1、勾股定理的证明方法勾股定理是初等几何中的一个基本定理。这个定理有十分悠久的历史，两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，因为这个定理太贴近人们的生活实际，以至于古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探讨和研究它的证明下面结合几种图形来进行证明。一、传说中毕达哥拉斯的证法（图 1）左边的正方形是由 1 个边长为 的正方形和 1 个边长为 的正方形以及 4 个直角边分别为 、 ，斜边为 的直角三角形拼成的。右边的正方形是由 1 个边长为 的正方形和 4 个直角边分别为 、 ，斜边为 的直角三角形拼成的。因为这两个正方形的面积相等(边长都是 )，所以可以列出等式，化简得 。在西方，人们认为是毕
2、达哥拉斯最早发现并证明这一定理的，但遗憾的是，他的证明方法已经失传，这是传说中的证明方法，这种证明方法简单、直观、易懂。二、赵爽弦图的证法（图 2）第一种方法：边长为 的正方形可以看作是由 4 个直角边分别为 、 ，斜边为 的直角三角形围在外面形成的。因为边长为 的正方形面积加上 4 个直角三角形的面积等于外围正方形的面积，所以可以列出等式 ，化简得。第二种方法：边长为 的正方形可以看作是由 4 个直角边分别为 、 ，斜边为 的角三角形拼接形成的（虚线表示），不过中间缺出一个边长为 的正方形“小洞”。因为边长为 的正方形面积等于 4 个直角三角形的面积加上正方形“小洞”的面积，所以可以列出等式
3、 ，化简得 。这种证明方法很简明，很直观，它表现了我国古代数学家赵爽高超的证题思想和对数学的钻研精神，是我们中华民族的骄傲。三、美国第 20 任总统茄菲尔德的证法（图 3）这个直角梯形是由 2 个直角边分别为 、 ，斜边为 的直角三角形和 1 个直角边为的等腰直角三角形拼成的。因为 3 个直角三角形的面积之和等于梯形的面积，所以可以列出等式 ，化简得 。这种证明方法由于用了梯形面积公式和三角形面积公式，从而使证明更加简洁，它在数学史上被传为佳话。古希腊数学的伟大成就：1、使数学成为抽象性的一门科学；2、建立了演绎证明体系，希腊成为论证数学发祥地；3、创立了几何学、三角学，奠定了数论基础等；4、
4、萌芽了一些高等数学，如数论、极限等；5、希腊人发现定理及证明，逻辑结构严密，论证认真细致，为后世树立了样板等；不足：如，重几何轻代数，认为几何方法是数学证明唯一方法，畏于无理数的存在，而不将算术应用于几何；几何作图严格限制规尺。古希腊的数学方法论泰勒斯最先提出数学方法论，数学命题要加以演绎证明，在数学中要建立一般的原理好人规则，数学命题的证明就是要借助一些公理或真实性已经确定的命题来论证某一命题真实性的思想过程。演绎证明的方法即演绎推理的方法，指从一般到特殊的推理方法，其核心是三段论法，即有两个已知判断，推出第三个判断，例如，平行四边形的对角线互相平分（第一个已知一般判断成为大前提），矩形是平
5、行四边形（另一个已知较特殊的判断，成为小前提），则矩形的对角线互相平分（推出新判断，即结论）。用演绎法证明命题使几何由实验阶段，过渡到一门抽象的理论科学，使人类对自然的认识由感性（或经验）认识上升到理性认识，因此这是一个划时代的贡献。后来亚里士多德（公元前 384前 322）推出逻辑方法论，创建公理方法和数学证明原理，使演绎推理的方法系统化，建立了逻辑学。欧几里得则在数学中实现了公理化，他的几何原本奠定了古希腊数学方法论的基础：采用公理法构建数学理论体系，逻辑证明是数学的基本方法。因此， 数学中的方法、发明与创新表现为提出新命题、证明未证的命题，改进已证命题的证明，由命题构成新的公理体系等。例
6、如：小学三年级的搭配问题 1、某女士外出旅行时带了 2 件不同颜色的上衣和 3 条不同颜色的裙子，问：共有多少种不同的搭配方法？教师鼓励学生用“实验”的方法去解决问题：学生拿出了纸和笔，开始在纸上“实际地”画出各种可能的组合。实验表明，大多数学生都可以凭借自己的努力，单独或合作地得出正确答案。进而，教师又要求学生对自己的结论的正确性作出“说明”当然，并非严格的论证，而主要是一种朴素的说明。作为“问题解决”的一次实践活动，该节课较好地体现了“学数学就是做数学”这样一个思想，更使学生实际地体会到了“实验”在数学发现中的作用。然而，我们都这一教学活动进行反思，学生通过这一活动学到了说明？他表示，我们
7、能否认为学生已经掌握了相关的数学知识？因此，作为一种较好的检验方法，可以要求学生进一步解决类似的问题：1、某男士外出旅行时带了 2 件不套不同的西装和 3 条不同颜色的领带，问：共有多少种不同的搭配方法？2、有 2 个军官和 3 个士兵。现由 1 个军官和 1 个士兵组成巡逻队，问：共有多少种不同的组成方式？再例如：1、某女士外出旅行时带了 3 件不同颜色的上衣和 4 条不同颜色的裙子，问：共有多少种不同的搭配方法？2、有 4 个军官和 5 个士兵。现由 1 个军官和 1 个士兵组成巡逻队，问：共有多少种不同的组成方式？显然，在此还是允许学生继续采取“实验”方法，但是，如果某个学生始终停留在“
8、实验和归纳”的水平，我们就不能认为这个学生已经掌握了相应的数学知识。因为，数学是模式的科学。与上面的教学实例十分相似，就数学在古埃及、巴比伦等地的早期发展而言，人们主要通过观察或实验以及对于经验事实的简单归纳获得了关于真实事物或现象量性属性的某些知识，但从现今的观点看，这只能说是经验的知识而不能被看成真正的数学知识，因为，真正的数学知识是关于抽象的数学对象的研究，而非对于真实事物或现象量性属性的直接研究。例如，就几何的研究而言，这也就是指，“三角形”具有什么性质？“圆”具有什么性质？而不是指，某些“三角形的事物”具有什么性质？某些“圆形的事物”具有什么性质？从历史的角度看，古希腊人首先在这一方面迈出了关键的一步，即引进了相对独立的数学对象，并以此作为数学研究的直接对象。虽然，在历史上曾经存在多种不同的数学传统，但由古希腊所开创的这一传统已为人们普遍接受。数学具有抽象性：一笔画，插花问题。数学教学应该化难为易，化神奇为平凡。
