1、洛阳师范学院本科毕业论文LUOYANGNORMALUNIVERSITY2015届本科毕业论文微分中值定理及其应用院（系）名称数学科学学院专业名称数学与应用数学学生姓名学号110414079指导教师副教授完成时间20155洛阳师范学院本科毕业论文1微分中值定理及其应用数学科学学院数学与应用数学学号110414079指导教师副教授摘要微分中定理是微分学的基础定理，它是沟通函数与其导数之间关系的桥梁，在高等数学间占有核心位置本文总结和归纳了微分中值定理在数学分析中的应用关键词微分中值定理；应用0、引言微分中值定理是一元函数微分学的理论基础，也是一元函数微分学通往应用的桥梁，其应用非常广泛，函数在一点
2、的导数，只反映函数在这点近旁的性质，所以导数是局部性质，但是研究工作中又常常要用函数全局性质于是要从导数给出的局部性质推出函数在整个定义域上的性质，这就要利用微分中值定理来达到这个目的，它是沟通函数与导数之间的桥梁，应用微分中值定理的基本方法是广泛使用辅助函数1、几个常见微分中值定理定理111（罗尔（ROLLE中值定理）若函数F满足如下条件IF在闭区间,AB上连续；（IIF在开区间,AB上可导；（IIIFAFB；则在,AB上至少存在一点，使得0F罗尔定理的几何意义是说在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相同，则至少存在一条水平切线证因为F在,AB上连续，所以有最大值和最小值，分
3、别用M和M表示，现在分两种情况来讨论1若MM,则F在,AB上必为常数，从而结论显然成立2若MM，则因FAFB，使得最大值M与最小值M至少有一个在,AB上的某点处取得，从而是F的极值点由条件（II，F在点处可导，故由费马定理洛阳师范学院本科毕业论文2推知0F注定理中的三个条件缺少任何一个，结论将不一定成立定理212拉格朗日（LAGRANGE中值定理）若函数F满足如下条件（IF在闭区间,AB上连续；（IIF在开区间,AB上可导；则在,AB上至少存在一点，使得FFBFABA显然，特别当FAFB时，本定理的结论即为罗尔定理的结论这表明罗尔定理是拉格朗日定理的一个特殊情形拉格朗日中值定理的几何意义是说在
4、满足定理条件的曲线YFX上至少存在一点,PF，该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线AB我们在证明时引入的辅助函数FX，正是曲线YFX与直线AB（FBFAYFAXABA）之差证（利用分析法证明拉格朗日中值定理）要证存在,AB使得FBFAFBA成立，即证，存在,AB使得0FBFAFBA，（1）成立，亦即0FBFAFXXXBA（2）记FBFAFXFXXBA，,XAB则由FX满足罗尔定理的条件知，存在,AB使得（2）成立，进而（1）成立，从洛阳师范学院本科毕业论文3而拉格朗日中值定理成立注定理的结论称为拉格朗日公式推论1若函数F在区间I上可导，且0FX，XI，则F为I上的一个常量函数推论2若函数
5、F和G均在区间I上可导，且FXGX，XI，则在区间I上FX与GX只相差某一常数，即FXGXC（为某一常数）推论3（导数极限定理）设函数F在点0X的某邻域0UX上连续，在0UX内可导，且极限0LIMXXFX存在，则F在点0X可导，且00LIMXXFXFX注导数极限定理适合于用来求分段函数定理313（柯西中值定理）设函数F和G满足如下条件（I在,AB上都连续；（II在,AB上都可导；（IIIFX和GX不同时为零；（IVGAGB，则存在,AB，使得FFBFAGGBGA（1）柯西中值定理的几何意义是说把F、G这两个函数写作以X为参量的参量方程UGXVFX在UOV平面上表示一段曲线由于（1）式右边的FB
6、FAGBGA表示连接该曲线的弦AB的斜率，而（1）式左边的洛阳师范学院本科毕业论文4FDUXGDV则表示该曲线上与X相对应的一点,CGF处的切线的斜率因此（1）式即表示上述切线与弦AB互相平行证首先构造辅助函数XGXYFX由于0GX，故可知GX恒大于零或者恒小于零。否则，由费马定理可知，必存在,AB使得0G我们不妨设GX恒大于零于是，对于任意,ABXXX，其中CXGC，,CAB又由复合函数连续性定理即含参变量函数定理可证得1YFXFGX在闭区间,ABXX上连续，在开区间,ABXX内可导，且XXXXXDFXDYDYXFXDXDGXDXDXXGXDX故即是要证明11BAXXBADYFGXFGXDX
7、XX，因此可构造辅助函数111BABAFGXFGXXFGXXXX，可以验证X满足罗尔定理的条件，故至少存在一个,ABXXX，使得11BAXXBADYFGXFGXDXXX成立再由XXXXXDFXDYDYXFXDXDGXDXDXXGXDX知，至少存在,AB使得洛阳师范学院本科毕业论文5FFBFAGGBGA成立，故柯西中值定理得证定理14泰勒定理）若函数F在,AB上存在直至N阶的连续导函数，在,AB上存在1N阶导函数，则对任意给定的X,0X,AB,至少存在一点,AB，使得1210000000021NNNNFXFXFFXFXFXXXXXXXXX证作辅助函数NNFTFTFXFTFTXTXTN，1NGTX
8、T，所要证明的即为1001NFFXGXN或1001NFXFGXN不妨设0XX，则FT与GT在0,XX上连续，在0,XX上可导，且1NNFTFTXTN，10NGTNXT又因为0FXGX，所以由柯西中值定理证得1001NFXFXFXFFGXGXGXGN，其中0,XXAB，该定理的结论被称为泰勒公式因为它的余项为1101NNNNFRXFXTXXXN，00XXX（01,称为拉格朗日型余项，所以它又被称为带有拉格朗日型余项的泰勒公式洛阳师范学院本科毕业论文6注0N时，即为拉格朗日中值公式00FXFXFXX所以，泰勒定理可以看成拉格朗日中值定理的推广下面是几种常见函数带有拉格朗日型余项的泰勒公式（1）XF
9、XE，由1NXFXE，得到21121NXXNXXEEXXNN，01,X（2）SINFXX,由2121SIN1COS2MMMFXXX，得到3521121COSSIN11352121MMMMXXXXXXXMM，01,X（3）类似于SINX，可得242122COSCOS11124222MMMMXXXXXXMM，01，,X（4）LN1FXX，由1111NNNFXNX，得到23111LN1112311NNNNNXXXXXXNNX，01,1X（5）11FXX,由1211NNNFXX，得到1221111NNNXXXXXX，01,1X（6）1FXX,由11121NNFXNX，得到211111111121NNN
10、NNXXXXXXNN01,1X2、关于罗尔中值定理的应用例21设F为R上可导函数，证明若方程0FX没有实根，则方程0FX至多只有一个实根洛阳师范学院本科毕业论文7证这可反证如下倘若0FX有两个实根1X与2X（设12XX），则函数F在12,XX上满足罗尔定理三个条件，从而存在12,XX，使F，这与0FX的假设相矛盾，命题得证例22试讨论下列函数在指定区间内是否存在一点，使得0F；111SIN,00,0XXXFXX；（2）,11FXXX解（1）FX在10,上连续，又因为001LIMLIMSIN00XXFXXFX，所以FX在0X右连续故FX在10,上连续又2111111SINCOSSINCOSFXX
11、XXXXXX，10,X，故FX在10,内可导，且10FF根据罗尔中值定理，存在一点10,，使0F200LIM10XXFX，00LIM10XXFX，所以FXX在0X不可导，则FXX在1,1上不满足罗尔中值定理的条件当01X时，FXXX，所以1FX；当10X时，FXXX，所以1FX故函数FX在区间1,1内不存在，使0F例23证明若0FX，其中,XAB，且FX存在，0FX有两个相异实根，则存在,CAB，使得0FC证已知,XAB，有0FX，0FX有两个相异实根12,XXAB（12XX），所以120FXFX，且12,XX必然是FX的局部极小值点由费马引理可得120FXFX又FX存在，故,FXFX存在且,
12、FXFXFX均在,AB上连续在12,XXAB内使用罗尔定理，存在12,XX，使0F同理存在洛阳师范学院本科毕业论文811,X，22,X，使得120FF再次使用罗尔定理有12,CAB，使0FC例24以SX记由,AFABFBXFX三点组成的三角形面积，试对SX应用罗尔中值定理证明拉格朗日中值定理证由拉格朗日中值定理的题设知，FX在,AB上连续，在,AB内可导由,AFABFBXFX三点组成的三角形面积为11121AFASXBFBXFX由题设知，函数SX在,AB上连续，在,AB内可导又因为0SASB，所以由罗尔中值定理，存在,AB，使得0S，由1222ABSXFXFXFAFB得FBFAFBA3、关于拉
13、格朗日中值定理的应用例31证明若FX在,AB可导，且无界，则FX也无界，反之则不然证若FX在,AB有界，则存在0M,使得,FXMXAB选定某0,XAB，在0,XX（或0,XX）上FX符合拉格朗日中值定理条件，有00FXFXFMXX，在0,XX之间，于是，00FXFXMXXMBA，00000FXFXFXFXFXFXFXMBAFX，即FX在,AB有界，矛盾但是从FX的导函数FX在,AB无界的条件，不一定有FX在,AB无界的结论反例,0,1FXXX明显地，FX在0X为无穷大，而FXX在0,1却有界注已知FX的某种性态，利用中值定理可以推出FX的性态，在这里中值定理洛阳师范学院本科毕业论文9充当了至关
14、重要的角色，因为它恰是沟通函数与导数的桥梁，证明是在0,XXAB上进行的，之所以如此，是因为FA可能不存在在这种情况下，常常设法取,AB内的子区间过渡例32证明若FX在,AB连续，且非线性函数FX在,AB可导，则存在,AB，使得FBFAFBA证过,AAFA及,BBFB的直线方程可写成FBFAGXXAFABA，且,GAFAGBFB由FX非线性可知，存在,CAB，使得GCFC，不妨设GCFC，则FCFAGCGAFBFACACABA，FBFCGBGCFBFABCBCBA从而FBFCFBFAFCFABCBACA，在,ACCB上应用拉格朗日中值定理，2112,FBFAFFACCBBA若0FBFABA，取
15、1，有1FBFAFBA；若0FBFABA，取2，有2FBFAFBA故存在,AB，使得FBFAFBA注该命题的几何解释为对非直线的曲线段，若其连续且每点有不垂直于X轴的切线，那么一定有某点处的切线比连结曲线端点的弦更“陡”例33应用拉格朗日中值定理证明下列不等式1LNBABBABAA，其中0AB；22ARCTAN1HHHH，其中0H证（1）LNLNLNBBAA，令LNFXX，则1FXX因为0AB，所以FX在,AB上满足拉格朗日中值定理的条件，故至少存在一点,AB，使得LNLNFBFABAFBABA，而1F于是，1LNLNBABA，由洛阳师范学院本科毕业论文100AB可得111BA，因而1LNLN
16、1BABBAA，故命题得证2ARCTANARCTANARCTAN0HH，令ARCTANFXX，则211FXX，又FX在0,H上满足拉格朗日中值定理的条件，于是存在0,H，使得2ARCTANARCTAN01HH又因为0,H故2211HHHH，命题得证注这种类型题目的解题思路关键在于作出准确合适的辅助函数,从而应用拉格朗日中值定理证明不等式例34设FX在,AB上连续，在,AB内有二阶导数，试证存在,CAB，使2224ABBAFBFFAFC（1）证令2BAFXFXFX由拉格朗日中值定理可得（2）,22ABABFFAFA,2ABA22BABAFF22BAFC（3）其中,2BACAB另一方面，由（2）式
17、可得2ABFFA2222ABBAABBAFFFAFA22ABFBFFA（4）将（4）式代入（3）式，即得（1）式，即命题得证注灵活应用辅助函数是解题关键例35函数,FTGT在,AB上可微，且0GT，,TAB，证明必存在,CAB，使得FBFAFCGBGAGC成立洛阳师范学院本科毕业论文11证由0GT知GBGA，令FBFAFTFTFAGTGAGBGAFX在,AB上连续，在,AB内可导，由拉格朗日中值定理，存在,CAB使得0FC，FBFAFTFTGTGBGA，0FBFAFCGCGBGA，又0GC即有FCFBFAGCGBGA注该题是应用拉格朗日中值定理证明柯西中值定理4、关于柯西中值定理的应用4例41
18、设F在区间0,1上可导，0LIMXXFXA求证F在区间0,1上一致连续证设1MA因为0LIMXXFXA，所以存在101，当10X时XFXM那么对于任意的1,0,XY，XY，由柯西中值定理，存在，有122,0FXFYFMXYXY，由此FXFYXY因为函数X在区间10,上一致连续，所以FX亦在10,上一致连续又FX在1,1上连续，从而为一致连续，故函数FX在区间0,1上一致连续例42设函数F在区间,AB上连续，在,AB内可导，且0AB证明存在,AB，使得1ABFFFAFBAB证因为111FBFAABBAFAFBABBA，因而取1,FXFXGXXX，,XAB，则函数F和G在,AB上满足柯西中值定理的
19、条件于是存在,AB使得2211ABFBFAFFFFFFAFBABGBGAG洛阳师范学院本科毕业论文12例43设F在,AB上三阶可导，证明存在,AB，使得311212FBFABAFAFBBAF证令12FXFXFAXAFAFX3GXXA，则,FXGX在,AB上满足柯西中值定理的条件，于是存在1,AB，使得11FBFAFGBGAG又因为0,0FAGA，33GXXA，0GA，11,022FXFXFAFXXAFXFA，所以11FBFBFAFFFAGBGBGAGGGA，在区间1,A上对函数,FXGX应用柯西中值定理可得，存在1,AAB，使得FBFGBG,由1,2FXXAFX6GXXA，可得312FBFAB
20、AFBFAFBFGBBAG12612AFFA因此，311212FBFABAFAFBBAF例44设FX在,AB上连续，在,AB内可微，0BA，证明在,AB内存在1X，2X，3X使得221233322LN24BFXFXABAXFXXXBA（1）证要证（1）式只需证明224412333LN24FXFXBBABAXFXXXA（2）洛阳师范学院本科毕业论文13令FXFX，2GXX，在,AB上用柯西中值定理有12212FBFAFXBAX，其中1,XAB，22112FXFBFABAX（3）再令4GXX，类似应用柯西中值定理有244324FBFAFXBAX，其中2,XAB，442324FXFBFABAX（4）
21、再令LNGXX，类似应用柯西中值定理有331LNLNFBFAFXBAX，其中3,XAB，33LNBFBFAXFXA（5）由（3）、（4）、（5）即证（2），从而即证（1）5、关于泰勒公式的应用例51设函数F在,AB上二阶可导，0FAFB证明存在一点,AB，使得24FFBFABA证FX在XA和XB的一阶泰勒公式分别为212FFXFAXA，1,AB，222FFXFBXB，2,AB，由此得到221222222ABFABFABFFAAFBB，于是，洛阳师范学院本科毕业论文14212122BAFBFAFF1284BABAFFF其中1或2，并且满足12MAX,FFF例525设FX在0,内二次可微，012,
22、MMM分别为FX，FX，FX在0,内的上确界，证明1024MMM证对任意的0,X和任意的0H，由泰勒公式有212FXHFXFXHFH，XXH解得112FXFXHFXFHH0222MHMFXH若取022MHM,则12022FXMM,2024FXMM再由X的任意性，有21024MMM例53设FX在0,1上二阶可导，010FF，01MIN1XFX，求证01MAX8XFX证设FX在01XAA处取得最小值，所以1FA，0FA由泰勒公式22122XXFFFXFAFAXAXAXA（1）其中X在A与X之间又010FF，将它们带入（1）式有21012FA，其中10,A（2）220112FA，其中2,1A（3）洛
23、阳师范学院本科毕业论文15令11FC，22FC，由（2）、（3）有21012CA，220112CA122CA，2221CA分两种情况1、若12A，则18C，1101MAX8XFXFC2、若12A，则112A，则28C，01MAX8XFX6、关于微分中值定理的综合应用6例设FX，GX，HX在AXB上连续，在AXB内可导，证明必存在,AB，使得0FAGAHAFBGBHBFGH，（1）并由此说明拉格朗日中值定理和柯西中值定理都是它的特例证作辅助函数FAGAHAFXFBGBHBFXGXHX由于0FAFB，由罗尔定理知存在,AB使得0FAGAHAFFBGBHBFGH（2）即证（1）式若令1HX，则由（2
24、）式有1010FAGAFFBGBFG（3）由（3）可得洛阳师范学院本科毕业论文16FBFAFGBGAG，此即是柯西中值定理若令1HX，GXX，则由（2）式有10110FAAFFBBF（4）由（4）解得FBFAFBA此即得拉格朗日中值定理结论由上述所述，我们发现微分中值定理的证明除了构造辅助函数，还可以利用其它的证明方法加，同时从罗尔定理到柯西中值定理的层次之间还存在着递进关系除了本文介绍的几个方面，利用微分中值定理还可以导出洛必达法则、泰勒公式等，由导数研究函数的性态也经常用到微分中值定理的结论深入研究微分中值定理，有助于加深对这些定理的理解；弄清楚这些定理的证明，有助于我们掌握微分中值定理的
25、具体应用参考文献1华东师范大学数学系数学分析M北京高等教育出版社,201072张勇微分中值定理的认识及推广J消费导刊时空教育2009021663童蓓蕾；胡燕微分中值定理证法的改进J科技创新导报2011071514张天德；韩振来数学分析辅导及习题讲解M延边大学出版社，201175钱吉林数学分析题解精粹M湖北长江出版集团，20096裴礼文数学分析中的典型问题与方法M北京高等教育出版社DIFFERENTIALMEANVALUETHEOREMANDITSAPPLICATIONJIANGKERUICOLLEGEOFMATHEMATICSSCIENCENO110414079TUTORZHUJUNMINGABSTRACTDIFFERENTIALMEANVALUETHEOREMISTHEDIFFERENTIALOFTHEFUNDAMENTALTHEOREMOFALGEBRA,HIGHERMATHEMATICSISPARTOFTHECORECONTENTTHISPAPERSUMSUPANDSUMMARIZESTHEAPPLICATIONOFDIFFERENTIALMEANVALUETHEOREMINTHEMATHEMATICALANALYSISKEYWORDSAPPLICATIONOFDIFFERENTIALMEANVALUETHEOREM
