1、第 1 页 共 17 页华南理工大学网络教育学院高等数学（上） 辅导一、 判断两个函数的定义域是否相同1、 与 是否表示同一个函数？2()lnfx()lnfx2、 与 表示同一个函数| 2二、 常见的等价无穷小及等价无穷小替换原理常见的等价无穷小： 0sintarcsinartxxx时 ,l(1)xe-2cos,12无穷小替换原理：在求极限过程中，无穷小的因子可以用相应的等价无穷小替换例题：1、 ？320sinlmx解：当 ，ix 第 2 页 共 17 页原式=3200()limli7xx2、 ？0sin3lx解：原式= 0lix3、 ？201-coslimx解：当 21x -原式=20lix
2、4、 ？0ln(13)imx解：当 3x l+原式=. .0ix5、 ？201limxe第 3 页 共 17 页解：当 201xe，原式=. .0limx三、 多项式之比的极限， ，2li03x21li3x23limx四、 可导与连续等的关系1、若 在 点导数存在, 则 在 点连续. ()fx0 ()fx0、2. 若 是 的驻点，则它不一定是 的极小值点. f ()fx五、 导数的几何意义（填空题）：表示曲线 在点 处的切线斜率0()fx ()yfx0(,)Mfx曲线. .在点 处的切线方程为：()yf0,f0()()f曲线 在点 处的法线方程为：()fx0,x001()()yfxf例题：第
3、4 页 共 17 页1、曲线 在点 的切线的斜率4xy(2,3)M解： 22 2()4()()x x 28x2、曲线 在点 处的切线方程cosxye(0,1)M解： 20 0()sxxx e 20sinco1()xx所以曲线 在点 处的切线方程为：xye,M，即1()1xy3、曲线 在点 处的切线方程23yx,解：511xx所以曲线 在点 处的切线方程为：23y(,)M，即1()x350xy第 5 页 共 17 页六、 导数的四则运算、复合函数的导数、微分复合函数求导的链式法则：d(),()():yuyfugxyfgxx()().fgx 微分： ()dyfx例题：1、设 ，则 ？21y解： 2
4、21xyx2、设 ，则 ？2sinyxy解： 2cocosx3、设 ，则 ？sin2xydy解： i sinli2colx则 sincolx4、设 ，则 ？ixyedy第 6 页 共 17 页解： coscosxxyee所以 d5、设 ，则 ？（答案： ）2xyey2xed七、 运用导数判定单调性、求极值例题：1、求 的单调区间和极值lnyx解：定义域 (0,)令 ，求出驻点l1 1xex(,)e 1(,)y- 0 +单调减 极小值点 单调增函数的单调递减区间为 ，单调递增区间为1(, 1(,)e极小值为 )ye2、求 的单调区间和极值xy解：定义域 (,)令 ，求出驻点10xxee1x第 7
5、 页 共 17 页x(,1)1 (1,)y+ 0 -单调增 极大值点 单调减函数的单调递减区间为 ，,)单调递增区间为 ，(1极大值为 1()ye3、求函数. .的单调区间和极值2()xf解：定义域 ,令 ，得2()xfe0x,)0 (0,)y+ 0 -单调增 极大值点 单调减单调递增区间： ，单调递减区间： ，(,)(,)极大值为 0)1f4、求函数 的极值答案：极小值为 ，3()fx2(1)3y极大值为 21y八、 隐函数求导第 8 页 共 17 页例题：1、求由方程 所确定的隐函数 的2sin0xey()yx导数 dy解：方程两边关于 求导，得：x2cos()0eyxyA即 2x2、求由
6、方程 所确定的隐函数 的导数cos()yx()yxdyx解：方程两边同时关于 x 求导，得：sin()1yy即 i()1snxy3、求由方程 所确定的隐函数 的导数si()yx()x 答案： dyxco1dy第 9 页 共 17 页4、求由方程 所确定的隐函数 的ln0xy()yx导数 答案： ddyx九、 洛必达法则求极限，注意结合等价无穷小替换原理例题：1、求极限 01limsinxe解：原式 0()liixx. .20s1lixxe0sin,1xe 当 时 ，0colimxx0snli2xxe12、求极限 30sinlimtax第 10 页 共 17 页解：原式= 30sinlimx0tanxx 当 时 ，201colix= 20li3x 210cosxx 当 时 ，163、求 （答案： ）20limxe12十、 凑微分法求不定积分（或定积分）简单凑微分问题： ， ， ,2xedsin4xcos5xdlnxd一般的凑微分问题： ， ，21x23，sincodlx例题：1、 2xd
