1、2015 年考研概率统计强化讲义44第四章 随机变量的数字特征一考研内容提要1随机变量的数学期望及性质（1）离散型随机变量及其函数数学期望的定义；（2）连续型随机变量及其函数数学期望的定义；（3）性质：（i）线性性质：设 、 是随机变量， 为常数，则XY,abc；（ii）若 、 相互独立，则()EaXbYcaEXbYc ()EXY2随机变量的方差及性质（1）随机变量方差及标准差的定义；（2）性质（i）设 是常数，则 ，特别地 ,ab2()DaXb2()0 ,() DbaXD（ii）若 、 相互独立，则 （可推广到有限的情形）XY YX3重要分布随机变量的期望和方差（1） 分布 ： ，(0)(1
2、,)BpE(1)p（2）二项分布 ： ，nXnD（3）Poisson 分布 ： ，()P（4）几何分布： ，1Ep2p（5）超几何分布： ，nMXN2()1nNnD（6）均匀分布 ： ，(,)UababE()aX（7）正态分布 ： ，2,2（8）指数分布 ： ，()1X2D2015 年考研概率统计强化讲义454二维随机变量的协方差、相关系数和不相关（1）协方差、相关系数和不相关的定义：（2）性质：（i）协方差的性质： ；cov(,)XD ；c(,)Y ； c(,cov(,)abdaXY ；1212ov),X 。 (c(,)DY（ii）相关系数的性质： ； 若 、 相互独立，则 ；反之不然。1X
3、Y0XY ,0,()1abPab常 数 使 得5矩的概念和关系6正态分布的几个重要结果（1）设 、 相互独立，且都服从正态分布，则 、 的任一线性组合XYXY（ 不全为零）仍服从正态分布，且 Zabc,；2(,) NEaDbY:（2） 服从二维正态分布。则 、 不相关 、 相互独立；,)XYXXY（3） 服从二维正态分布 对于任意不全为零常数 ， 服从一维( ,abZbY正态分布；（4）设 、 相互独立，且都服从正态分布，则 服从二维正态分布；XY(,)XY（5）若一多维随机变量是另一多维正态随机变量的线性变换，则该多维随机变量是多维正态随机变量。二考研题型解析2015 年考研概率统计强化讲义
4、461选择题例 1 已知随机变量 服从二项分布， ，则二项分布的参数X2.4 ,1.EXD的值为 （ ） 。,np（A） （B） 4,0.6p6 ,0.np（C） （D） 8 3241解 应选（B） 。例 2 已知离散型随机变量 的可能取值为 ，123,0,()0.,().89xxED则对应于 的概率为（ ） 。123,x（A） （B） 230.4,.1 ,0.5pp123. ,.4 ,.5pp（C） （D）15 4001解 应选（A ） 。例 3 设随机变量 的分布函数为 ，其中 为标准正X1().3().7()2xFx()x态的分布函数，则 （ ） 。E（A）0 （B） （C） （D）10
5、.0.解 应选（C） 。例 4 设随机变量 独立同分布，且方差 ，令 ，12, (1)nX 201niiYX则（ ） 。（A） （B） 21cov(,)Yn21cov(,)XY（C） （D）21DX 21n解 应选（A） 。例 5 设随机变量 和 独立同分布 ，记 ，则随机变量 和Y ,UXYVU2015 年考研概率统计强化讲义47（ ） 。V（A）不独立 （B）独立 （C）相关系数不为零 （D）相关系数为零解 应选（D ） 。例 6 设随机变量 和 的方差存在且不等于零，则 是 和XY()XYX（ ） 。Y（A）不相关的充分条件，但不是必要条件 （B）独立的充分条件，但不是必要条件（C）不相
6、关的充分必要条件 （D）独立的充分必要条件解 应选（C） 。例 7 设随机变量 与 独立同服从 上的均匀分布，则 （ XY(0,)min(,)EXY） 。（A） （B） （C） （D）234解 应选（C） 。例 8 设随机变量 ，且相关系数 ，则（ ） 。(0,1)(,4)XNY1XY（A） （B） (2PY(2)P（C） （D） )解 应选（D） 。例 9 设随机变量 与 相互独立，且 与 存在，记 ，XYEXYmax,UXY，则 （ ） 。min,VXY()EUV(A) (B) (C) (D)EV解 应选(B)。由于 ， ，因此1ax,2YXY1min,2XY1(min,)()2EUVE2
7、015 年考研概率统计强化讲义48221()()4EXYEXY故选(B)。例 10 将长度为 1m 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为（ ） 。(A) (B) (C) (D)112121解 应选(D)。设 分别表示所截成两段木棒的长度，则 ，即 ，,XY()PXY()PYX从而 ，故选(D) 。1例 11 设连续型随机变量 与 相互独立，且方差存在，其概率密度分别为12与 。随机变量 的概率密度为 ，随机变量1()Xfx2()XfY112()()YXfyffy。则（ ） 。2Y(A) (B) 1212,ED1212,EYD(C) (D) Y 解 应选(D)。由于 1 12 121()
8、()()()2YXXXEyfdyffydyfdyfd 12 2()(2XxfxE21()E因此 12Y又 与 相互独立，且方差存在，故1X221212()()4DXDX1 12 1 2221() ()Y XXEyfdyffydyfdyfd 2015 年考研概率统计强化讲义49122 21()()()XXxfdxfdEX 2112DYE21212()()4EX212 )4XDEX1212(12()4由于 ，事实上假设 ，则 ，从而21()0EX0EX12(PX，即 ， 不是不相关，这与 ， 相互独立矛盾，因此12212，从而 ，故选(D)。()1()4DYDY2填空题例 1 已知随机变量 的概率
9、密度函数为 ，则 的期望为 ，X21()xfeX方差为 。解 应填 。1,2ED例 2 设 表示 10 次独立重复射击中命中目标的次数，每次射击目标的概率为 ，则X 0.4的数学期望 。2解 应填 。18.4例 3 设随机变量 ，且已知 ，则 。()P:(1)2EX解 应填 。例 4 设随机变量 服从参数为 的指数分布，则 X()()PXEDX。2015 年考研概率统计强化讲义50解 应填 。1e例 5 设一次试验成功的概率为 ，进行 100 次独立重复试验，当 时，成功pp次数的标准差的值最大，其最大值为 。解 应填 ， 。12p5例 6 设随机变量 ，且 ，则 ； ()XP(1)(2)XP
10、EXDX。解 应填 ， 。2ED例 7 设随机变量 的概率密度为 ，已知 ，2 ,01()0 ,axbcx其 它 0.5E，则 ， ， 。0.15abc解 应填 12， 12， 3。c例 8 投掷 枚骰子，则出现点数和的数学期望为 。n解 应填 。72例 9 设 ，则 。2(0,1)()nN:为 正 整 数 解 应填 。例 10 设 和 是两个相互独立同服从正态分布 的随机变量，则随机变量XY1(0,)2N的数学期望 ；方差 。YEDXY解 应填 ， 。221Y因为 和 是两个相互独立同服从正态分布 ，因此 ，从而XY(0,)N(0,1)XYN， ，于是()0E()1D，又22 2()1XYE
11、2015 年考研概率统计强化讲义51，2 22+00t t tEXYedede所以 。22()1DYEX例 11 设随机变量 服从标准正态分布 ，则 。(,N2()XEe解 应填 。2e由于 的概率密度为 ，因此X21(),xfxe22 ()222 21()() xxxxEefdedede例 12 设随机变量 独立同分布， ，则行列式,1,)ijXn ijEX121212nnnXY 的数学期望 。EY解 应填 0。例 13 设随机变量 的概率分布为 ，则 。X(),01,2!CPXk 2EX解 由于 ，故 ，从而 的分布律为0011!kkCe1(),0,2!k即 服从参数为 1 的 Poiss
12、on 分布，故 ，于是 。X1EXD22()EXD例 14 设 的联合分布律为(,)YYX10 12015 年考研概率统计强化讲义520 0.07 0.18 0.151 0.08 0.32 0.20则 ， 。2cov(,)XYXY解 应填 ， 。20.0例 15 设二维随机变量 服从 ，则 。(,)2(,;)N2()EXY解 由于 ， ，因此 相互独立，且 ，2(,);XY, EY，从而 。2D 2223()()()EXYED3.解答题例 1 设 是相互独立且服从同一分布的两个随机变量，已知 的分布律为, ， ，又设 ， ， （i）写出二维随机变()3Pi12i max,Xin,Y量 的联合分
13、布律；（ii）求出随机变量 的数学期望 。 ,XY EX解 （i） 和 的可能取值为 。由于总有 ，故,3(,)0 ()Pijij1,() (1,23)39XYPiiPii(,)(),+ =ijjj j故 的联合分布律为 ,)YX1 2 31 90 032192015 年考研概率统计强化讲义5332919（ii）由（i）中 的联合分布律可得 的边缘分布律(,)XYX故 的数学期望 。X125399E例 2 设某种商品每周的需求量 是服从区间 上均匀分布的随机变量，而经销商X10,店进货数量为区间 中的某一整数，商店每销售 1 单位商品可获利 500 元，若供大10,3于求则削价处理，每处理 1
14、 单位商品亏损 100 元，若供不应求，则可从外部调剂供应，此时 1 单位商品仅获利 300 元，为使商店所获利润期望值不少于 9280 元，试确定最小的进货量。解 设进货量为 ，则利润为a503(),3020,3()161XaXaHX期望利润 30 21 1202()(6)(0)7.5305aaExdxada依题意，有 ， ，解之得7.535987.54，故最小进货量为 21 单位。203a例 3 已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有 3 件合格品和 3 件不合格品，乙箱中仅有 3 件合格品，从甲箱中任取 3 产品放入乙箱后，求：（i）乙箱中次品件数 的数学期望；（ii）从乙箱中任取一件产品是次品的概率。X解 （i） 的可能取值为 0，1，2，3， 的概率分布为X，即6(),01,23kCP1 2 3P959
