1、第六章 简单的超静定问题6-1 图示由三根杆组成的结构,已知各杆的弹性模量 E、横截面积 A 及杆长 L 均相同，试求各杆轴力，画出变形图和受力图。 13题 6-1图 123O题 6-2图FF20321解：如图所示，取中间节点作为研究对象，由受力平衡得：123cos60cos60FF对于 1、2、3 杆，根据胡克定律，可知其变形量分别为：23LEAF再由几何连续条件得： 123cos60于是，由上述方程联立解得：123F6-2 如图所示，三根同材料等长度和等截面的柔索，互成 ，在 O 点相连接，各索预受张力12010kN，索 3 在垂直方向。之后，在 O 点施加荷载 F,试计算在三种不同情况下
2、，各索所承受之力：（a ）F=9kN (b)F=15kN (c)F=21kN。答：（a ） F=9kN 时， 123,4NkN（b）F=15kN 时， 50（c）F=21kN 时， 123,解：首先计算当绳索 3 刚好无拉力时荷载 F 的值。 2O如图所示，取节点 O 作为研究对象。由于绳索上实现施加了 10KN 的拉力，因此由节点的竖向平衡可知：12cos60cos60FF则 F=10KN(1) 由于 F=9KN10KN于是绳索 3 中没有拉力。因此由节点的竖向平衡可知： 12cos60cos60FF则 235KN(3) 由于 F=21KN10KN于是绳索 3 中没有拉力。因此由节点的竖向平
3、衡可知： 12cos60cos60FF则 23KN6-3 图示对称结构中，杆 BC 为刚性杆，其余四根杆的 EA 均相同，试求荷载 F 作用下四根杆的轴力。解： 603124123此题为对称结构上作用对称荷载，因此结构的受力和变形均对称。于是可得 1234F取刚性杆 BC 作为研究对象，由竖直方向的受力平衡得：312sin0sin60再由胡克定律得： 1234FLEAFLEA且由于对称荷载作用，加载时刚性杆 BC 的运动为竖直方向的平动。有 31cos06由以上方程可以解得：2143.027FFaF603题 6-图214aFACBDEa题 6-4图06-4 图示结构，各杆抗拉刚度均为 EA,
4、试求各杆的轴力。FACBDE60CA解： 此题为对称结构受对称荷载作用,因此 AB、BC 杆的轴力相等，设为 1F则 1aABCFE对于 DB 杆，由于杆件在 E 点受集中力作用，则轴力应该分为两部分考虑。设 DE 段轴力为，EB 段轴力为 。23于是 ,其中 DBEB2DEFaA3EB再由受力平衡条件得：1232cos60F由变形协调条件得：sABD于是，由上式解得：434ABBCBEEDFF6-5 刚性杆 ABC 由材料相同、横截面积相等的三根杆悬挂，其结构及受力如图，试分析三根杆的受力分配比。 CBAL3L2Fa()题 6-5图FN12N3ABCCAL3L2FB(b)(c)解：本题为一次
5、超静定问题，由受力图（b） ，得 13()0NMBa则 （1）13NFABC 杆为刚性杆，由变形几何图（c）可得变形协调条件 （2）132l物理关系为： （3）1NllEA2NFl3NlEA由方程（1） （3）得 31l上式代入（2）得 （4）2（3）再代入（4）得 再结合（1）得结论：三杆受力相同12NF F2m3m3m1ABDCE题 6-7图CBDEF12534 题 6-图6-6 一杆系如图所示，1、2、3 杆铰接在滑块 E 上，滑块 E 能沿竖向移动，杆 2 在竖直位置。图中F、EA 均为已知。各杆的 EA 相同，长度均为 L，试求 E 点处的支反力。 解： 由节点处的变形协调条件及几何
6、条件得：12345由胡克定律得：即123245FLEAFLEA12345F取滑块 E 作为研究对象，由水平和竖直方向上的受力平衡得：123435FR于是解得： 方向水平向右0.6-7 图示结构中，BC 为刚性杆，1 、2 两杆的抗拉（压）刚度均为 EA, 试求两杆的轴力。F21ABDCE2111解： 如图所示，取整体为研究对象，对 B 点取矩得：213F由变形协调条件得：212cos45cs其中：12FLEA于是，可以解得： 1235FF0.6m0.6m5mxF=5kN1230.75题 6-8图 a题 6-9图铜 钢 铜6-8 刚性梁由材料相同、截面积相等的三根立柱支撑，其结构和受力如图所示，
7、如使刚性梁保持水平，试求：（1）荷载 F 作用点的位置 x；(2) 此时各立柱中的轴力。解： 由于梁要保持水平，所以 123即 312FLEA又由于 则 又 232312FL对 1 柱低端取矩， 320.6.1.8MxxF由竖直方向的受力平衡得：123YF由以上三式得：1230.54().xmKNF压 压6-9 刚性梁悬挂在三根杆上，已知 A 钢 =2A 铜 ， 钢 = ，E 钢 =210GPa, 铜 = ，E 铜7125071650=100GPa, 试求当温度升高 C 时各杆横截面上的应力。t解： 如图所示，为对称结构受对称荷载作用，因此刚性梁一定是平行移动。即 123由题中条件,可得以下四
8、式:20t tFLFLEAEA铜 铜 钢 钢铜 铜 钢 钢铜 铜 钢 钢铜 铜钢 铜 钢钢由第一式和第四式分别得:7401tE铜钢 铜钢 铜钢由以上四式联立可以解得:，52.710t钢 52.710t铜6-10 如图所示，斜杆 DC 的长度比要求短 ，已知 DB 和 DC 杆的面积 A=200mm2, 材.DCL料的 E=200GPa。试求：装配后 DB 杆和 DC 杆的轴力。ABCL刚 性 杆DL(a)题 6-10图ABDCABCFx(b) (c) DF解： 为刚性杆，假设其移动到 如图（b）所示由几何关系知： （1）12BDll25CDl25CDDll由物理关系知： （2） （3）BFLl
9、EA5CFLlEA由受力图（c）知： （4）()05DCMF（1） （2） （3） （4）联立，解得 ()BkN压 2()DkN拉6-11 图示结构的刚性杆吊在两根钢杆上，已知 =0.1mm,E=200GPa, , 。试求装配后并在荷载 F 作用下两杆横截面上的应力。210Am21012aa=()A1m0kN12FN12题 6-1图(b) (c)AA=0kF=10kN解：由变形几何图（b）得 （1）122)ll由物理关系知 （2） （3）1NFlEA2NFEA由受力图（c）得 （4）12()0Maa（1） （2） （3） （4）联立，解得 146.kNF216.7kNF17.PaNFA20.7
10、PaA6-12 图示结构，已知 BC 杆的横截面积为 BD 杆的四倍，两杆材料的 ，E =200GPa,当71250温度升高 时，试求 BC 杆和 BD 杆横 截面上的应力。4C解： BD1230刚 性 杆2如图所示，BC、BD 杆在受温度作用后都会伸长。 4t1.750LL其中 23cosBDa3tan0BC按如图所示的变形图可得，杆 BC 和 BD 的压缩量分别为：2BL1BCL而 1cos60再有 FEA4BCDA由以上方程联立可以解得： 1228,56MPaMPaCBDE130刚 性 杆a题 6-2图 30124ADBC题 6-图6-13 ABC 为刚性等边三角形板，1、2、3、4 杆
11、均为钢制，各杆的长度均为 l，截面积均为 A，杆件的尺寸及布置如图所示，已知 A、D 之间的距离为 ，当把 A、D 装配在一起时，假定各杆的应力仍在弹性极限之内，试求各杆中的内力。答： 1 321(14cos5)(4cos5)NNEEFFll解：取刚性三角板作为研究对象，由竖向位移条件得：31cs60根据胡克定律得：312o5FLEA根据受力平衡条件得：带入后解得;31cscs601 322o5cos15(4)(4s)cNEAFFll6-14 结构由相同材料的杆件组成，横梁可视作刚体。若 1、2 杆的横截面积为 A, 线膨胀系数为 ，AB 杆横截面积为 2A, 在 F 作用的同时，1、2 杆温度升高 T, AB 杆温度不变，此时横梁已与 AB 杆接触，试求 1、2 杆之内力。解：取横梁作为研究对象，由竖向受力平衡得：12AB分别对于每个杆件，他们的变形量12ABFLE再根据变形协调条件：
