1、1学科分类号O15本科毕业论文题目（中文）抽屉原理及其应用（英文）DRAWERPRINCIPLEANDAPPLICATION姓名学号2011120422院（系）数学与计算机科学学院专业、年级2011级数学与应用数学指导教师二一五年五月1湖南师范大学本科毕业论文诚信声明本人郑重声明所呈交的本科毕业论文，是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。本科毕业论文作者签名（亲笔签名
2、）二一五年月日（打印）1目录摘要错误未定义书签。ABSTRACT错误未定义书签。1引言12抽屉原理的形式33抽屉原理的构造631等分区间构造抽屉632分割图形构造抽屉634利用“对称性”构造抽屉735利用染色制造抽屉836根据问题的需要制造抽屉1037按同余类构造抽屉1038用数组构造抽屉114抽屉原理在数学中的应用1341数论问题中的应用1342离散数学中的应用1443高等代数中的应用1444抽象代数中的应用1545几何中的应用1546多次顺向运用15147逆向运用165抽屉原理在生活中的应用1851月黑穿袜子1852手指纹和头发1853电脑算命196引言解码20结论22参考文献24致谢25
3、1抽屉原理及其应用2011级数学与应用数学摘要抽屉原理是组合数学中研究存在性问题的基本原理之一，也是非常规解题方法的重要类型之一本文首先详细介绍了抽屉原理的形式；其次，深入探究构造抽屉的方法等分区间、分割图形、用整数性质等；最后，主要从数学解题中的应用和实际生活中的应用进行研究，数学解题方面主要应用于数论、离散数学、高等代数、及抽象代数中的应用，实际生活中大多数用于电脑算命等关键词抽屉原理；抽屉原理的构造；抽屉原理的应用ABSTRACTDRAWERPRINCIPLEISAMATHEMATICALCOMBINATIONOFPROBLEMOFTHEEXISTENCEOFONEOFTHEBASICP
4、RINCIPLESOFNONCONVENTIONALPROBLEMSOLVINGMETHODTHISPAPERFIRSTLYINTRODUCESTHEPRINCIPLEINDETAILSECONDLY,ANALYSESTHEMETHODOFTHESTRUCTUREOFDRAWERDEEPLYEQUALINTERVAL,SEGMENTATIONGRAPH,WITHPROPERTIESOFTHEINTEGERSANDSOONFINALLY,APPLICATIONMAINLYFROMTHEMATHEMATICALFIELDOFAPPLICATIONANDTHEREALITYOFLIFEINTHEAP
5、PLICATIONOFTHETWOMAJORASPECTSOFRESEARCH,MATHEMATICSFIELDSMAINLYUSEDINTHENUMBERTHEORYDISCRETEMATHEMATICS,HIGHALGEBRAANDABSTRACTALGEBRA,INREALLIFE,MOSTUSEDCOMPUTERFORTUNETELLINGANDSOONKEYWORDSDRAWERPRINCIPLEDRAWERTECTONICDRAWERPRINCIPLEAPPLICATION111引言小明我非常博学，常常神机妙算小红我见识多，上知天文，下知地理，啥世面都见过，没什么不知道的小明两本书
6、给三个人用，至少有两人要用同一本书小红这还用说人多书少，共者用是常有的事，这也算得上神机妙算小明7个桃子分给姐妹俩，总有一个人至少要拿4个小红没关系亲姐妹，谁多谁少都是一样，这话对两岁小朋友说也算不上新鲜小明湖南师范大学11级数计院数学与应用数学专业有学生71人，至少有6人生在同一个月小红这很容易办查一查学生证，就全部清除了，你越来越没意思了小明湖南省长沙市人口425万多人，至少有43人有相同的头发根数小红WHAT你再说一遍小明我是说湖南省长沙市人口425万多人，至少有43人有相同的头发根数小红这个你能知道难道全长沙市每个人有多少根头发你数过2小明那倒是没数过，但这个事实我可以用数学原理证明，
7、如果你想知道的话，我倒是可以教教你哟看完这个小片段以后，相信大家一定很想知道怎么得出这个小片段里小明给出的四个结论，特别是其中第五个结论那么，又是如何诞生这些结论的呢在这我先将推导过程所依据的原理向大家透露，抽屉原理就是这最朴素但又最强大的数学原理我们在对抽屉原理充分理解和认识后，对于推导的过程再一一对大家揭晓抽屉原理是一个非常重要又非常简单的数学原理，又被称为鸽巢原理、重叠原理或鞋箱定理，也被叫做狄利克雷原理，因为它是由德国著名数学家狄利克雷PGTDIRICHLET18051855首先发现的抽屉原理非常简单而且易懂，是数学中研究存在性或必然性问题的重要类型之一，也是非常规解题方法的基本原理之
8、一，不但在几何、数论、代数等领域有着广泛应用，抽屉原理也是解决高等数学的其他几门学科领域的有效方法本文总结出了抽屉原理的构造等分区间构造抽屉原理、分割图形构造抽屉原理、利用“对称性”构造抽屉原理、利用染色制造抽屉、根据问题的需要制造抽屉、按同余类构造抽屉、用数组构造抽屉从而归纳出如何运用抽屉原理解决数论、离散数学、高等代数、抽象代数、几何等问题，梳理了抽屉原理在高等数学中的应用，并举例说明了抽屉原理在实际生活中是如何应用32抽屉原理的形式什么是抽屉原理1在生活中，要用5个盘子盛6个桃子，不管怎么放，都至少有一个盘子中有2个或2个以上的桃子，更一般地说，只要盛放的盘子数少于桃子数，就至少有一个盘
9、子中有2个或2个以上的桃子1这就是抽屉原理2或者假定一群鸽子飞回巢中，如果鸽子的数目比鸽巢多，那么一定至少有一个鸽笼里有两只或两只以上的鸽子2，这也是鸽巢原理这一名称的得来抽屉原理非常简单而且容易理解，而在高等数学中这个看似简单的原理有着很大的用处，可以利用抽屉原理这一原理巧妙的解答出数论、离散数学、高等代数、数论以及几何中的一些复杂问题下面从抽屉原理的形式开始入手，然后再探索它在高等数学中如何应用抽屉原理的简单形式3就是把N1件东西，任意分放在N只抽屉里，那么，其中必有一只抽屉里有2件东西这是我们最常用的抽屉原理3除了这种常用形式外，许多学者还推广出了抽屉原理的其他形式由陈景林、阎满富编著的
10、组合数学与图论一书中，抽屉原理被他们抽象概括成多种形式3原理14把多于N个的元素按任一确定的方式分成N个集合，则一定有一个集合中含有两个或两个以上的元素44原理25把M个物体分别放入在N只抽屉里MN，那么至少有一个抽屉里有着不少于K个物体，其中5原理35把无穷多个元素的集合按任一确定的方式分成有限个子集合，必定至少有一个子集中包含无穷多个元素5原理45把1MM个物体分成MNN个组，当N除不尽M时，有0NRRNQM，那么至少有一个组里含有不少于1Q个物体，也至少有一个组是含有不多于Q个物体5原理55设NMMM,21L都是正整数，并有121NMMMNL个物体放进N个抽屉里，则第一个抽屉里至少有1M
11、个物体，或第二个抽屉里至少有2M个物体，或第N个抽屉里至少有NM个物体，至少其中之一成立5由卢开澄编著的组合数学（第三版）一书中，抽屉原理（书中称为鸽巢原理）又被进行了推广4推论16如果2MM只鸽子飞进N个笼子，则必有一个笼子，在该笼子里至少有NM1只鸽子6推论26如果将1MN个物体放入N个盒子，则至少有一个盒子中有M个或更多物体61MNMNKMNMN,当能整除时,当不能整除时5推论36设1Q，2Q，L，NQ都是正整数，如果1121NMQQQNL，则1Q，2Q，L，NQ中至少有一个数不小于M6另外，还可以用映射的形式将抽屉原理表示，即7设A和B是两个有限集，如果|B|A|，那么对从A到B的任何
12、满射F，至少存在1A,2A,使21AFAF763抽屉原理的构造31等分区间构造抽屉8对于问题的结论与区间有关的，可将某个区间等分，从而将若干个抽屉设计出8例18求证对于任意大的自然数N与任给的正无理数，定有个有理数MK，使得MNMK1成立证明进行N等分区间（0，1），得N个小区间1122310,1NNNNNNN由抽屉原理知，这些区间内的1N个数中，一定会有两个数落在某一个区间，从而这两个数的差的绝对值小于N1设1,2,1NINPIL，则由是正无理数得01IIPP所以这1N个数1,2,1NIPPIIL中，必有2个数，不妨设为11PP和22PP，它们的差的绝对值小于N1，即NPPPP12121设K
13、PPMPP2121,，则8NKM1，即MNMK132分割图形构造抽屉有若干已知点在一个几何图形内，根据问题的要求图形可以被我们进行分割，用被适当分割成的图形作为抽屉，这些已知点再被我们7进行分类，集中进行讨论其中的抽屉，从而得出问题的答案8例29一个正方形它的边长为2，从中任取5个点，求证距离不大于2的点至少有两个。分析由于5点是任意的，所以通过计算距离的多少来加以判断不可能，并且题目需要的仅是证明存在两点，不必具体指出存在哪两个点，故可考虑使用抽屉原理来证明由题设可知共有5个点，因此应设法把正方形分为4个小图形，即四只“抽屉”但如果仅考虑把原正方形分成4个相同的小图形，则其分割方法有很多种（
14、如下图（A）、（B）、（C）、（D），因此要保证距离不大于2的点至少有两个，那么每个小图形任意两点的距离就都不能大于2DCBA图31证明把所给正方形分成四个边长为1的小正方形，如图（A），则每个小正方形中任意两点的最大距离是它的对角线长2这样在边长为2的正方形中任给5点，由抽屉原理1，在四只抽屉中（即4个正方形）中，至少有一个小正方形中不少于两点，这两点的距离不大于对角线的长度2933利用“对称性”构造抽屉8在数学中，运用“对称性”解决问题也是的一种方法当然，8运用“对称性”来构造抽屉也不失为一个好方法8，这种方法考察的是我们的细致，需要我们不断的学会思考例38一个正方形被任意九条直线分割，该
15、正方形都被每条直线分割成两个面积比为23的四边形求证在这九条直线经过同一点的至少有三条直线图32证明如图32，设CD是一条符合要求将正方形分成面积为23的直线再画出AB为这两个梯形的中位线，因为这两梯形高相等，所以对应的中位线长的比等于他们的面积比23，即等于PBAP23或者PABP因为点P在正方形一对对边中点的连线上位置确定，并且32PBAP，由对称性可知，有4个这种点，在图中标出的即SRQP,已知满足条件的九条分割直线，它们每一条必定经过SRQP,这4点中其中的一点那么把SRQP,被作为4个抽屉，9条直线为9个物体，所以可看出经过同一点的至少有三条直线834利用染色制造抽屉9我们用N种颜色
16、对每一个物体染色来代表将物体放入盒子中那么根据抽屉原理，如果用N种颜色对1N个物体进行涂色，那么被涂成一样颜色的物体至少有两个8例410证明世界人口虽然很大，但是世界又是很小的，因为任意6个人中，一定是有3个人互相认识，要么互相不认识，请你求证证明我们将这6个人依次用点654321,AAAAAA表示用黄色线段相连的表示两者互相认识；用绿色线段相连的表示两者互相不认识的那么把从1A出发的5条线段，6151413121,AAAAAAAAAA放入黄，绿两个抽屉中，根据抽屉原理知，一定至少有3条线段同色不妨设线段413121,AAAAAA都为黄色考虑线段434232,AAAAAA，可以进行以下两种情况
17、讨论（1）若434232,AAAAAA都是绿色，则三角形432AAA的三边同为绿色，如图33，这就是说432,AAA三者互相不认识（2）若434232,AAAAAA中至少有一条为黄色，不妨设为32AA，如图33，则三角形321AAA的三边同为黄色，即321,AAA三者互相认识A6A5A4A3A2A1A6A5A4A3A2A1图33实线代表黄色，虚线代表绿色10总之，任意6个人中，一定是有3个人互相认识，要么互相不认识1035根据问题的需要制造抽屉例511能否在44的方格表的每个小方格中分别填上1、2、3这3个数之一，而使大正方形方格的每行、每列及对角线上的4个数字的和互不相同请说明理由图34证明
18、若每格都填数字“1”，则4个数字之和最小，其值为4；若每格都填数字“3”，则4个数字之和最大，其值为12因为从4到12之间共有91412个互不相同的值作为9个抽屉，而4行、4列及2条对角线上的各个数字之和共有10244个整数值，这样元素的个数比抽屉的个数多1，所以一定有两个数值至少属于同一个抽屉，即不可能使大正方形的每行、每列及对角线上的各个数字之和互不想同1136按同余类构造抽屉当题目涉及自然数问题，可按其同余类将整数来进行分类这11样，具有共同的特点就分在同一类的整数，就是当他们所得余数相等除以某数后就是我们证明有关整数问题时所需要的抽屉这种分类所构成的不同集合可以解决一些与余数有关的题目
19、利用这个想法例610任意的4个自然数中，其中差是3的倍数肯有两个证明任取一个自然数除以3，得到的余数只能是0、1、2，根据所得余数，把所有自然数可以分为三类余数为0的自然数，余数为1的自然数，余数为2的自然数，把它们当做3只抽屉，在同一个抽屉里的自然数余数相同。那么，任意取4个数，它们其中必有两个数出自同一抽屉，也就是说这两个数除以3，得到的余数相同所以用大数减去小数，它们的差为3的倍数1037用数组构造抽屉除了可以将整数按剩余类分组外，还可以将所给数进行分组根据题意采用其他方法，以便于构造适合的抽屉按题目要求来对整数进行分组是非常重要的，比如对两数是倍数关系，互质的，或要求两数之差、两数之和
20、是一个定数等问题时，都可考虑使用数组构造抽屉方法来解答例710证明从110这10个自然数中，随机取6个不同的数，那么，其中一数是另一数的倍数，至少有两个这样的数分析若按两倍关系分为1，2，3，6，4，8，5，10，7，9，则抽屉个数太多，得不到需证的结果将第六组的9移到第二组，将第二组的6移到第一组，则得到5个数组，再利用抽屉原12理1就能得到证明。若按倍数关系分组，并使每组中的元素个数尽可能的多，则得到数组1，2，4，8，3，6，5，10，7，9，仍可构成所需的5个抽屉证明按倍数关系分组，并使每组中的元素个数尽可能的多，则得到数组1，2，4，8，3，6，5，10，7，9，把这5个数组看成5只
21、抽屉，把从前10个自然数中任取的不同的6个数看成东西。根据抽屉原理1，我们可以得出，其中必有两个数在1，2，4，8，3，6，5，10中的一个数组里，因此，其中一数是另一数的倍数10134抽屉原理在数学解题中的应用12一般，有如下特征的数学问题可以用抽屉原理来解决问题的结论是存在性的命题，其结论不必确定，只要存在，或者新给的元素具有任意性,一般题目中含有“必然有”，“不少于”，“一定有”，“存在”，“至少有”等，例九个盘子用来放十个香蕉，可以任意的在一个抽屉里放几个香蕉，盘子也可以一个香蕉都不放让它空着12本文前面的内容已经介绍了很多常用的构造抽屉原理的方法，这有很有利于我们的解题下面将从数论、
22、离散、高等代数、几何等方面来谈在数学解题中抽屉原理的应用41数论问题中的应用例110任意5个整数中，有其中3个整数的和为3的倍数证明将整数分为形如3K、3K1及3K2这3类形式，则我们可以将这3类整数看作是3个抽屉，将这5个整数看作元素放入这3个抽屉中由抽屉原理可知，至少存在13152个整数在同一抽屉中，即它们都是形如（3KM）的整数，M0,1或2如果有3个以上的数在同一个抽屉中，则取其中的任意三个数，它们的和是形如3（3KM）的整数，即三者的和为3的倍数如果有2个整数在同一个抽屉中，则由抽屉原理知，在剩下的3个数中有2个数在同一个抽屉中，余下的1个数在另一个抽屉中在3个抽屉中各取一个数，这3
23、个数的形式分别为23,13,3321KKK则三者的和为33321KKK，即为3的倍数101442离散数学中的应用例213设有3个7位的二进制数765432176543217654321CCCCCCCBBBBBBBAAAAAAA证明存在整数I和J,其中71JI，使下面至少有一个成立JIJIJIJIJIJICCBBCCAABBAA,解由已知条件，在每一个纵列中，含有三个元素，分别都只有两种选择，即0或1，则根据鸽巢原理，IIIIIICBCABA,中至少一个必然成立成立的时候取值的不同可以有6232C种情况，而每一横行共有七个元素再根据鸽巢原理，必有两列是相同的即JIJIBBAA,JIJICCAA,
24、JIJICCBB之一必然成立1343高等代数中的应用例313设A为N阶方阵，证明存在NI1，使秩IA秩1IA秩L2IA证明若A为零矩阵，结论显然成立若A不为零矩阵，AR的可能值为1,2，L，N令E132,NNAAAAAL,因为E的个数为NN1，所以由抽屉原理11,1NJINI使JIARAR但1JIIARARARL1IIARAR由FROBENIUS不等式及数学归纳法可得1MIMIARAR其中M为非负整数事实上，当M0时，1IIARAR成立假设当MK时成立，即有1KIKIARAR下证MK1时也成立由15FROBENIUS不等式，11KIKIKIKIARARARAAAR即12KIKIARAR而12K
25、IKIARAR12KIKIARAR,1NI有L1IIARAR1344抽象代数中的应用例412证明有限群中的每个元素的阶均有限证明设G为N阶有限群，任取AG，则由抽屉原理可知132,NNAAAAAL中必有相等的不妨设11,NSTAATS于是有EATS，从而A的阶有限1245几何中的应用例512一个边长为1的正方形，放几个圆在它的内部，这些圆的周长之和为10证明至少可以作出一条直线与其中的四个圆有交点证明将所有的已知圆投影到正方形的一条边AB上注意，周长为L的圆周，其投影的线段长为L因此所有已知圆的投影长度之和等于10，由于AB3310，所以由抽屉原理知，线段AB上必有一点X，至少被四条投影线段所
26、覆盖即至少有四条投影线段有公共点因此，过点X且垂直于AB的直线，至少与四个已知圆有交点1246多次顺向运用抽屉原理12本文前面所列的例题抽屉原理都只被运用了一次，在有些题目中，其实，抽屉原理被顺向运用时，还要进行多次连续使用，问题才可以被解决12，并且每构造一次抽屉范围都被缩小一些16例612证明在平面内，凸五边形任意的5个顶点中，一定有三点A、B、C，使5ABC分析因为凸五边形五个内角平均值为525,315255，525的三等分值又是5，因此这一题抽屉原理要被用两次证明因为325为平面凸五边形的内角和的大小，所以由抽屉原理得，至少有一个内角不小于53那么，设顶点为B的那个内角不小于53，A、
27、C为与它不相邻的两个顶点，B被边AB、CB分成三个角，则由抽屉原理知，必有一个角不小于53153，设这个角为ABC，于是5ABC1247逆向运用抽屉原理有些数学问题，抽屉原则进行运用可归结为已知N和11NM的值，求M的最小值，这种问题将抽屉原理逆向运用，并用1XXX去解例714在平面直角坐标系内，求至少在多少个整点（坐标都是整数的点）中有4个整点，它们两两的中点也是整点解由中点坐标公式知，中点为整点的条件是两个端点的对应坐标的奇偶性相同，因此需要把整点的坐标按奇偶性分类整点的坐标按整数奇偶性分成四类（奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），（偶,偶）设在X个整点中至少一类中有4个整点，所以4141X
28、，即341X，所以16112X，即713X所以X的最小值是13，即17至少在13个整点中，有4个整点，它们两两的中点也是整点14185抽屉原理在实际生活中的应用抽屉原理不仅广泛应用在高等数学中，抽屉原理在我们的实际生活中也能处处发现它的影子如职称评定、资源分配、赛程安排、招生录取等，都不难看到抽屉原理在生活中的作用51月黑穿袜子你房间的电灯忽然坏了，在一个晚上，然而那天又伸手不见五指一片漆黑，但你这时又要出去，于是你就找你的袜子你有黄、黑、绿三双不同颜色的袜子，可是平时做事很随便的你，袜子一脱就被你给乱仍了，在黑暗中不知道颜色相同的是哪一双你想将袜子拿出去最少数目，通过外面月光来配成颜色相同的
29、一双那么应该最少数目是多少根据抽屉原理，你就会知道将四只袜子拿出去就行了因为我们有黄、黑、绿三双不同颜色的袜子，相当于3个抽屉，我们将拿出去的4只袜子当做4个物体，4个物体肯定有2个是相同颜色的52手指纹和头发由于没有哪两个人的手指纹在这个世界上是会相同的，所以抓嫌疑人判案时警察很重视指纹识别，希望通过手指纹来找出犯人从而破案然而中国人口虽有13亿，但是至少有两个人是有着相同的头发根数的这是因为，人是不会有超过13亿这么大的数目的头发根数，假定人最多头发根数为N根现在我们用IA表示有I根头发的那些人，19那么我们可以编上号码NAAAA,321L现在假设每个IA都有一个人，那么还剩下“13亿N”
30、个人，这数目不会为零，现在我们随便挑一个人出来放进跟他具有相同头发根数的小组就行，他就会在里面遇到和他头发根数相同的人了53电脑算命“电脑算命”听起来很神奇，你只要告诉自己出生年、月、日以及性别一按键盘，屏幕上就会出现所谓命运的句子，那么用电脑算出来的“命”是科学的吗如果按照70年来算，15根据出生的年、月、日以及性别的不同算出的组合数应为51100236570，我们把它当做抽屉数目15我国现有13亿人口，它被我们当做物体由于25441151100110319，根据抽屉原理，存在25441个以上的人，虽然他们有着不同的机遇、天资、经历、出身，但他们的“命”却完全一样，很显然电脑算命不科学所谓“
31、电脑算命”不过是像中药柜那样把人为编好的算命语句事先分别一一存放在各自的柜子里，然后根据算命人出生的年、月、日以及性别的不同的组合按不同的编码在电脑上的各个“柜子”里取出编好的算命语句其实电脑算命只不过是一种排列组合的电脑游戏206引言解码我们通过以上对抽屉原理的学习，现在我们能够很容易的回答出引言提出的问题“湖南省长沙市人口425万多人，为什么至少有43人有相同的头发根数”让我们一起来看下面的小片段并从中找到答案小明现在我们通过问题的反面来思考我们让425万人根据头发的根数“排队进场”小红这么多人怎么排队，就算按每隔十米站一个，都能绕地球赤道一周那得排多长的队小明不是让这么多人真排队，只是借
32、用这种思维方式。我们先让0号房间待0根头发的人小红0根头发那不就是光头那么0号房间待多少光头呢小明假设不到43个，最多42个呗小红为啥不是43呢小明如果有43个0根头发的，不就已经找到43个头发一样多的人了吗虽然他们的头发根数都是0根，但也是相同的根数小红哦是哟，所以不可以有43个光头小明接着就让1号房间待长着1根头发的人小红就一根头发那这1根头发长哪儿合适呢小明随它长哪儿，1根“独苗”长哪儿都不好看你说有多少个“独苗”待1号房间呢21小红这我知道最多有42个呗小明嗯，是的，再2号房间待全部长两根头发的人小红2根头上的头发成双对，一双又一对小明好了别唱啦，我们还是假设最多42个人待在2号房间。
33、小红哈，我知道接下来3号房间轮到三毛待啦而且超过42个“三毛”待在3号房间小明不错不错，好个聪明的家伙以此类推，全长沙人民都根据头发根数都待在相应的房间了再考你一考，据你所知一个人最多会有多少根头发呢小红这不能确定，有说几千根，有说几万根，但肯定不到十万根小明好，那不到十万，就算最多有九万九千九百九十九根。咱们从0号到99999号，为了让全长沙人民全部进入相应的房间，总共需要10万个房间小红是的，可是全部都进了又怎么样小明那么请你计算下，我们已经假设最多有42个人待在一个房间那么你算算10万个房间，最多可以待多少人呢小红这还用算嘛，420万呗小明但我们长沙市有425万人，这说明假设最多有42个
34、人待在一个房间是不对的，那么也就是至少有一个房间人数不少于43人，而他们的头发根数都相同22结论抽屉原理的形式非常简单，所以本文将抽屉原理的构造和应用放在了重点如何恰当的构造抽屉是应用抽屉原理解题的难点本文结合实例进行了一些探究，希望能为大家数学解题提供简便的方法抽屉原理应用的关键在于我们大家自身的经验与思维的灵活性23参考文献1张中伟、张竟雄抽屉原理J数学教学通讯,2002,0779812何颖智浅谈抽屉原则J内蒙古科技与经济，1997,0246473严镇军，陈振宣，邹一心，余应龙初中数学竞赛辅导讲座M上海科学技术出版社,19872833014曹如杰浅谈“抽屉原则”及其应用J师范教育，1993
35、,0421225许强抽屉原理的应用J新课程，2014,0374756吕松涛抽屉原理在数学解题中的应用J商丘职业技术学院报,2010,0215167石立叶，于娜，刘文函抽屉原理及其应用J今日科苑，2009,171378李学敏，沈林抽屉原理及其应用J旅游纵览（下半月），2013,092849王贵友，关于运用抽屉原理解决初等数学问题的探讨J消费导刊，2007,1315610兰社云，高喜梅，浅谈抽屉原理及抽屉构造J河南教育学院学报（自然科学版），2003,0281111宋博抽屉原理JTEACHINGDESIGN,2005,115512贾忠淼，沈林抽屉原理在数学解题中的应用J湖南农机，2013,0923
36、023113濮安山高等代数中抽屉原理的应用J哈尔滨师范大学自然科24学学报，2001,06212214李莉，李永杰中学代数研究与教学M郑州郑州大学出版社，2007120015施文光，数学“情景问题”教学与抛锚式教学之比较研究D云南云南师范大学，200625致谢大学四年学习时光已接近尾声了，回首走过的岁月，不禁感叹岁月如梭，当初那只知在中学与家中穿梭的稚嫩的学生娃，现经湖南师范大学的锻炼，我已茁壮成长，已有了步入社会的基本能力，回首大学这四年，心中倍感充实在此我想对我的母校，我的数计大家庭，我的老师和我的同学们表达我由衷的谢意感谢学校能提供这么优越的环境与师资来栽培我们学子本论文的顺利完成，是离不开我的论文指导老师郭婷老师，感谢她在忙碌的教学工作中能挤出时间来帮我审查、修改论文师大所有老师，他们的严谨细致、一丝不苟的作风已深深感染了我，在今后的工作学习中我也会秉承这种优良传统，因为我是师大人，我为师大而骄傲希望我伟大的湖南师范大学今后越办越好，是更多人才的发源地，我也会在今后的工作中严于律己，为我的母校填光增彩
