1、MSDC 模块化分级讲义体系 五年级奥数.行程.多人相遇和追及问题（A 级）.教师版 Page 1 of 10知识框架二是多人相遇追及问题，即在同一直线上，3 个或 3 个以上的对象之间的相遇追及问题。所有行程问题都是围绕“ ”这一条基本关系式展开的，比如我们遇到的两大典型路 程 速 度 时 间行程题相遇问题和追及问题的本质也是这三个量之间的关系转化由此还可以得到如下两条关系式：；路 程 和 速 度 和 相 遇 时 间；路 程 差 速 度 差 追 及 时 间多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这两条公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解例题精讲【例 1】有甲、乙、丙 3 人，甲
2、每分钟走 100 米，乙每分钟走 80 米，丙每分钟走 75 米现在甲从东村，乙、丙两人从西村同时出发相向而行，在途中甲与乙相遇 6 分钟后，甲又与丙相遇. 那么，东、西两村之间的距离是多少米?【考点】行程问题 【难度】 【题型】解答 甲、丙 6 分钟相遇的路程： (米 )；1075610甲、乙相遇的时间为： (分钟)；82东、西两村之间的距离为： (米).38【答案】 米3780【 一条环形跑道长 400 米，甲骑自行车每分钟骑 450 米，乙跑步每分钟 250 米，两人同时从同地同向出发，经过多少分钟两人相遇？【考点】行程问题 【难度】 【题型】解答 (分钟) 40520（ ）【答案】 分
3、钟2多人相遇和追及问题 MSDC 模块化分级讲义体系 五年级奥数.行程.多人相遇和追及问题（A 级）.教师版 Page 2 of 10【例 2】在公路上，汽车 、 、 分别以 ， ， 的速度匀速行驶，若汽车ABC80km/h7/50km/h从甲站开往乙站的同时，汽车 、 从乙站开往甲站，并且在途中，汽车 在与汽车 相遇A AB后的两小时又与汽车 相遇，求甲、乙两站相距多少千米？【考点】行程问题 【难度】 【题型】解答 汽车 在与汽车 相遇时，汽 车 与汽车 的距离为： 千米，此时汽车 与汽BAC(805)260车 的距离也是 260 千米， 说 明这三辆车已经出发了 小时，那么甲、乙两站的C
4、6713距离为： 千米(807)13950【答案】 千米195【 甲、乙、丙三人每分分别行 60 米、50 米和 40 米，甲从 B 地、乙和丙从 A 地同时出发相向而行，途中甲遇到乙后 15 分又遇到丙求 A， B 两地的距离【考点】行程问题 【难度】 【题型】解答 甲遇到乙后 15 分钟，甲遇到了丙，所以遇到乙的时候，甲和丙之间的距离为：（6040）151500（米），而乙丙之 间 拉开这么大的距离一共要 1500（50-40）=150（分），即从出发到甲与乙相遇一共经过了 150 分钟，所以 A、B之间的距离为：（60+50）15016500（米）【答案】16500 米【例 3】小王的步
5、行速度是 4.8 千米/小时，小张的步行速度是 5.4 千米/小时，他们两人从甲地到乙地去.小李骑自行车的速度是 10.8 千米/小时，从乙地到甲地去.他们 3 人同时出发，在小张与小李相遇后 5 分钟，小王又与小李相遇.问：小李骑车从乙地到甲地需要多少时间？【考点】行程问题 【难度】 【题型】解答 画一张示意图： B A图中 A点是小张与小李相遇的地点， 图中再设置一个 B点，它是张、李两人相遇时小王到达的地点.5 分钟后小王与小李相遇，也就是 5 分钟的时间，小王和小李共同走了 B与 A之间这段距离：（千米）， 这段距离也是出发后小张比小王多走的距离，小王与小 张的速度差是54.810.3
6、6（5.4-4.8）千米/小时.小张比小王多走这段距离，需要的时间是：1.3（5.4-4.8）60=130（分钟）.这也是从出发到张、李相遇时已花费的 时间.小李的速度 10.8 千米/小时是小张速度 5.4 千米/小时的 2 倍.因此小李从 A到甲地需要：1302=65 （分钟）.从乙地到甲地需要的 时间是：13065=195（分钟）3 小时 15 分.小李从乙地到甲地需要 3 小时 15 分.【答案】3 小时 15 分MSDC 模块化分级讲义体系 五年级奥数.行程.多人相遇和追及问题（A 级）.教师版 Page 3 of 10【 甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走 60 米，乙每分钟走 65
7、米，丙每分钟走 70 米，甲乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过 1 分钟与甲相遇，求东西两镇间的路程有多少米？【考点】行程问题 【难度】 【题型】解答 那 2 分钟是甲和丙相遇，所以距离是（ 60+70）1=130 米，这距离是乙丙相遇时间里甲乙的路程差所以乙丙相遇时间=130 （65-60）=26 分钟，所以路程=26（65+70）=3510 米。【答案】3510 米【例 4】甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走 80 米，乙每分钟走 90 米，丙每分钟走 100 米，甲乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过 5 分钟与甲相遇，求东西两镇
8、间的路程有多少米？【考点】行程问题 【难度】 【题型】解答 那 5 分钟是甲和丙相遇，所以距离是（ 80+100）5=900 米，这距离是乙丙相遇时间里甲乙的路程差。所以乙丙相遇时间=900 （90-80）=90 分钟，所以路程=90（90+100）=17100 米。【答案】17100 米【 小王的步行速度是 5 千米/小时，小张的步行速度是 6 千米/小时，他们两人从甲地到乙地去.小李骑自行车的速度是 10 千米/小时，从乙地到甲地去.他们 3 人同时出发，在小张与小李相遇后30 分钟，小王又与小李相遇.问：小李骑车从乙地到甲地需要多少时间？【考点】行程问题 【难度】 【题型】解答 30 分
9、钟是小王和小李相遇，所以距离是 千米，这距离是小王和小李相遇时间里小15+0=7.52（ ）张和小王的路程差。所以小李和小张相遇时间=7.5（6-5）=7.5 小时，所以路程 =7.5（6+10）=120千米。12010=12 （小时）【答案】12 小时【例 5】甲、乙两车的速度分别为 52 千米时和 40 千米时，它们同时从 A 地出发到 B 地去，出发后 6 时，甲车遇到一辆迎面开来的卡车，1 时后乙车也遇到了这辆卡车。求这辆卡车的速度。【考点】行程问题 【难度】 【题型】解答 甲乙两车最初的过程类似追及，速度差 追及时间路程差；路程差为 72 千米；72 千米就是 1 小时的甲车和卡车的
10、路程和，速度和相遇时间路程和，得到速度和为 72 千米时，所以卡 车速度为 72-40=32 千米时。 【答案】卡车速度为 32 千米时MSDC 模块化分级讲义体系 五年级奥数.行程.多人相遇和追及问题（A 级）.教师版 Page 4 of 10【 甲、乙、丙三人，甲每分钟走 100 米，乙每分钟走 80 米，丙每分钟走 75 米甲从东村，乙、丙从西村同时出发相向而行，途中甲、乙相遇后 3 分钟又与丙相遇求东西两村的距离【考点】行程问题 【难度】 【题型】解答 先画示意图如下：3、100、/、 、80、/、75、/、甲、乙相遇后 3 分钟，甲、丙相遇甲、丙在 3 分钟内共走路程是 (米)显然，
11、这107532（ ）就是甲、乙相遇时，乙比丙多走的路程，乙比丙每分钟多走 (米) 所以，甲、乙相遇时8A离出发的时间是 (分钟) 两村 间的距离是：5280715（ ）(米)10838019（ ） （ ） （ ）【答案】 米9【例 6】张、李、赵 3 人都从甲地到乙地上午 6 时，张、李两人一起从甲地出发，张每小时走 5 千米，李每小时走 4 千米赵上午 8 时从甲地出发傍晚 6 时，赵、张同时达到乙地那么赵追上李的时间是几时?【考点】行程问题 【难度】 【题型】解答 甲、乙之 间的距离： 张早上 6 时出发，晚上 6 时到，用了 12 小时，每小时 5 千米，所以甲、乙两地距离 千米。 赵的
12、速度：早上 8 时出发，晚上 6 时到，用了 10 小时，走了 60 千米，每小时51260走 千米。所以，赵追上李 时用了： 小时，即中午 12 时。 424【答案】中午 12 时【 甲、乙、丙三辆车同时从 A 地出发到 B 地去，出发后 6 分甲车超过了一名长跑运动员，2 分后乙车也超过去了，又过了 2 分丙车也超了过去。已知甲车每分走 1000 米，乙车每分走 800 米，丙车每分钟走多少米？【考点】行程问题 【难度】 【题型】解答 根据题意可知，甲车 走了 10006=6000 米乙车走了 8008=6400 米长跑运动员的速度（6400-6000 ）2=200 米/分丙车速度（200
13、2+6400）10=680 米/分【答案】680 米/分【例 7】甲、乙、丙三人同时从 A 向 B 跑，当甲跑到 B 时，乙离 B 还有 20 米，丙离 B 还有 40 米；当乙MSDC 模块化分级讲义体系 五年级奥数.行程.多人相遇和追及问题（A 级）.教师版 Page 5 of 10跑到 B 时，丙离 B 还有 24 米。问：（1） A， B 相距多少米？（2）如果丙从 A 跑到 B 用 24 秒，那么甲的速度是多少？【考点】行程问题 【难度】 【题型】解答 1) 乙跑最后 20 米时，丙跑了 40-2416（米），丙的速度是乙的 。164=205因为乙到 B时比丙多跑 24 米，所以 A
14、、B相距 米41-（ ）2) 甲跑 120 米，丙跑 120-40=80 米，丙的速度是甲的 802=13甲的速度是 （米/秒）47.5（ ）【答案】（1） 米；（2） 米/秒07.5【 甲乙丙三人同时从东村去西村，甲骑自行车每小时比乙快 12 公里，比丙快 15 公里，甲行 3.5小时到达西村后立刻返回.在距西村 30 公里处和乙相聚，问：丙行了多长时间和甲相遇？【考点】行程问题 【难度】 【题型】解答 在距西村 30 公里处和乙相聚， 则甲比乙多走 60 公里，而甲骑自行车每小时比乙快 12 公里，所以，甲乙相聚时所用时间是 （小时），所以甲从西村到和乙相聚用了 （小时），所60125 5
15、3.1以，甲速是 （公里 /小时），所以，丙速是 （公里/ 小时），东村到西村的距离是：301.52015（公里），所以，甲丙相遇 时间是： (小时).2.77.6【答案】 小时5.6【例 8】甲、乙、丙三车同时从 A 地沿同一公路开往 B 地，途中有个骑摩托车的人也在同方向行进，这三辆车分别用 7 分钟、8 分钟、14 分钟追上骑摩托车人。已知甲车每分钟行 1000 米，丙车每分钟行 800 米，求乙速车的速度是多少？【考点】行程问题 【难度】 【题型】解答 甲与丙行驶 7 分钟的距离差为：（1000800）71400（米），也就是 说当甲追上骑摩托车人的时候，丙离骑摩托车人还有 1400
16、米，丙用了 14-7=7（分）钟追上了 这 1400 米，所以丙 车和骑摩托车人的速度差为：1400（147）200（米分）， 骑摩托 车人的速度为：800200600（米分），三 辆车与骑摩托车人的初始距离为：（1000600）72800（米），乙车追上这 2800 米一共用了 8 分钟，所以乙车的速度为：28008600950（米分）。【答案】950 米分MSDC 模块化分级讲义体系 五年级奥数.行程.多人相遇和追及问题（A 级）.教师版 Page 6 of 10【 快、中、慢 3 辆车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面的一个骑车人这 3 辆车分别用6 分钟、10 分钟、12 分钟追上
17、骑车人现在知道快车每小时走 24 千米，中车每小时走 20 千米，那么，慢车每小时走多少千米? 【考点】行程问题 【难度】 【题型】解答 快车追上骑车人时，快 车（骑车人）与中车的路程差为 (千米)，中车追上246060.4这段路用了 (分钟) ，所以骑车人与中车的速度差为 (千米/ 小时). 则骑车人的速1064 1度为 (千米/小时)，所以三 车出发时与骑车 人的路程差为 (千米). 慢车与骑车人的速度差为 （千米/ 小 时），所以慢车速度为 （千米/小时）.459【答案】 千米/小时19【例 9】甲从 A 地出发前往 B 地，1 小时后，乙也从 A 地出发前往 B 地，又过 1 小时，丙
18、从 B 地出发前往A 地，结果甲和丙相遇在 C 地，乙和丙相遇在 D 地已知乙和丙的速度相同，丙的速度是甲的 2倍, C、 D 两地之间的距离是 50 千米求乙出发 1 小时后距 B 地多少千米。【考点】行程问题 【难度】 【题型】解答 根据题意可知：甲出发两小时后，甲乙在同一地点，假设此时距 B为“1”，C、D 两地之间的距离=， 千米1650=630【答案】 千米3【 甲、乙、丙三人在学校到体育场的路上练习竞走，甲每分比乙多走 10 米，比丙多走 31 米。上午 9 点三人同时从学校出发，上午 10 点甲到达体育场后立即返回学校，在距体育场 310 米处遇到乙。问：（1）从学校到体育场的距
19、离是多少？（2）甲与丙何时相遇（精确到秒）？【考点】行程问题 【难度】 【题型】解答 （1） 9300 米；（2） 10 时 6 分 40 秒。提示：从出发到甲、乙相遇，甲比乙多走了 620 米，又甲比乙每分多走 10 米，所以从出 发到甲、乙相遇共用 62 分。甲从体育场返回到与乙相遇用了 6260=2（分），从而可求出甲每分走 3102=155（米）。【答案】155 米【例 10】甲、乙、丙三人，甲每分钟走 40 米，丙每分钟走 60 米，甲、乙两人从 A、 B 地同时出发相向而行，他们出发 15 分钟后，丙从 B 地出发追赶乙。此后甲、乙在途中相遇，过了 7 分钟甲又和丙相遇，又过了 6
20、3 分钟丙才追上乙，那么 A、 B 两地相距多少米？MSDC 模块化分级讲义体系 五年级奥数.行程.多人相遇和追及问题（A 级）.教师版 Page 7 of 10【考点】行程问题 【难度】 【题型】解答 根据题意可知， （40+60）7=700（米）， 700（63+7）=10（米/分），乙的速度为 50 米/分，（1550-700）10=5（分）， （40+50）（15+5）=1800（米）【答案】1800 米【 甲、乙、丙三辆车同时从 A 地出发驶向 B 地，依次在出发后 5 小时、5 小时、6 小时与迎面512 12驶来的一辆卡车相遇。已知甲、乙两车的速度分别是 80 千米/时和 70
21、千米/时，求丙车和卡车的速度。【考点】行程问题 【难度】 【题型】解答 丙车和卡车的速度均是 50 千米/ 时。【答案】50 千米/时课堂检测【随练 1】小轿车、面包车和大客车的速度分别为 60 千米时、48 千米时和 42 千米时，小轿车和大客车从甲地、面包车从乙地同时相向出发，面包车遇到小轿车后 30 分又遇到大客车。问：甲、乙两地相距多远？【考点】行程问题 【难度】 【题型】解答 270 千米。提示：先求出面包车与小轿车相遇时，大客车与小轿车的距离（相遇问题），再求出从出发到面包车与小轿车相遇经过的时间（追及问题），最后求甲、乙两地的距离（相遇问题）。【答案】270 千米【随练 2】甲、
22、乙、丙三人，他们的步行速度分别为每分钟 480、540、720 米，甲、乙、丙 3 人同时动身，甲、乙二人从 A 地出发，向 B 地行时，丙从 B 地出发向 A 地行进，丙首先在途中与乙相遇，3分钟后又与甲相遇，求甲、乙、丙 3 人行完全程各用多长时间？【考点】行程问题 【难度】 【题型】解答 方法一：乙与丙相遇时，乙比甲多行的距离可供丙、甲相向而行行 3 分钟的时间，这段距离为（米）， （分），A 、B之间的距离为480723603054860（米），行完全程甲、乙、丙需要的 时间分别如下：5甲 17.5()分乙 7604分丙 52()分方法二：丙与乙相遇时，各行了 （分），速度与 时间成反
23、比，所以，48072354086MSDC 模块化分级讲义体系 五年级奥数.行程.多人相遇和追及问题（A 级）.教师版 Page 8 of 10丙行完全程需要 （分）；乙行完全程需要 （分）.540617272015548方法三：丙与乙相遇时，乙比甲多行了 （米）；丙比甲多行了7204836（米），所以 A地与 B地之间的距离为7204836105（米）.3647560行完全程甲、乙、丙需要的时间分别如下：甲 756048157.()分乙 分丙 2()分【答案】甲 分；乙 分；丙 分157.1405【随练 3】甲、乙、丙三辆车同时从 A 地出发到 B 地去，甲、乙两车的速度分别为 60 千米时和
24、 48千米时。有一辆迎面开来的卡车分别在他们出发后 5 时、6 时、8 时先后与甲、乙、丙三辆车相遇。求丙车的速度。 【考点】行程问题 【难度】 【题型】解答 甲车每小时比乙车快 (千米) 则 5 小时后，甲比乙多走的路程为 (千米)也604812 12560即在卡车与甲相遇时，卡 车与乙的距离 为 60 千米，又因为卡车与乙在卡车与甲相遇的 小1时后相遇，所以，可求出卡车 的速度为 (千米 /小时) ，卡 车在与甲相遇后，再走604812(小时) 才能与丙相遇，而此时丙已走了 8 个小时，因此，卡 车 3 小时所走的路程与丙 8853A小时所走的路程之和就等于甲 5 小时所走的路程由此，丙的
25、速度也可求得， 应为：(千米/小时)601283（ ）【答案】 千米/小时3【随练 4】甲、乙、丙三辆车先后从 A 地开往 B 地，乙比丙晚出发 5 分，出发后 45 分追上丙；甲比乙晚出发 15 分，出发后 1 时追上乙。甲和丙的速度比是多少？【考点】行程问题 【难度】 【题型】解答 根据题意可知，乙和丙的 时间比为 45：50 =9：10 ，即速度比为 10：9。甲和乙的时间比为 60：75 =4：5 ，即速度比 为 5：4，甲、乙和丙的速度比 为 25：20：18。甲和丙的速度比为 25：18 【答案】25：18MSDC 模块化分级讲义体系 五年级奥数.行程.多人相遇和追及问题（A 级）
26、.教师版 Page 9 of 10家庭作业作业检测【作业 1】甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走 60 米，乙每分钟走 67.5 米，丙每分钟走 75 米，甲乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过 2 分钟与甲相遇，求东西两镇间的路程有多少米？【考点】行程问题 【难度】 【题型】解答 那 2 分钟是甲和丙相遇，所以距离是（ 60+75）2=270 米，这距离是乙丙相遇时间里甲乙的路程差所以乙丙相遇时间=270 （67.5-60）=36 分钟，所以路程=36（67.5+75）=5130 米。【答案】5130 米【作业 2】甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走 50 米，乙每分钟
27、走 60 米，丙每分钟走 70 米，甲乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过 2 分钟与甲相遇，求东西两镇间的路程有多少米？【考点】行程问题 【难度】 【题型】解答 那 2 分钟是甲和丙相遇，所以距离是（ 60+70）2=260 米，这距离是乙丙相遇时间里甲乙的路程差所以乙丙相遇时间=260 （60-50）=26 分钟，所以路程=26（60+70）=3380 米。【答案】3380 米【作业 3】甲乙丙三人沿环形林荫道行走，同时从同一地点出发，甲、乙按顺时针方向行走，丙按逆时针方向行走。已知甲每小时行 7 千米，乙每小时行 5 千米，1 小时后甲、丙二人相遇，又过了
28、10分钟，丙与乙相遇，问甲、丙相遇时丙行了多少千米？【考点】行程问题 【难度】 【题型】解答 方法一：出发 1 小时后甲、丙相遇，这时甲领先乙 千米；10 分钟后丙、乙相遇，相向而7512行共行了 2 千米，其中乙行了 千米，丙行了 千米，丙每小时行 千米，105667601所以甲、丙相遇时，丙行了 千米。7方法二：丙 1 小时 10 分钟（与乙相遇）行的距离与 1 小时（与甲相遇）行的距离之差恰好等于甲 1小时行的距离之差，所以丙的速度等于 千米/ 小时，丙与甲相遇时，丙70576行了 千米。71【答案】 千米【作业 4】甲、乙、丙三辆车同时从 A 地出发到 B 地去，甲、乙两车的速度分别为
29、 60 千米时和 48 千米时。有一辆迎面开来的卡车分别在他们出发后 6 时、7 时、8 时先后与甲、乙、丙三辆车相MSDC 模块化分级讲义体系 五年级奥数.行程.多人相遇和追及问题（A 级）.教师版 Page 10 of 10遇。求丙车的速度。【考点】行程问题 【难度】 【题型】解答 39 千米时。提示：先利用甲、乙两车的速度及与迎面开来的卡车相遇的时间，求出卡车速度为24 千米时。【答案】卡车速度为 24 千米时【作业 5】李华步行以每小时 4 千米的速度从学校出发到 20.4 千米处的冬令营报到。半小时后，营地老师闻讯前往迎接，每小时比李华多走 1.2 千米。又过了 1.5 小时，张明从
30、学校骑车去营地报到。结果三人同时在途中某地相遇。问骑车人每小时行驶多少千米？【考点】行程问题 【难度】 【题型】解答 老师出发时，李华已 经走了 （千米）。接下来相遇所需要的时间为40.52（小时）。相遇地点与学校的距离用李 华的速度和时间进行计算：20.41.2（千米）。所以张明要用 小时感到距离学校 10 千米处， 张明的速度为51.05（千米/ 时）1.【答案】 千米/时20【作业 6】快、中、慢三辆车同时同地出发，沿同一公路去追赶前面一骑车人，这三辆车分别用 6 分、9分、12 分追上骑车人。已知快、慢车的速度分别为 60 千米时和 40 千米时，求中速车的速度。【考点】行程问题 【难度】 【题型】解答 根据题意可知，快车 走了 6 千米慢车走了 8 千米骑车人的速度（8-6 ）（12-6）= 千米/ 小时，中速13车速度（ 3+6） = 千米/小时1390243【答案】 千米/小时246
