一次方程组与矩阵的列运算.DOC

1、311第 三 章 一 次 方 程 組 與 矩 陣 的 列 運 算31 一 次 方 程 組 的 解 法 與 矩 陣 的 列 運 算(甲 )高 斯 消 去 法(1)一 次 方 程 組 與 高 斯 消 去 法 ：例 子 ： 解 下 列 的 一 次 方 程 組)3(1342422:)(zyxL)3(2)1()3(12:)( /927 / zyxL)3(72)(/)3(23:)( /771927 /8/ zyxL故)2(1)3(8/727112/:)(zyxL2zyx高 斯 消 去 法 (Gauss Elimination)解 題 過 程 ：(a)將 一 次 方 程 組 (L)利 用 某 個 方 程 組

2、 中 x 的 係 數 消 去 其 它 方 程 式 中 x 的 係 數 ，得 出 同 解 的 方 程 組 (L/)。(b)利 用 另 一 方 程 式 中 y 的 係 數 消 去 其 它 方 程 式 中 y 的 係 數 ， 而 得 出 同 解 方 程 組(L/)。(c)再 利 用 另 一 方 程 式 中 z 的 係 數 消 去 其 它 方 程 式 中 z 的 係 數 ， 而 得 出 同 解 方 程組 (L/)。繼 續 上 面 的 作 法 ， 把 另 外 還 有 的 變 數 以 同 樣 的 方 式 消 去 ， 最 後 便 能 得 此 一 次 方程 組 的 解 。(2)利 用 高 斯 消 去 法 討

3、論 一 次 方 程 組 的 解 ：無 解 ： 利 用 高 斯 消 去 法 到 最 後 ， 出 現 下 列 的 型 式 ， 則 方 程 組 無 解 。或 )0(a)(baxn312無 限 多 解 ： 當 一 方 程 組 用 高 斯 消 去 法 到 最 後 ， 出 現 下 列 的 型 式 ，則 方 程 組 無 限 多 解 。 0例題 1 試利用高斯消去法解下列一次方程組：Ans：x =1+t，y =3t，z =t，t 為實數。3187725zyx(練 習 1) 試 利 用 高 斯 消 去 法 解 下 列 一 次 方 程 組 ：Ans： x=1， y=1， z=262335zyx(乙 )矩 陣 的

4、列 運 算(1)矩 陣 的 引 入 ：在 方 程 組 中 ， 將 係 數 與 常 數 項 列 出 來 成 一 個 矩 形 陣 列 ， 並 用 一 對4236zyx括 號 把 這 些 數 圍 起 來 而 成 為 ， 像 這 樣 型 式 的 矩 形 陣 列 ， 稱 之 為42136矩 陣 。(2)記 號 與 符 號 ：矩 陣 M= 直 行 橫 列 621335行列(a)元 ： 矩 陣 中 列 出 來 的 每 個 數 稱 為 矩 陣 的 元 。(b)列 ： 同 一 水 平 線 各 元 合 稱 此 矩 陣 的 一 列 。(c)行 ： 同 一 鉛 直 線 各 元 合 稱 此 矩 陣 的 一 行 。(d)

5、位 於 第 i 列 ， 第 j 行 的 元 稱 為 (i,j)元 。(e)當 一 個 矩 陣 M 有 n 列 m 行 時 ， 我 們 稱 M 為 nm 階 的 矩 陣 。(f)當 一 個 矩 陣 M 有 n 列 n 行 時 ， 我 們 稱 M 為 n 階 的 方 陣 。313(g)設 A=aijmn 是 一 個 階 矩 陣 ， 作 一 階 的 矩 陣 B=bijnm， 其nmn中 bij=aji， 則 稱 矩 陣 B 為 矩 陣 A 的 轉 置 矩 陣 ， 符 號 ： B=AT。例 如 ： A= AT= 。7162034710623例 子 ： 4531M3624M(a)M1 中 (2,1,1,

6、3)為 第 列 。 (b) M1 中 為 第 行 。0(c)M1 為 階 矩 陣 。 (d)M1 的 (2,3)元 為 。(e)M2 為 階 方 陣 。 (f)M2 中 第 二 行 的 向 量 為 。(3)係 數 矩 陣 與 增 廣 矩 陣 ：(a)係 數 矩 陣 ： 將 方 程 組 (L)的 係 數 依 序 列 出 來 的 矩 陣 稱 為 係 數 矩 陣 。(b)增 廣 矩 陣 ： 將 方 程 組 (L)的 係 數 及 常 數 項 依 序 列 出 來 的 矩 陣 稱 為 增 廣 矩 陣 。例 ： 的 係 數 矩 陣 ： ， 增 廣 矩 陣 ：482:)(zxyL 1023 410823(4)

7、矩 陣 的 列 運 算 ：我 們 使 用 高 斯 消 去 法 求 解 一 次 方 程 組 ， 在 求 解 的 過 程 中 ， 可 以 把 方 程 組 以 它 的 增廣 矩 陣 來 代 替 ， 如 此 就 把 方 程 組 的 變 形 過 程 轉 成 增 廣 矩 陣 的 變 形 。)3(62315:)(zyxL621335M)3(9751:)(/zy 97503/)(422:)(/53/zxL 421153/M)3(4251:)(/ zyxL42051/矩 陣 的 列 運 算 ：314(a)將 一 矩 陣 的 某 一 列 乘 上 某 一 數 值 加 入 另 一 列 。(b)將 一 矩 陣 的 某

8、一 列 乘 以 一 個 不 為 0 的 數 。(c)將 一 矩 陣 的 某 一 列 中 的 某 兩 列 互 換 位 置 。簡 化 矩 陣 ：一 個 矩 陣 ， 只 要 列 運 算 後 所 得 的 矩 陣 達 到 在 每 個 不 為 0 的 列 中 ， 第 一 個 不 為 0的 元 所 屬 的 行 中 ， 只 有 這 個 元 不 等 於 0。 我 們 就 稱 它 為 一 個 簡 化 矩 陣 。例 如 ： 為 一 個 簡 化 矩 陣 。42051例題 2 對以下的矩陣作列運算化到最簡形式(即化成簡化矩陣)(1) (2)41037217345Ans：(1) (2) 1000139例題 3 設矩陣 A

9、= 621335(1)試求矩陣 A 所對應的方程組 L。315(2)化矩陣 A 為簡化矩陣。(3)試寫出(L)的解。Ans：(1)L： (2) (3)x=1,y=1,z=262335zyx42051例題 4 設 A=aij33，其中 aij= ，請寫出 A 與 AT。jiji,2,1(練 習 2) 設 A= 請 回 答 下 列 各 問 題 ：156813702(1)有 幾 行 幾 列 ？ (2)請 問 A 的 階 數 為 何 ？(3)寫 出 A 的 第 二 列 行 向 量 (4)請 寫 出 a12、 a35。Ans： (1)5 行 3 列 (2)35 階 (3)8,7,7,6,6 (4)2，

10、15(練 習 3) 設 A 為 3 階 方 陣 ， 且 A=aij， 其 中 aij=i2+2j1， 請 寫 出 AT。Ans： AT= 1496270316(練 習 4) 將 下 列 矩 陣 用 列 運 算 化 成 簡 化 矩 陣 。(1) (2)7260431Ans： (1) (2) 0815(練 習 5) 利 用 增 廣 矩 陣 的 列 運 算 ， 求 下 列 方 程 組 的 解 。(1) (2)63124zyx283140zyxAns： (1) (2)無 解tz,7,(練 習 6) 利 用 高 斯 消 去 法 解 ： Ans： 無 解12693421xx(練 習 7) 利 用 高 斯

11、消 去 法 解 ： 08691352121xAns： x1=30t， x2=67t， x3=24t。(丙 )一 元 聯 立 方 程 組317例題 5 用加減消去法解下列方程組(1) 。 (2) 3526zyx3421zyxAns：(1)x= 9，y= 4，z =1 (2)x=t，y = + t，z =3t2。34 74例題 6 解下列方程組：(1) (2)34216yxzzyx1)2(501zxyzxAns：(1)(x,y, z)=( , , ) (2)(x,y,z)=(30,20,60)125232(練 習 8) 若 與 為 同 義 方 程 組 ， 且 恰 有 一 解 ，82493zyxa2

12、21czyxb318則 (a,b,c)=？ Ans： (1,0,3)(練 習 9) 解 方 程 組 。 Ans： (x,y,z)=(1,2,3)或 (1,2,3)236xzyxyz提 示 ： 原 方 程 組 可 化 為 3261xyzxyz(練 習 10) 解 方 程 組 。 (x,y)=(0,0)或 ( , )yx2431419提 示 ： 考 慮 xy=0 與 xy0 兩 種 情 形 例題 7 有一工程，如甲、乙、丙三人合作，10 天可完成；如乙、丙合作，15 天可完成；如甲做 15 天，餘下由丙來做，要再 30 天才做成；問甲、乙、丙獨做，各需幾天完成？Ans：甲需 30 天,乙需 60

13、天,丙需 20 天例題 8 一容量為 100 立方公尺的水池，由 A、B 二水管注水，而由第三水管 C 放水，若三水管全開，則由滿池至水乾需 3 小時，若只開 A、C 兩水管，則 1 小時水乾，若只開 B、C 兩水管，則只需 45 分鐘水乾，請問三水管每小時的注319水(放水 )量各為多少？(練 習 11) 某 公 司 有 甲 乙 丙 三 條 生 產 線 ， 現 欲 生 產 三 萬 個 產 品 ， 如 果 甲 乙 丙 三 條 生產 線 同 時 開 動 ， 則 需 10 小 時 ； 如 果 只 開 動 乙 、 丙 兩 條 生 產 線 ， 則 需15 小 時 ， 如 果 只 開 動 甲 生 產 線

14、 15 小 時 ， 則 需 再 開 動 丙 生 產 線 30 小 時 ，才 能 完 成 所 有 產 品 。 問 如 果 只 開 動 乙 生 產 線 ， 則 需 _小 時 才 能 生 產三 萬 個 產 品 。 Ans： 20 小 時(練 習 12) 已 知 一 長 方 體 的 底 面 積 為 200 平 方 公 分 ， 兩 相 鄰 之 側 面 的 面 積 分 別 為600 平 方 公 分 與 300 平 方 公 分 ， 試 問 此 長 方 體 的 長 寬 高 為 何 ？綜 合 練 習(1) 用高斯消去法解下列方程組：(a) (b)1374342uzyx62335zyx(2) 解下列各二元一次方程

15、式：(a) (b) (c) (d)1|32yx12546yxxy231816723xy(3) 解下列各三次方程式：(a) (b) (c) 16xzy89712xzyx)(32yxz(4) 設 a1,a2,a50 是從 , 0 , 1 這三個整數中取值的數列。若且 ，則 a1,a2,a5050. 22250()().(1)7aa3110當中有幾項是 0？ (5) 有一個三位數其各位數字和為 18，交換個位數字與百位數字後就比原數大495，交換十位數字與百位數字後就比原數大 630，試求這個三位數。(6) 相傳包子是三國時白羅家族發明的。孔明最喜歡吃他們所做的包子，因此白羅包子店門庭若市，一包難求

16、，必須一大早去排隊才買的到。事實上，白羅包子店只賣一種包子，每天限量供應 999 個，且規定每位顧客限購三個；而購買一個、兩個或三個包子的價錢分別是 8、15、21 分錢。在那三國戰亂的某一天，包子賣完後，老闆與老闆娘有如下的對話：老闆說：賺錢真辛苦，一個包子成本就要 5 分錢，今天到底賺了多少錢？老闆娘說：今天共賣了 7195 分錢，只有 432 位顧客買到包子(a)請問當天白羅包子店淨賺多少錢？(b)聰明的你，請幫忙分析當天購買一個、兩個及三個包子的人數各是多少人？(90 大學社)進 階 問 題(7) 解方程組 。1425483724uzyxzuyx(8) 解方程組 。xyzzxy42350(9) x,y,z 為實數，且(x+y+zk) 2+(xy+z)2+(x+3y+zk1)2=0，則 k 的值為何？(10) 解方程組 。)4(21)(32312xx綜 合 練 習 解 答(1) (a)(x,y,z)=(s+ +3,s t+2,s,t) (b)(x,y,z)=(1,1,2) (2) (a) ( , )， ( , )， ( , )，t5 35 1525 1525 1525( , ) (b)(1,2) (c)( , )， (0,0)(d)(2,5) (3)(a)(3,2,4) (b)(3,4,5) (c) (0,0,0)或1525 1314