体在赤道上时，向心力和重力的大小如何？(2)当物体在两极的极点时，向心力和重力的大小如何？(3)当物体由赤道向两极移动的过程中，向心力和重力的大小如何变化？要点提炼1无论如何，都不能说重力就是地球对物体的万有引力但是，重力和万有引力的差值并不大所以，在不考查地
3、球自转的情况下，一般将在地球表面的物体所受的重力近似地认为等于地球对物体的引力，mg G ，即 GMgR 2.MmR22在地球表面，重力加速度随纬度的增大而增大在地球上空，重力加速度随高度的增大而减小3重力的方向竖直向下，并不指向地心，只有在赤道和两极时，重力的方向才指向地心即学即用1地球可近似看成球形，由于地球表面上物体都随地球自转，所以有( )A物体在赤道处受的地球引力等于在两极处受到的地球引力，而重力小于两极处的重力B赤道处的角速度比南纬 30的大C地球上物体的向心加速度都指向地心，且赤道上物体的向心加速度比两极处的大D地面上的物体随地球自转时提供向心力的是重力2火星探测项目是我国继神舟
4、载人航天工程、嫦娥探月工程之后又一个重大太空探索项目假设火星探测器在火星表面附近圆形轨道运行的周期为 T1，神舟飞船在地球表面附近的圆形轨道运行周期为 T2，火星质量与地球质量之比为 p，火星半径与地球半径之比为q，则 T1 和 T2 之比为( )A. B. pq31pq3C. D. pq3 q3p3某人在一星球上以速率 v 竖直上抛一物体，经时间 t 落回手中已知该星球半径为R，则至少以多大速度围绕星球表面运动，物体才能不落回该星球( )A. B. vtR 2vRtC. D. vRt vR2t二、计算天体质量问题情境请同学们阅读教材，思考并回答下面 4 个问题：1天体实际做什么运动？而我们通
5、常可以认为做什么运动？描述匀速圆周运动的物理量有哪些？2根据环绕天体的运动情况求解其向心加速度有几种求法？3应用天体运动的动力学方程万有引力充当向心力，求解天体的质量有几种表达式？各是什么？各有什么特点？4应用上面的方法能否求出环绕天体的质量？要点提炼应用万有引力计算某个天体的质量，有两种方法：一种是知道这个天体表面的重力加速度，根据公式 M 求解；另一种方法是知道这个天体的一颗行星(或卫星)运动的周期gR2GT 和半径 r，利用公式 M 求解42r3GT2问题延伸请同学们思考，在根据上述两种途径求出质量后，能否求出天体的平均密度？请写出计算表达式例 1 我国首个月球探测计划“嫦娥工程”将分三
6、个阶段实施，大约用十年左右时间完成，这极大地提高了同学们对月球的关注程度以下是某同学就有关月球的知识设计的两个问题，请你解答：(1)若已知地球半径为 R，地球表面的重力加速度为 g，月球绕地球运动的周期为 T，且把月球绕地球的运动近似看做是匀速圆周运动试求月球绕地球运动的轨道半径(2)若某位宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球某水平表面上方 h 高处以速度 v0 水平抛出一个小球，小球落回到月球表面的水平距离为 x.已知月球半径为 R 月 ，万有引力常量为 G.试求月球的质量 M 月例 2 设土星绕太阳的运动为匀速圆周运动，若测得土星到太阳的距离为 R，土星绕太阳运动的周期为 T，万有引力常量
7、G 已知，根据这些数据能够求出的物理量是( )土星线速度的大小 土星加速度的大小 土星的质量 太阳的质量A BC D例 3 若地球绕太阳公转周期及公转轨道半径分别为 T 和 R，月球绕地球公转周期和公转轨道半径分别为 t 和 r，则太阳质量与地球质量之比 为( )M日M地A. B.R3t2r3T2 R3T2r3t2C. D.R2t3r2T3 R2T3r2t3即学即用4一物体静置在平均密度为 的球形天体表面的赤道上已知引力常量为 G，若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为( )第 3 节 万有引力定律的应用课前准备区匀速圆周 太阳对行星的引力1. 越小GMr2. 越小GMr
8、332 越大r3GM4. 越小GMr2无关 二者中心的连线课堂活动区核心知识探究一、问题情境(1)当物体在赤道上时，F 、G、F三力同向，此时 F达到最大值 FmaxmR 2，重力达到最小值：G minFFG mR 2.MmR2(2)当物体在两极的极点时，此时 F0，F G ，此时重力等于万有引力，重力达到最大值，此最大值为 GmaxG .MmR2(3)当物体由赤道向两极移动的过程中，向心力减小，重力增大，只有物体在两极的极点时物体所受的万有引力才等于重力即学即用1A 由 FG 可知，物体在地球表面任何位置受到的地球的引力都相等，此引MmR2力的两个分力一个是物体的重力，另一个是物体随地球自转
9、的向心力在赤道上，向心力最大，重力最小，A 对地表各处的角速度均等于地球自转的角速度，B 错地球上只有赤道上的物体向心加速度指向地心，其他位置的向心加速度均不指向地心，C 错地面上物体随地球自转的向心力是万有引力与地面支持力的合力，D 错2D 设地球的质量为 m，地球的半径为 r，则火星的质量为 pm，火星的半径为qr，根据万有引力提供向心力得 G mr ，故有 T ，则 Mmr2 42T2 42r3GM r3M T1T2 ，故 D 选项正确qr3r3mpm q3p3B二、问题情境1天体实际是沿椭圆轨道运动的，而我们通常情况下可以把它的运动近似处理为圆形轨道，即认为天体在做匀速圆周运动在研究匀
10、速圆周运动时，为了描述其运动特征，我们引进了线速度 v、角速度 、周期 T 三个物理量2根据环绕天体的运动状况，求解向心加速度有三种求法，即(1)a ；(2)a 2r；(3)a .v2r 42rT23应用天体运动的动力学方程万有引力充当向心力，结合圆周运动向心加速度的三种表达方式可得三种形式的方程，即(以月球绕地球运行为例)(1)若已知月球绕地球做匀速圆周运动的周期为 T，半径为 r，根据万有引力等于向心力，即 m 月 r 2，可求得地球质量 M 地 .GM地 m月r2 (2T) 42r3GT2(2)若已知月球绕地球做匀速圆周运动的半径 r 和月球运行的线速度 v，由于地球对月球的引力等于月球
11、做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律，得G m 月 .M地 m月r2 v2r解得地球的质量为 M 地 .rv2G(3)若已知月球运行的线速度 v 和运行周期 T，由于地球对月球的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律，得G m 月 v .M地 m月r2 2TG .M地 m月r2 m月 v2r以上两式消去 r，解得M 地 .v3T2G4从以上各式的推导过程可知，利用此法只能求出中心天体的质量，而不能求环绕天体的质量，因为环绕天体的质量同时出现在方程的两边，已被约掉问题延伸(1)利用天体表面的重力加速度来求天体的平均密度由 mgG 和 M R3MmR2 43得：3g4GR其中 g
12、 为天体表面的重力加速度，R 为天体的半径(2)利用天体的卫星来求天体的平均密度设卫星绕天体运动的轨道半径为 r，周期为 T，天体半径为 R，则可列出方程：G m rMmr2 42T2M R343解得 3r3GT2R3例 1 (1) (2)3gR2T242 2hR2月 v20Gx2解析 (1)设月球绕地球做圆周运动的轨道半径为 r，则有： m 月 r，GMm月r2 42T2对地球表面的物体，有： mgGMmR2由以上两式可得：r .3gR2T242(2)设小球从平抛到落地的时间为 t，竖直方向：h g 月 t212水平方向：xv 0t可得：g 月 2hv20x2对月球表面的物体，有 mg 月
13、GM月 mR2月可得：M 月 .2hR2月 v20Gx2例 2 B 由于 v 可知正确；而 a 2R 2R ，则正确；已知土2RT (2T) 42RT2星的公转周期和轨道半径，由 m 2R，则 M ，M 应为中心天体太阳GMmR2 (2T) 42R3GT2的质量，无法求出 m土星的质量， 错误，正确，由此可知 B 正确例 3 A 由 G M 地 R 得：M日 M地R2 42T2M 日 ，42R3GT2由 G M 月 r 得：M地 M月r2 42t2M 地 ，42r3Gt2可求出： .故 A 正确M日M地 R3t2r3T2即学即用4D 本题意在考查考生运用万有引力定律和牛顿第二定律解决天体运动问题的能力对于物体，根据牛顿第二定律：G m R 和 得：T ，选项 D 正MmR2 42T2 M43R3 3G确
