1、第一章习题1.4 细杆 OL绕 点以角速 转动，并推动小环 C 在固定的钢丝 AB上滑动。图中的 d为已知常数，试求小球的速度及加速度的量值。解 如题 1.4.1 图所示， ABOCLxd第 1 . 4 题图OL绕 点以匀角速度转动， 在 AB上滑动，因此 C点有一个垂直杆的速度分量 2xdOvC点速度 dvv 22secsco又因为 所以 C点加速度 tansec2dtva 22tansecdxd1.5 矿山升降机作加速度运动时，其变加速度可用下式表示： Ttca2sin1式中 c及 T为常数，试求运动开始 t秒后升降机的速度及其所走过的路程。已知升降机的初速度为零。解 由题可知，变加速度表
2、示为 Ttca2sin1由加速度的微分形式我们可知 dtv代入得 tTcv2sin1对等式两边同时积分dtdtv00i可得 ： DTtctv2os（ 为常数）代入初始条件： 0t时， ，故 c即 12cosTttv又因为 dt所以dtTtc12oss对等式两边同时积分 ，可得： tTTtcs2sin211.6 一质点沿位失及垂直于位失的速度分别为 r及 ，式中 及 是常数。试证其沿位矢及垂直于位失的加速度为 rr,22解 由题可知质点的位矢速度 /v (1)沿垂直于位矢速度 (2)又因为 ， 即 r (3)rr /v v(4)对求导 (5)rrr 2 对求导 r2(6)根据课本的推导可知 沿位
3、矢方向加速度 2a（7）垂直位矢方向加速度 r（8）把（3） （4） （5） （6）代入（7） （8）式中可得 ra22/1.7 试自 sin,coryrx出发，计算 x及 y。并由此推出径向加速度 a及横向加速度 a。解 由题可知 sincoryx 对求导 sicorx对求导 consi2co2rx对求导 cossinry对求导 sinc22rr对于加速度 a，我们有如下关系见题 1.7.1 图raOxy题 1 . 7 . 1 图 sincoyxar把代入 得 2rr同理可得 a2()()ir即 ()si()or即 sincosxy1.14 一飞机在静止空气中每小时的速率为 100 千米。如
4、果飞机沿每边为 6 千米的正方形飞行，且风速为每小时 28 千米，方向与正方形的某两边平行，则飞机绕此正方形飞行一周，需时多少？解 正方形如题 1.14.1 图。 ACBD3v41v由题可知 hkmv/28一一 设风速 BA, hkm/10一 ,当飞机BA， v28/)10(kD/96,22hkC7/)8(34,vAm/102故飞机沿此边长 6 hkm/正方形飞行一周所需总时间 in165924672918ht2v一v一题 1 . 1 4 . 2 图 一v一v4题 1 . 1 4 . 3 图1.17 小船 M被水冲走后，由一荡桨人以不变的相对速度 朝岸上 A点划回。假定河流2速度 沿河宽不变，
5、且小船可以看成一个质点，求船的轨迹。1解 以 A为极点，岸为极轴建立极坐标如题.17.1 图.1C2AxOr题 1 . 1 7 . 1 图船沿垂直于 r的方向的速度为 ，船沿径向 r方向的速度为 和 沿径sin12 1向的分量的合成， 即-211cossindtdrdtdr /得 ，对两积分： drdr cotsin12Cr sinln2tanlnln12设 为常数，即Ck ,2,12 Crk1cos2inl代入初始条件 0r时， 0.设 ,0有,cos2inl010kr得 011sincoikkr1.19 将质量为 m的质点竖直抛上于有阻力的媒质中。设阻力与速度平方成正比，即2gvkR。如上
6、抛时的速度为 0v，试证此质点又落至投掷点时的速度为 021vk解 质点从抛出到落回抛出点分为上升和下降阶段.取向上为正各力示意图如题1.19.1 图， mgvR上升时 下降时题 1.19.1 图则两个过程的运动方程为：上升 2ygmky下降：22 ygmkmgym 对上升阶段: 21vkdtv2gyt即 dvk21对两边积分 gyvkhv020所以 2021lnvkgh即质点到达的高度.对下降阶段：22gvk-gdyvdvdtdydydv 即 gdyvkvdvhv 0220 11 12lngh由=可得 201vkv1.28 重为 W的不受摩擦而沿半长轴为 a、半短轴为 b的椭圆弧滑下，此椭圆
7、的短轴是竖直的。如小球自长 2 轴的端点开始运动时，其初速度为零，试求小球在到达椭圆的最低点时它对椭圆的压力。解 建立如题 1.28.1 图所示直角坐标. abABOxy题 1 . 2 8 . 1 图椭圆方程 12byax从 A滑到最低点 B，只有重力做功.机械能守恒.即21mvgb设小球在最低点受到椭圆轨道对它的支持力为 N则有： 2vmmgN 为B点的曲率半径. BA的轨迹： 21axby得 21axby； 2321ax又因为 232byk所以 222 1abWmghavmgN故根据作用力与反作用力的关系小球到达椭圆最低点对椭圆压力为21abW 方向垂直轨道向下.1.36 检验下列的力是否是保守力。如是，则求出其势能。a23306ybxzFx， ybxzF43106， 218abxyzFzbzkji解 （a）保守力 满足条件 对题中所给的力的表达式 ，代入上式即 022kjijFjizyxy40abx6zy4bx6az18z18F3322xyxz所以此力是保守力，其势为 324,020, 403zy,x65181d6Fabxyzzabxy dybxzVz,ydr(b)同（a） ，由 0kjikjiFyFxzFyxxz所以此力 是保守力，则其势能为 dzFydxFVBABABAr
