1、第十二讲期末考试一、填空题（每题 分，共 分。如有两个空，只对一个给 分）6031 有 个队参加篮球比赛，比赛分两个组，第一组七个队，第二组八个队，各组先进行7单循环赛(即每队都要与其它各队比赛一场)，然后由各组的前三名共六个队再进行单循环赛决定冠亚军。问：共需比赛_场。【分析】 分三部分考虑，第一组预赛、第二组预赛和最后的决赛。第一组要赛 (场)，第271C二组要赛 (场)，决赛阶段要赛 (场)，所以总场数为：28C2615C(场)。15642 将前 个自然数依次无间隔地写成一个 位数： ，从中019234567891028910L划去 个数字，那么剩下的 位数最大是_， 最小是_。172【
2、分析】 在前 个自然数中，共有 个 ，再保留后面的“ ”，即得到最大数：0；最小数的第一位是“ ”，再保留 中的 个“ ”，再在 中209L43个 109:0910:留下 个尽量小的数，即得最小数： 。1 123456783 有一个展览会场如右图所示，共有 个展室，每两个相邻的16 展室之间都有门相通，问_（填能或不能）从入口进 去，不重复地参观完所有的展室后从出口出来。【分析】 黑白相间染色后发现，入口和出口都是黑色，但每次都是从黑格到白格或从白格到黑格，这样应是从黑格进去，白格出来，但出口也是白格，所以不可能。4 设自然数 有下列性质：从 、 、 中任取 个不同的数，其中必有两数之差等n1
3、2n65于 ，这样的 最大不能超过_。8【分析】 当 时，将 、 、 按每组中两数的差为 的规则分成 组，所以当任取128864个数时，必有两个数在同一组，它们的差等于 。当 时，取上面每组中的前65 129n一个数，和 ，一共 个数，而它们中任两个数的差不为 。因此 最大不能超过965 n。1285 小刚在纸条上写了一个四位数，让小明猜。小明问：“是 吗?”小刚说：“猜对了6031个数字，且位置正确。 ”小明问：“是 吗 ?”小刚说：“猜对了 个数字，但位置1 56722都不正确。 ”小明问：“是 吗?”小刚说：“猜对了 个数字，但位置都不正确。 ”4794根据以上信息，可以推断出小刚所写的
4、四位数_。【分析】 由两人的第三次问答可知小刚所写的四位数是由数字 ， ， ， 组成的。因为数字796在 中出现，所以据小刚的第一次回答知四位数的千位数字就是 。又数字 在6031 7和 中均出现过，且小刚说其位置均不正确，所以 应该出现在个位。数字57249在 中出现，但它的位置也不正确，所以 只能在百位，进而 是十位数字。综94上所述，所求的四位数是 。69476 将 这十二个自然数分别填入右图的 个圆圈内，使得516: 12 每条直线上的四个数之和都相等，这个相等的和为_。【分析】 由于每条直线上的四个数之和都相等，设这个相等的和为 ，S把所有 条直线上的四个数之和相加，得到总和为 ；另
5、一方6 6 面，在这样相加中，由于每个数都恰好在两条直线上，所以每个数都被计算了两遍。所以，得到 ，即所求的相等的和为 。(5716)2SL42S427 小红的书架上原来有 本书，不重新排列，再放上 本书，可以有 _种不同8的放法。【分析】 （法 ）放第一本书时，有原来的 本书之间和两端的书的外侧共 个位置可以选择；189放第二本书时，有已有的 本书之间和两端的书的外侧共 个位置可以选择。同样道910理，放第三本书时，有 个位置可以选择，放第四本书时，有 个位置可以选择。1 2由乘法原理，一共可以有 种不同的放法。01208 如右图，加法算式中，七个方格中的数字之和等 于_。【分析】 个位之和
6、为 ，十位之和为 ，百位之和为 ，91718和的千位为 ，所以七个方格中的数字之和为1 917845。7+ 9 99 现有一个袋子，里面装有 种不同颜色的玻璃球，每种颜色的玻璃球各有 个，则在6 60这个袋子中至少要取出_个玻璃球，才能保证取出的球至少有三种颜色，且有三种颜色的球都至少有 个。10【分析】 要保证取出的球至少有三种颜色，至少应取 个球；要保证取出的球中有6021三种颜色的球都至少有 个，那么至少要取 个球（否则两种颜色9457的球各取 个、其余四种颜色的球各取 个，共 个，这样将无法取出的球中有三60 5种颜色的球都至少有 个） ，由于 ，所以至少要取出 个球。1157f10
7、如图，对相邻的两格内的数同时加上 或同时减 去叫做一次操作。经过若干次操作后由图变成图1，则图中 处的数是 _。A【分析】 黑白相间染色，黑格与白格中的数字之和的差不变，所以 。5A二、解答题（每题 分，共 分）8401. 右面式中每个口表示一个数字，那么乘积是多少？【分析】 如右式，可知 。由 知， 、 中一个是 ，另一个是奇数。若1E65ABCWBC5，乘积的百位不可能是 ，所以 。因为 ，所以 或 。若 ，5C G05则 ，从而 ，即 ，但 不可能得到 ，不合题意；若9F996W，则 ，从而 ，即 ，由 ，得到 。因为0G44A45B5C7C， ，所以 是偶数。由 ，得 ，原算5BD67
8、14D2D式为 。672150(2)(1)2 22 2 22 20 001 111A20 12. 能否用 个 所示的卡片拼成一个 的棋盘？2510【分析】 不能。将 的棋盘黑白相间染色，有 个黑格。而每张卡片盖住的黑格数只能是105或者 ，所以每张卡片盖住的黑格数是个奇数， 张卡片盖住的黑格数之和也是奇3 2数，不可能盖住 个黑格。53. 有一些小朋友排成一行，从左到右第一人发一块糖，以后每隔 人发一块糖；从右到左第一人发一个苹果，以后每隔 人发一个苹果，结果有 个小朋友糖和苹果都拿到，416那么这些小朋友最多有多少人？【分析】 由题知，从左数每 人中有 人拿到糖，从右数每 人中有一人拿到苹果
9、， ，3153,51所以每 人中有 人糖和苹果都拿到，由于共 人糖和苹果都拿到，所以糖和苹果都15 1拿到的小朋友中间的人数为： ；在他们的左边，最多有 人拿到糖，5(6)264所以左边最多有 人；在他们的右边，最多有 人拿到苹果，所以右边最多有3412人；所以这些小朋友最多有 人。521010484. 第四届东亚男足邀请赛共有四支足球队进行单循环赛，即每两队之间都要进行一场比赛，每场比赛胜者得 分，负者得 分，平局两队各得 分。比赛完成之后各队得分是四个301连续的自然数，请计算出输给第一名的球队的得分是多少分？【分析】 由于每场比赛胜者得 分，负者得 分，平局两队各得 分，所以每场比赛两队
10、的得分之和为 分或者 分，四支球队进行单循环赛，共进行 场比赛，所以比赛完成之23 246C后各队总得分至少为 分，最多为 分，又各队得分是四个连续的自然数，而1218， ， ， ，所以各队得分14045345618571只可能为 , , , 或者 , , , 。6如果四队得分为 , , , ，那么总得分为 分，则每场比赛两队的得分之和都为3分，即每一场比赛都不是平局，那么每一场比赛的两只队的得分都是 的倍数（ 分3 3或 分） ，那么每支队的总得分也都是 的倍数，而不可能出现有球队得 分或 分的情0345况，矛盾，所以四队得分不能为 , , , ，只能为 , , , 。4562345由于四队
11、得分分别为 , , , ，所以第一名得 分，只能是胜一队而平两队，则这23场比赛中与第一名平局的两队各得 分，输给第一名的队得 分，由于这三支队共得310分，所以三队彼此之间的 场比赛共得 分，而每场比赛共得 分24939172或 分，所以只能为两场 分，一场 分，即这 场比赛中有两场平局，只有一场分出了胜负。如果分出胜负的这场比赛发生在平了第一名的两支队之间，则它们与输给第一名的那支队之间都是平局，则其中一支队在分出胜负的那场比赛中得到 分，在与输给第一名3的那支队的比赛中又得到 分，这样它总共得到 分，矛盾，所以平了第一名1135的两支队之间的比赛也是平局，输给第一名的那支队与这两支队的比
12、赛一胜一平，它的得分为： ，即输给第一名的球队的得分是 分。013445 某池塘中有 三只游船， 船可乘坐 人， 船可乘坐 人， 船可乘坐 人，ABC、 、 A3B2C1今有 个成人和 个儿童要分乘这些游船，为安全起见，有儿童乘坐的游船上必须至少32有个成人陪同，那么他们 人乘坐这三支游船的所有安全乘船方法共有多少种？5【分析】 由于有儿童乘坐的游船上必须至少有 个成人陪同，所以儿童不能乘坐 船。1若这 人都不乘坐 船，则恰好坐满 两船，若两个儿童在同一条船上，只能5CAB、在 船上，此时 船上还必须有 个成人，有 种方法；若两个儿童不在同一条A13C船上，即分别在 两船上，则 船上有 个儿童
13、和 个成人， 个儿童有 种选B、 112C择， 个成人有 种选择，所以有 种方法。故 人都不乘坐 船有113C2365种安全方法；369若这 人中有 人乘坐 船，这个人必定是个成人，有 种选择。其余的 个成5 13C2人与 个儿童，若两个儿童在同一条船上，只能在 船上，此时 船上还必须有 个2 A1成人，有 种方法，所以此时有 种方法；若两个儿童不在同一条船上，1C326那么 船上有 个儿童和 个成人，此时 个儿童和 个成人均有 种选择，所以此B1112C种情况下有 种方法；故 人中有 人乘坐 船有 种安全方法。32568所以，共有 种安全乘法。987三、附加题（每题 分，共 分）1021.
14、现有三堆苹果，其中第一堆苹果个数比第二堆多，第二堆苹果个数比第三堆多。如果从每堆苹果中各取出 个，那么在剩下的苹果中，第一堆个数是第二堆的三倍。如果从每堆苹果中各取出同样多个，使得第一堆还剩 个，则第二堆所剩下的苹果数是第34三堆的 倍。问原来三堆苹果数之和的最大值是多少？2【分析】 设取出 个后第二堆苹果数为 个，那么原来第二堆苹果数为 个，第一堆苹果数1x(1)x为 个。从每堆苹果中各取出同样多个，使得第一堆还剩 个，那么第二堆还剩(3)x 34（个） ，第三堆苹果还剩 （个） ，所以1342x(2)17xx第三堆原有苹果数为 （个） ，原来三堆苹果数之和为17(31)4216x，可见 越
15、大，原来三堆苹果数之和也越大。由于各(3)(6)xx取出同样多个后，第三堆苹果至少还剩 个，所以 ，得 ，即 最大为 ，716xx16此时原来三堆苹果数之和为 个，所以原来三堆苹果数之和的最大值是 。8 822. 用 个 的长方形能不能拼成一个 的正方形？请说明理由。9146【分析】 本题若用传统的自然染色法，不能解决问题。因为要 用来覆盖，我们对 正方形用四种颜色染色。为6 了方便起见，这里用 、 、 、 分别代表四种颜色。1234 为了使每个 长方形在任何位置盖住的都一样，我们4 采用沿对角线染色，如右图。这样，可以发现无论将 14长方形放于何处，盖住的必然是 、 、 、 各一个。1234 要不重叠地拼出 ，需 个 长方形，则必然盖住 、69412、 、 各 个。但实际上图中一共是 个 、 个 、3499029个 、 个 ，因而不可能用 个 长方形拼出8 6正方形。44 444443333 333322222222 2111 11 1114321
