1、1数的整除性一、填空题1. 四位数“3AA1”是 9 的倍数，那么 A=_.2. 在“2579 这个数的内填上一个数字,使这个数能被 11 整除,方格内应填_.3. 能同时被 2、3、5 整除的最大三位数是_.4. 能同时被 2、5、7 整除的最大五位数是_.5. 1 至 100 以内所有不能被 3 整除的数的和是_.6. 所有能被 3 整除的两位数的和是_.7. 已知一个五位数691能被 55 整除,所有符合题意的五位数是_.8. 如果六位数 1992能被 105 整除,那么它的最后两位数是_.9. 4228是 99 的倍数,这个数除以 99 所得的商是_.10. 从左向右编号为 1 至 1
2、991 号的 1991 名同学排成一行,从左向右 1 至11 报数,报数为 11 的同学原地不动,其余同学出列;然后留下的同学再从左向右1 至 11 报数,报数为 11 的留下,其余同学出列;留下的同学第三次从左向右 1 至11 报数,报到 11 的同学留下,其余同学出列,那么最后留下的同学中,从左边数第一个人的最初编号是_号.二、解答题11. 173是个四位数字.数学老师说：“我在这个中先后填入 3 个数字,所得到的 3 个四位数,依次可被 9、11、6 整除.”问：数学老师先后填入的 3 个数字的和是多少？12在 1992 后面补上三个数字，组成一个七位数，使它们分别能被2、3、5、11
3、整除，这个七位数最小值是多少？13在“改革”村的黑市上,人们只要有心,总是可以把两张任意的食品票换成 3 张其他票券,也可以反过来交换.试问,合作社成员瓦夏能否将 100 张黄油票换成 100 张香肠票,并且在整个交换过程中刚好出手了 1991 张票券？14试找出这样的最小自然数,它可被 11 整除,它的各位数字之和等于 13.2答 案1. 7已知四位数 3AA1 正好是 9 的倍数,则其各位数字之和 3+A+A+1 一定是 9 的倍数,可能是 9 的 1 倍或 2 倍,可用试验法试之.设 3+A+A+1=9,则 A=2.5,不合题意.再设 3+A+A+1=18,则 A=7,符合题意.事实上,
4、3771 9=419.2. 1这个数奇数位上数字和与偶数位上数字和之差是 0 或是 11 的倍数,那么这个数能被 11 整除.偶数位上数字和是 5+7=12,因而,奇数位上数字和 2+9 应等于 12,内应填 12-2-9=1. 3. 990要同时能被 2 和 5 整除,这个三位数的个位一定是 0.要能被 3 整除,又要是最大的三位数,这个数是 990.4. 99960解法一: 能被 2、5 整除,个位数应为 0,其余数位上尽量取 9,用 7 去除9990,可知方框内应填 6.所以,能同时被 2、5、7 整除的最大五位数是 99960.解法二: 或者这样想,2,5,7 的最小公倍数是 70,而
5、能被 70 整除的最小六位是 100030.它减去 70 仍然是 70 的倍数,所以能被 2,5,7 整除的最大五位数是100030-70=99960.5. 3367先求出 1100 这 100 个数的和,再求 100 以内所有能被 3 整除的数的和,以上二和之差就是所有不能被 3 整除的数的和.(1+2+3+100)-（3+6+9+12+99）=(1+100) 2 100-(3+99) 2 33=5050-1683=33676. 1665能被 3 整除的二位数中最小的是 12,最大的是 99,所有能被 3 整除的二位数如下:12,15,18,21,，96，99这一列数共 30 个数，其和为1
6、2+15+18+96+99=(12+99) 30 2=16657. 96910 或 46915五位数 能被 55 整除,即此五位数既能被 5 整除,又能被 11 整除.所以BA691B=0 或 5.当 B=0 时, 能被 11 整除,所以(A+9+0)-(6+1)=A +2 能被 11 整除,因0此 A=9；当 B=5 时,同样可求出 A=4.所以,所求的五位数是 96910 或 46915.8. 90因为 105=3 5 7,根据数的整除性质,可知这个六位数能同时被 3、5 和 73整除。根据能被 5 整除的数的特征，可知这个六位数的个位数只能是 0 或 5 两种，再根据能被 3 整除的数的
7、特征，可知这个六位数有如下七个可能：199200，199230，199260，199290，199215，199245，199275.最后用 7 去试除知,199290 能被 7 整除.所以,199290 能被 105 整除,它的最后两位数是 90.注此题也可以这样思考:先把后面两个方框中填上 0 后的 199200 除以 105,根据余数的大小来决定最后两个方框内应填什么.199200 105=189715105-15=90如果 199200 再加上 90，199290 便可被 105 整除，故最后两位数是 90.9. 4316因为 99=9 11,所以 4228既是 9 的倍数,又是 11
8、 的倍数.根据是 9 的倍数的特点,这个数各位上数字的和是 9 的倍数.4228这个六位数中已知的四个数的和是 4+2+2+8=16,因此空格中两个数字的和是 2 或 11.我们把右起第一、三、五位看做奇位，那么奇位上已知两个数字的和是 2+2=4，而偶位上已知两个数字的和是 4+8=12，再根据是 11 的倍数的特点，奇位上数字的和与偶位上数的和之差是 0 或 11 的倍数，所以填入空格的两个数应该相差 3 或相差 8.从以上分析可知填入的两个数字的和不可能是 2,应该是 11.显然它们的差不可能是 8,应该是 3,符合这两个条件的数字只有 7 和 4.填入空格时要注意 7 填在偶位上,4
9、填在奇位上,即原六位数是 42 7 28 4 ，又 427284 99=4316，所以所得的商是 4316. 10. 1331第一次报数后留下的同学最初编号都是 11 倍数;第二次报数后留下的同学最初编号都是 121 的倍数;第三次报数后留下的同学最初编号都是 1331 的倍数.所以最后留下的只有一位同学,他的最初编号是 1331.11. 能被 9 整除的四位数的各位数字之和能被 9 整除，1+7+3+=11+ 内只能填 7.能被 11 整除的四位数的个位与百位的数字和减去十位与千位的数字和所得的差能被 11 整除. (7+)-(1+3)=3+ 能被 11 整除, 内只能填 8.能被 6 整除
10、的自然数是偶数,并且数字和能被 3 整除,而 1+7+3+=11+, 内只能填 4.所以,所填三个数字之和是 7+8+4=19. 12. 设补上的三个数字组成三位数 ,由这个七位数能被 2,5 整除,说明 c=0;abc由这个七位数能被 3 整除知 1+9+9+2+a+b+c=21+a+b+c 能被 11 整除，从而a+b 能被 3 整除;由这个七位数又能被 11 整除，可知(1+9+a+c)-(9+2+ b)=a-b-1 能被 11 整除;4由所组成的七位数应该最小,因而取 a+b=3,a-b=1,从而 a=2,b=1.所以这个最小七位数是 1992210.注小朋友通常的解法是:根据这个七位
11、数分别能被 2,3,5,11 整除的条件,这个七位数必定是 2,3,5,11 的公倍数,而 2,3,5,11 的最小公倍数是 2 3 5 11=330.这样,1992000 330=6036120，因此符合题意的七位数应是(6036+1)倍的数,即 1992000+(330-120)=1992210.13. 不可能.由于瓦夏原有 100 张票,最后还有 100 张票,所以他作了多少次“两换三”,那么也就作了多少次“三换两”,因此他一共出手了 2k+3k=5k 张票,而 1991 不是 5 的倍数.14. 显然,这样的自然数不可能为两位数,因为如果是两位数的话,则必然具有形式 ,但 为偶数,与它的各位数字之和等于 13 矛盾.现设求之xx2数为三位数 .于是由题意 ,且由被 11 整除的判别法则知yz13zy是 11 的倍数.又由于所求之数为最小,故有 =11.两式相减得 zyx.于是 12,由于 .当 .1yx,9x从 而 9,时所以,所求的最小自然数是 319.
