1、一元二次方程及应用【知识梳理】1 一元二次方程知识点一 一元二次方程的定义等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元） ，并且未知数的最高次数是 2（二次）的方程，叫做一元二次方程。注意一下几点： 只含有一个未知数；未知数的最高次数是 2；是整式方程。知识点二 一元二次方程的一般形式一般形式：ax 2 + bx + c = 0(a 0).其中，ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。知识点三 一元二次方程的根使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。典型例题：1、已知关于
2、 x 的方程（m+ ）x +（m-3）-1=0 是一元二次方程，求 m 的值。321m2 降次解一元二次方程配方法知识点一 直接开平方法解一元二次方程（1） 如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如 x2=a(a0)的方程，根据平方根的定义可解得x1= ,x2= .a（2） 直接开平方法适用于解形如 x2=p 或(mx+a) 2=p(m0)形式的方程，如果 p0，就可以利用直接开平方法。（3） 用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。（4） 直接开平方法
3、解一元二次方程的步骤是：移项；使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为 1；两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；解一元一次方程，求出原方程的根。知识点二 配方法解一元二次方程通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。（1）把常数项移到等号的右边；（2）方程两边都除以二次项系数；（3）方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式； （4）若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。公式法知识点一 公式法解一元二次方程（1） 一般地，对于一元
4、二次方程 ax2+bx+c=0(a0)，如果 b2-4ac0，那么方程的两个根为 x= ，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公acb24式，我们可以由一元二方程的系数 a,b,c 的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。（2） 一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的过程。（3） 公式法解一元二次方程的具体步骤：方程化为一般形式：ax 2+bx+c=0(a0)，一般 a 化为正值 确定公式中 a,b,c 的值，注意符号；求出 b2-4ac 的值； 若 b2-4ac0，则把 a,b,c 和 b-4ac 的值代入公式即可
5、求解，若 b2-4ac0，则方程无实数根。知识点二 一元二次方程根的判别式式子 b2-4ac 叫做方程 ax2+bx+c=0(a0)根的判别式，通常用希腊字母表示它，即=b 2-4ac.0，方程 ax2+bx+c=0(a0)有两个不相等的实数根 =0，方程 ax2+bx+c=0(a0)有两个相等的实数根0，方程 ax2+bx+c=0(a0)无实数根 因式分解法知识点一 因式分解法解一元二次方程（1） 把一元二次方程的一边化为 0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个求一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法。（2） 因式分解法的详细步骤： 移项，将所有的项都移到左边，右边化
6、为 0； 把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式； 令每一个因式分别为零，得到一元一次方程； 解一元一次方程即可得到原方程的解。知识点二 用合适的方法解一元一次方程3 一元二次方程的根与系数的关系若一元二次方程 x2+px+q=0 的两个根为 x1,x2,则有 x1+x2=-p,x1x2=q.若一元二次方程 a2x+bx+c=0(a0)有两个实数根 x1,x2,则有 x1+x2= , x1x2=abc22.3 实际问题与一元二次方程知识点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤：（1） 审：是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的
7、等量关系。（2） 设：是指设元，也就是设出未知数。（3） 列：列方程是关键步骤,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等含义，然后列代数式表示这个相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程。（4） 解：就是解方程，求出未知数的值。（5） 验：是指检验方程的解是否保证实际问题有意义，符合题意。（6） 答：写出答案。知识点二 列一元二次方程解应用题的几种常见类型（1） 数字问题三个连续整数：若设中间的一个数为 x，则另两个数分别为 x-1，x+1。三个连续偶数（奇数）：若中间的一个数为 x，则另两个数分别为 x-2,x+2。三位数的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为 a,b,c，
8、则这个三位数是100a+10b+c.（2）增长率问题设初始量为 a，终止量为 b，平均增长率或平均降低率为 x，则经过两次的增长或降低后的等量关系为 a（1 ） 2=b。x（3）利润问题利润问题常用的相等关系式有：总利润=总销售价-总成本；总利润=单位利润总销售量；利润=成本利润率（4）图形的面积问题根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系，将图形的面积用含有未知数的代数式表示出来，建立一元二次方程。 【典型例题分析】【例 1】已知ABC 中，ABc，BCa，AC6， x为实数，且 6ab， 29xab(1)求 x 的值；(2)若ABC 的周长为 10，求ABC 的面积 ABCS 解： （
9、1） 6ab代入 29xa中得 22(3)0xb， 20， 2(3)0， x， b（2）由（1）知 a， 1064c， 21435ABCS 【例 2】 、某商店购进 600 个旅游纪念品，进价为每个 6 元，第一周以每个 10 元的价格售出 200 个，第二周若按每个 10 元的价格销售仍可售出 200 个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低 1 元，可多售出 50 个，但售价不得低于进价） ，单价降低 x 元销售销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个 4 元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利 1250 元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？
10、解：由题意得出：200（10-6）+ （10-x-6） （200+50x）+（4-6 ） （600-200-（200+50x）=1250，即 800+（4-x） （200+50x）-2（200-50x ）=1250，整理得：x 2-2x+1=0，解得：x 1=x2=1，10-1=9，答：第二周的销售价格为 9 元【例 3】 、要在一块长 52m，宽 48m 的矩形绿地上，修建同样宽的两条互相垂直的甬路下面分别是小亮和小颖的设计方案（1）求小亮设计方案中甬路的宽度 x；（2）求小颖设计方案中四块绿地的总面积（友情提示：小颖设计方案中的与小亮设计方案中的取值相同）解：（1）根据小亮的设计方案列方程
11、得：（52-x） （48-x）=2300解得：x=2 或 x=98（舍去）小亮设计方案中甬道的宽度为 2m；（2）作 AICD，HJEF，垂足分别为 I，J，ABCD ，1=60，ADI=60，BCAD，四边形 ADCB 为平行四边形，BC=AD由（1）得 x=2，BC=HE=2=AD在 Rt ADI 中，AI=2sin60= ，3小颖设计方案中四块绿地的总面积为 5248-522-482+（ ） 2=2299 平方米3【例 4】 、小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过 10 件，单价为 80 元；如果一次性购买多于 10 件，那么每增加 1 件，购买
12、的所有服装的单价降低 2 元，但单价不得低于 50 元按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了 1200 元请问她购买了多少件这种服装？解：设购买了 x 件这种服装，根据题意得出：80-2（x-10 ）x=1200 ，解得：x 1=20，x 2=30，当 x=30 时，80-2（30-10）=40（元）50 不合题意舍去；答：她购买了 20 件这种服装【例 5】 、 “低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具某运动商城的自行车销售量自 2013 年起逐月增加，据统计，该商城 1 月份销售自行车 64 辆，3 月份销售了 100 辆（1）若该商城前 4 个月的自行车销量的月平均增
13、长率相同，问该商城 4 月份卖出多少辆自行车？（2）考虑到自行车需求不断增加，该商城准备投入 3 万元再购进一批两种规格的自行车，已知 A 型车的进价为 500 元 /辆，售价为 700 元/辆，B 型车进价为 1000 元/辆，售价为1300 元/辆根据销售经验， A 型车不少于 B 型车的 2 倍，但不超过 B 型车的 2.8 倍假设所进车辆全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？解：（1）设平均增长率为 x，根据题意得：64（1+x） 2=100解得：x=0.25=25%或 x=-2.25四月份的销量为：100（1+25%）=125 辆，答：四月份的销量为 125 辆（2）设 A 型车
14、 x 辆，根据题意得：2 ，30530522.811xx解得：30x35B 型车的利润大于 A 型车的利润，当 A 型车进货量最小时有最大利润，最大利润为：20030+30015=10500；【例 6】某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出 2 件，若商场平均每天要盈利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？【解析】设每件衬衫降价 x 元，则每件衬衫盈利(40x)元，降价后每天可卖出(20+2x)件，由关系式：总利润=每个商品的利润售出商品的总
15、量，可列出方程【解答】设每件衬衫降价 x 元， 依题意，得(40x)(20+2x)=1200，整理得：x 230x+200=0， 解得：x 1=10，x 2=20，因为要尽快减少库存，所以 x=10 舍去答：每件衬衫应降价 20 元二次函数【知识梳理】一 二次函数的基本概念1二次函数的概念：一般地，形如 （ 是常数， ）的函数，叫2yaxbca，0a做二次函数。这里需要强调：二次项系数 ，而 可以为零二次函数的定义域0是全体实数2. 二次函数 的结构特征：2yaxbc 等号左边是函数，右边是关于自变量 的二次式， 的最高次数是 2xx 是常数， 是二次项系数， 是一次项系数， 是常数项abc，
16、abc二 二次函数的基本形式4. 的性质：2yaxhk总结：三 二次函数图象的平移1. 平移步骤：的符号a开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0向上 hk，X=h时， 随 的增大而增大； 时，xhyxxh随 的增大而减小； 时， 有最小值yk0a向下 hk，X=h时， 随 的增大而减小； 时，xhyxxh随 的增大而增大； 时， 有最大值yk 将抛物线解析式转化成顶点式 ，确定其顶点坐标 ；2yaxhkhk， 保持抛物线 的形状不变，将其顶点平移到 处，具体平移方法如下：2yax，2. 平移规律在原有函数的基础上“ 值正右移，负左移； 值正上移，负下移” hk概括成八个字“左加右减，上加下减” 四
17、 二次函数 与 的比较2yaxhk2yaxbc总结：从解析式上看， 与 是两种不同的表达形式，后者通过2yaxhk2yaxbc配方可以得到前者，即 ，其中 24b 242bacbhk，五 二次函数 图象的画法2yaxc【(h0)【(h0)【(k0)【(h0)【(h0)【(k0)【(k0)【|k|【y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax2五点绘图法：利用配方法将二次函数 化为顶点式 ，确2yaxbc2()yaxhk定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与 轴的交点 、以及 关于对称轴对称的点0，0，、与 轴的交点
18、 ， （若与 轴没有交点，则取两组关于对称轴2hc， x1x2x对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 轴的交点，与 轴的交点.y六 二次函数 的性质2yaxbc1. 当 时，抛物线开口向上，对称轴为 ，顶点坐标为 0 2bxa24bac，当 时， 随 的增大而减小；当 时， 随 的增大而增大；当2bxayxyx时， 有最小值 24acb2. 当 时，抛物线开口向下，对称轴为 ，顶点坐标为 当0a 2bxa24bac，时， 随 的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小；当 时，2bxyxy2x有最大值 y24ac七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式： （ ， ， 为常数， ） ；2yaxbcabc0a2. 顶点式： （ ， ， 为常数， ） ；()hkhk3. 两根式： （ ， ， 是抛物线与 轴两交点的横坐标）.12yax0a1x2x注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 轴有交点，即 时，抛物线的解析式才可以240bac用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几
