中级奥数教程1.doc

1、博师堂国际教育中级奥数教程分数的计算一 、知识要点和基本方法分数计算是小学数学的重要内容，也是数学竞赛的重要内容之一。分数计算同整数计算一样既有知识要求又有能力要求。法则、定律、性质是进行计算的依据，要使计算快速、准确，关键是掌握运算技巧。对算式认真观察，剖析算是的特点及个数之间的关系，巧妙、灵活的运用运算定律，合理改变运算顺序，使计算简便易行，这对启迪思维，培养综合分析、推理能力和灵活的运算能力，都有很大的帮助。大家都非常熟悉德国著名数学家高斯十岁时巧算前 100 个自然数的故事吧！从某种意义上说，计算方法的巧妙，在一定程度反映一个人智商的高低。就这个问题给同学们提供些帮助，愿你能较好地掌握

2、巧算妙解的方法。二、例题精讲例 1 计算： 例 2 计算： 2006(4.487-4.3)4.387+4.4分析 可以清楚地看到分子的括号部分与分母 分析 若按部就班计算的复杂性是可想而知，通过观察可以通过乘法意义转换成同一个算式，使计算简便 找到分子、分母的共同点变形以后计算过程就简单多了解 原式=2006 解 原式=(4.3+1) 87-4.34.387+4.4=2006 = 4.387+8.7-4.34.387+4.4 139124=2006 =34.387+4.44.387+4.4 38=2006例 3 计算：1 +3 +5 +7 +9 +11 +13 +15 +17 +1912 14

3、 18 116 132 164 1128 1256 1512 11024分析 先分别把整数部分的数、分数部分的数合并，然后把整数部分的和加上分数部分的和。解 原式= （1+3+5+7+9+11+13+15+17+19）+ （ + + + + + + + + + ）121418 116 132 164 1128 1256 1512 11024=100+（1 ）11024=100+10231024=10010231024例 4 计算：（1 ）（2 ）（3- ）(4- )(5- )(6- )(7- )(8- )(9- )12 23 34 45 56 67 78 89 910分析 把每一个括号里的结果

4、计算出来,解这道题的方法可能就产生了,第一个括号的差是 .第二个括号的差是 ,12 43第三个括号的差是 .94解 原式= 12 43 94 165 256 367 498 649 8110= 12 223 324 425 526 627 728 829 9210=346789=36 288博师堂国际教育例 5 计算: + + + 45571113 1326111317 2223131719 1311171923分析 先把分子分解质因数,约分后就可以获得结果.解 原式= + + +571371113 61317111317 91319131719 31923171923= + + +511 6

5、11 917 317=11217例 6 (22+42+62+1002)-(12+32+52+992)1+2+3+8+9+10+9+8+3+2+1解 原式= （ 22-12） +(42-32)+(62-52)+(1002-992)102= +(2+1)(2-1)+(4+3)(4-3)102 (6+5)(6-5)+(100+99)(100-99)102=3+7+11+195+199100=(3+199)502100= =10150100 1012课后练习题1. 35 +137 2. 18 +0.65 - 18+ 0.6537138 103138 37 813 27 5133. 4253 +4 4

6、2 -10 4. 1- - - - -25 712 712 211 524 12 120 1200 12000 1200005. 7.0875-4 0.72+ 2.85 6.84 -2-0.35(1- )60%23 5764 12 38 147.1992 -1 +2 -3 +4 -5 +1990 -1991 8. 2.962 (1 1.48) 412 13 12 13 12 13 12 13 37 111 57 2119.( )+ + +.+ )-( + + +.+ )2343 4343 6343 98343 3686 5686 7686 9968610.1.2588 8+8 1 -125%7

7、8 8+ 3615 13 14 23 25 1311 （1+ ）+（1+ 2）（1+ ）.（1+ 10）+（1+ 11）733 733 733 733 7331271 +61 +51 +41 +31 16 67 15 56 14 45 13 34 12 2313 + + + + + + + + + + + + + +111222121323332313 11995 21995 1995199519941995 21995 1199514. + 2+(1 - )8+1 7 3 (3-2.4 )2.513512 11258 14 12 45 141515. +2 16.42( +0.4) 60(3

8、 -2 )200020002-19992001 23 542 51417.5-3 (1 +2 ) 18.(9- 4)+(8- 5)+(4- 9)78 56 14 13 18 1639 1639 1639博师堂国际教育19.0.10.001-(39 3 39 +3.65 +0.3633.75)712 35 712 5820. + + + + + + + + + + 1213231424341525 150250 495021. 2(1- )(1- )(1- ).(1- )119952 119942 119932 12222. 1949( - )+47( - )-1996( + )+1003147

9、 11996 11949 11996 1194914723. ( + + + + + )2+ ( + + + + + )-(1+ + + + + + )( + + + + )1223344556 67 12 12233445 56 67 122334 45 56 67 23 34 45 56 6724. (964-4 5) (3 -3.875) 49.50.8 118 78 4525. 0.12 +0.23+0.34+0.45+0.56+0.67+0.78+0.8926. 1(23)(34)(45)(56)(67)（78）（89）27. 61- -(1- ) -1- -（1- ） 13 13

10、13 13 13 13 14281+ + + + + + 13 132 133 1399 1310029. + + +72+172-192+192-1112+1112-1 992+1992-130. ( + + + + )+( + + + )+( + + + )+( + )+12131415 160 232425 260 343536 360 58595860 5960中级奥数教程分数的大小比较博师堂国际教育一 、知识要点和基本方法比较两个分数的大小，数学课本中介绍了两种基本方法。第一种是如果两个分数的分母相同，分子大的分数较大；第二种是如果两个分数的分子相同，分母小的分数较大。如果分子、分母

11、都不相同，那么或者统一分母，或者统一分子，再进行比较。有时进行比较。有时就需要另辟蹊径，例如相减比较，如果差大于零，减数就小；相除比较，若商是真分数，则被除数小于除数 ，若商是假分数，则被除数大于除数；交叉相乘比较，分数 和 ，如果 adcb,那么 ；倒数比较，倒数大的分数小于倒数小的分数；化为小数或循环小数比较等等。ab cd ab cd在解题中必须认真分析。要学会多角度、多侧面思考问题，灵活运用解题方法，不断开拓解题思路，提高解题能力。二、例题精讲例 1 分数 、 、 、 中，哪一个最大？5715174940124 103309分析 先把 和 化简， = ， = 。这五个分数的分子和分母都

12、不相同，如果统一分母，显然计40124 103309 401241031 10330913算量大，统一分子，可以看出分子的最小公倍数是5，15，4，10，1=60。统一分子后各分数分别为：= ， = 、 = 、 = 、 =576084 15176068 4960135 103160186 1360180解 根据分数的性质，分子相同的分数分母小的分数大，所以这五个分数中最大的分数是1517例 2 在内填上相同的自然数，是不等式成立。+ + ，此时内的数的最大值是几？11+ 13+ 16+ 1936分析 因为原不等式左端 ，当内的数大于 6 时，原不等式左端 ，所以内的数不大于 6。由13+ 19

13、36枚举知，当=3 时，左端等于 。1936解 使不等式成立的内的数的最大值是 2。例 3 若 A= ，B= ，比较 A 与 B 的大小。120062-2006+1 120062-20052006+20052分析 由于两个数分数的分子都是 1，只要比较这两个分数分母的大小就可以了，分数 B 的分母为：20062-20052006+20052=20062-2005（2006-2005）=20062-2005=20062-2006+1与分数 A 的分母相同，所以分数 A 与分数 B 的大小相等。解 A=B例 4 不求和，比较 2005 +2004 与 2006 +2003 的大小。20032004

14、 20022005 20032004 20022005分析 不求和比较，是否尝试求这两个数的差呢。这也是一个很有效的方法。解 （2005 +2004 ）-（2006 +2003 ）20032004 20022005 20032004 20022005=（2005+ +2004+ ）-（2006+ +2003+ ）20032004 20022005 20032004 20022005=2005+2004-（2006+2003）- + -（ + ）2003200420022005 2003200420022005=0-0博师堂国际教育=0所以 2005 +2004 =2006 +200320032

15、004 20022005 20032004 20022005例 5 在下列内填两个相邻的整数，使不等式成立：1+ + + + + + + + + 1213141516171819110分析 因为 1+ + + =2，所以 1+ + + + + + + + +121316 1213141516171819110=2+ + + + + +1415171819110=2+（ + ）+（ + ）+ +1418 15110 1719=2+ + + + 2+ + + +383101719 383101518= 2+ + =31212因此上面两个方框内应分别填 2 和 3解 1+ + + + + + + +

16、 + 1213141516171819110例 6 已知 A= ,求 A 的整数部分是多少？分析 先估算分母的大小，因为 + + + + = 又12160 12160 12177 12160 12160 12160 82160+ + + + + = 所以 A 即 120A12012160 12160 12177 12177 12177 12177 82177 216018 217718 1718解 A 的整数部分是 120 课后练习题：1 用“”和“”填空（ ） （ ） 5556 666 5 55566 666 71125 13122 用“”把下列分数连接起来： ， ，131298341494

17、554 763 比较 和 的大小 4. 比较 与 的大小12 34698 761 12 34598 765 532 000531 999 532 000-2000531 999-20005. 比较 和 的大小 6. 将 , , 这三个数按从大到小的次序排列出来2962 293 031626 160 19921993 699700 9999987. 比较下面四个算式的大小 + + + + 111 129 112 125 113 121 114 1198. 用“”和“”填空 （ ） （ ）97 213 34397 213 345 91 969 41591 969 418 97 213 34391

18、969 415 97 213 34591 969 4189比较下面三个分数大小 ， ，11222 1112 222 11+111222+2 22210比较 与 的大小777 777 775777 777 779 888 888 883888 888 88711分数 、 、 、 中，哪一个最大？49173510120337 15130123博师堂国际教育12比较 与 的大小111 111 110222 222 221 444 444 443888 888 88713如果 ，那么，内应填的整数是 。1229 70 297014有七个数，15求 的整数部分是多少？16将下列每组三个分数按从小到大的次

19、序排列起来：（1） 、 和 应为： （2） 、 和 应为 579580 4445 1 6521 653 7779 999 7 77799 999 777+7 7779 999+99 99917用“”把下列分数连接起来: , , , , , , 1615794517117887 2318.适合下面的不等式的条件，在里可以填的自然数一共有 个，这些自然数的平均数是 21851994 3719比较 与 的大小。 20. 比较 和 的大小432 001432 000 432 001-2001432 000-2001 35 86135 862 52 97152 97421. 将 , , , 这四个数从小

20、到大排列出来98 76598 7669 8769 877987988989922. 比较下面四个算式的大小: + , + , + , +111 133112 129113 12511412123. 用“”和“”填空： （ ） ， （ ）22 222 42144 444 844 22 222 34144 444 684 22 222 42144 444 341 44 444 84444 444 68424比较下面五个分数大小： ， ， ， ，105191472515776 211 088 351 81425已知：A= 9.86, B= 8.75 .A 与 B 较大的是 。9.889.87 8.7

21、78.7626在 ， ， 和 中，最小的一个数是 。1 9981 99919971998 19961997 1 9951 99627A= ,B= ,A 与 B 比较， 比 大1 234 5674 938 502 3 456 78913 827 62428比较 与 的大小。20012002+200220022001+2002 2001200220022001292001 年是中国共产党建党 80 周年， 是个有特殊意义的分数如果下式大于 ，那么 n 最小是多少?1 9212 001 1 9212 001+ + + 112 123 134 1n(n+1)30. 有一些最简单真分数，满足下列条件：(

22、1)分子与分母都是两位的质数；（2）分母正好是分子这个质数逆序排列所成的质数，如 。请找出所有满足条件的最简单真分数，并按从小到大的顺序将他们排列出来。1331中级奥数教程分数数列求和一、知识要点和基本方法异分母分数相加减，通常先通分，把异分母分数变成同分母分数后在相加减。有一些分数计算题如果按照常规方法计算就会十分复杂，必须运用某些技巧，寻找简单计算的方法。当分母之间存在某种特殊规律时，运用这些规律，就能使计算简化。如果分母是相邻的两个自然数的乘积，可以通过拆向的方法 ，使得其中一部分分数可以相互抵消，从而简化计算过程。一般的，可利用下面的等式，巧妙的计算一些分数博师堂国际教育求和的问题。

23、= - , = +1n(n-1)1n 1n-1 1A二、 ；例题精讲例 1 计算： + + + + 112 123 134 14950解 原式=（ - ）+（ - ）+（ + ）+( - )11 12 12 13 13 14 149 150= - + - + - + - 11 12 12 13 13 14 149 150=1- = 150 4950例 2 计算: + + + 124 146 168 198100解 原式= ( - )+ ( - )+ ( - )+ ( - )1212 14 1214 16 1216 18 12198 1100= ( - + - + - + - )1212 14

24、14 16 16 18 198 1100= ( - ) 1212 1100= =12 4910049200例 3 计算： + + + 1123 1234 19899100解 因为 = ( - ), = ( - ),1123 12 112 123 1234 12 123 134= ( - )1989910012 19899 199100所以 原式= ( - + - + - )12 112 123 123 134 19899 199100= ( - ) = 1212 199100 494919 800例 4 计算: 1+ + + + 11+2 11+2+3 11+2+3+4 11+2+3+99+1

25、00解 原式=1+ + + + = 1+ + + + 223 234 245 2100101= 2( + + + + )112 123 134 145 1100101= 2(1- + - + - + - + - )12 12 13 13 14 14 15 1100 1101= 2(1- )1101= 199101例 5 计算: + + + + 12 12+3 12+3+4 12+3+4+5 12+3+4+199+200博师堂国际教育解 原式= + + + + 12= + + + + 12 225 236 247 2199202= + 2( + + + )12 125 136 147 11992

26、02= + ( - + - + - + - )12 23 12 15 13 16 14 17 1199 1202= + ( + + + )-( + + + )12 23 12 13 14 1199 15 16 17 1202= + ( + + - - - )12 23 12 13 14 1200 1201 1202= + ( + + )12 23 99200 6201 99404= 1430 9332 030 100例 6 + + + 解 原式= + + + = + + + 223 234 245 299100= 2( + + + )123 134 145 199100= 2( - + - +

27、 - + - ) 1213 13 14 14 15 199 1100= 2( - ) = 12 1100 4950课后练习题：1. 计算: + + + + + + 314 347 3710 31013 31316 31619 319222. 计算： + + + 2 00212 2 00223 2 00234 2 0022 0012 0023. 计算: + + + + 221 277 2165 21 677 22 0214. 计算: “!”表示以一种运算符号它的含义是 2!= 21；3!= 321;求 2!+ 3!+ 4!+ 9 的值12 23 34 895. 计算: + + + + + + 1

28、8128 1254 1508 11016 12032 14064 181286. 计算: ( - )+( - )+( - )+( - )+( - )1213 1415 17110 114115 1281307. 计算: + + + 8. 计算: 1+ + + 12 56 1112 109110 11+2 11+2+311+2+3+19909. 在( )中填上适当的数，使等式成立：- + - + - +- + =23( + + + )12 13 14 15 16 114 115 1()1()1()1()博师堂国际教育10.计算: + + + + + + 11. 计算: 1 +2 +3 +4 +5

29、 +6 +7112 120 130 142 156 172 190 12 13 14 15 16 17 1812. 计算:1- - - - - - 13.计算: + + + + + + 23 29 227 281 2243 2729 34 48 516 632 764 8128 925614. 计算: + + + + + + + 12 34 78 1516 3132 6364 127128 25525615. 计算: 1- - - - - - - - - 12 14 18 116 132 1512 11024 1204816. 计算: ( + + + + + + )6418 124 148 1

30、80 1120 1168 124417计算：1 +3 +5 +7 +9 +11 18. 计算： + + + + + 115 135 163 199 1143 1195 514 584 5204 5374 5594 586419计算：1+ + + + + + + + + + + + + + 12 13 23 14 24 34 15 25 35 45 1100 2100 9910020. 计算： + + + + + + + 21计算： + + + + + + 43 1615 3635 6463 99100 144143 196195 256255 130 142 156 172 190 1110

31、113222计算： + + + + 113 135 157 119951997 11997199923. 计算: + + + + + 24. (1- )(1- )(1- )(1- )125 158 1811 11114 11417 11720 14 19 116 110025. (1- )(2- )(3- )(4- )(5- )(6- )(7- )(8- )(9- )12 23 34 45 56 67 78 89 91026. + + + + + 127 1712 11217 11722 19297 19710227. + + + + + 2345 2456 2567 2678 2789 28

32、91028. + + + + 12 34 48 516 1121029. 试求 + + + 误差小于 0.006 的近似值.1102 1112 1122 11000230. 计算 : + + + + + + 12+2212 22+3223 32+4234 42+5245 52+6256 20002+2001220002001 20012+2002220012002中级奥数教程繁分数运算一、知识要点和基本方法分子和分母中还含有分数或四则混合运算的分数叫做繁分数，通常无法应用运算定律和运算性质进行计算，因此繁分数的运算过程就是简化的过程，要分别对分子和分母逐步进行运算，其间需要扎实的基本功：概念清

33、楚，运算迅速正确，而且还需要探索和掌握一些灵活的解题方法，化“繁”为“简”二、例题精讲例 1 12002 20022-2002+120022-20012+20012000解 原式= 12002 20022-200120022-20012+2001（ 2001-1）= 12002 20022-200120022-20012+20012-2001= 1 = 12002 12002博师堂国际教育例 2 计算： 解 原式 = = = = =3043例 3 规定表示选择两数中比较大的数的运算，表示选择两数中比较小的数的运算，例如 21=2，35=3。计算下式： 解 原式= 0.25例 4 1+ = 1.

34、619 047,则= ? 解 用倒推的方法.由于 1.619 047=1+ = 1+ ,619 047999 999 1321所以 -1= , -1= , -1= , -1= , = -1=2113 813 138 58 85 35 53 23 32 12例 5 计算: 分析 分别计算分子和分母的值,再用分子除以分母,使计算序进行,避免产生不必要的错误.解 原式分子= 0.3875(2+9-1)=3.875分母=2 1.32 - +116 51127 4435 1124= + 1136 1135 3544 1124=2所以 原式=3.8752=1.937 5例 6 A、B、C 为正整数，满足算

35、式 =A+ ,则 A+2B+3C=( )245分析 先讨论等式的左边，然后利用倒数关系逐个求出 A、B、C解 因为 A 为正整数，又 ，所以 A 只能取 1，2，3，4。经枚举，只有 4 适合。245原式左边= = 4+ = 4+ = 4+ = 4+ 245 45解得 A = 4, B = 1, C = 3 则 A+2B+3C= 4+21+33=15课后练习题：1 2. 1- 3. 8.42.5+9.71.051.5+8.40.284. 5. 823 6 543.21123.4123.4-123.3123.56. 7. 123+246+100200300234+468+2003004008 9. 10. 11. 12. 13. 9 2314. 已知 = ,求 x。679615在下面的等式中，=（ ） 。 - ( - + 0.125) 16=331516 816. 17. 18. 7641-1467(88-1) (1010-2)