1、1、设 有限的可测函数,证明:存在定义在 上的一列连续函数,().ERfxae是 上 R,使得 于 E。nglim()ngf证明:因为 在 上可测,由鲁津定理是,对任何正整数 ,存在 的可测子集 ,()fx nEn使得 , 同时存在定义在 上的连续函数 ,使得当 时,1nE1R()gx有 所以对任意的 ,成立 由此可得()ngxf0|nnEf,因此 即 ,|()nmlim|0n()xf由黎斯定理存在 的子列 ,使得 , 于 Engk ()kgxf.ae2、设 上的连续函数, 为 上的可测函数,则 是可测函(),)fx是 ()x,ab()fgx数。证明:记 ,由于 在 上连续,故对任意实数12(
2、,),Eab()f1E是直线上的开集,设 ,其中 是其构成区1,cf11,)nfc(,)n间(可能是有限个, 可能为 可有为 )因此nn因为 在 上可222211()()nnnnEfgcEgEgg2E测,因此 都可测。故 可测。22,nn)fc3、设 是 上的实值连续函数,则对于任意常数 , 是一()fx)a|()xfa开集,而 总是一闭集。|(Efa证明:若 ,因为 是连续的,所以存在 ,使任意00,)x则 ()fx0,(,), 即任意 是0|()xfxa就 有 0 0U(,),U(,),xxExE就 有 所 以开集若 且 ,由于 连续,,nE0,)nnfa则 (f,0()lim()fxfx
3、即 ,因此 E 是闭集。 4、 (1)设 求出集列 的上限集和下限集212(0,)(,)1,2nnA nA证明: 设 ,则存在 N,使 ,因此 时, ,limxxN0xn即 ,所以 属于下标比 N 大的一切偶指标集,从而 属于无限多 ,得2nx n,liA又显然 若有 ,则存在 N,(0,)lim(0,)nnA所 以 linlimnxA使任意 ,有 ,因此若 时,Nx21N,此不可能,所以21,0,0nxAnx即 令 得 lin(2)可数点集的外测度为零。证明:证明:设 对任意 ,存在开区间 ,使 ,且|1,2iEx iIixI所以 ,且 ,由 的任意性得|2iiI1iI1|iiI*0mE5、
4、设 是 E 上的可测函数列,则其收敛点集与发散点集都是可测的。nf证: 显然, 的收敛点集可表示为f 0li()li()nnxxEff= .11limlinnxxkffk由 可测 及 都可测,所以 在 上可测。nflinxflinxflilinnxxffE从而,对任一自然数 , 可测。故k1lilinnxxEffk01limlinnxxkff可测。既然收敛点集 可测,那么发散点集 也可测。0E0E6、设 ,存在两侧两列可测集 , ,使得 且 ( - )qRnABnnBmnA0, (n)则 可测.证明:对于任意 , ,所以 iinB1Ein-1又因为 ,EAiiiiAB所以对于任意 , )(*1
5、Emin)( )(*iiAB)(iim令 ,由 0 得 所以 是可测的又由于 可i)(iim01)( nEn1nB测,有 也是可测的所以 是可测的。nB1 )(B7、设在 上 ,而 成立, ,则有Efxfnnfxg.ae,2ngx设 ,则 。nnfg110nnmE所以01nnnf f1nnnnmEfgmEfmEf因为 ,所以nfxf0li li 0nn ngf即 xf8、证明: 。()AB证明:因为 , ,所以, , ,从而AB()AB()AB()反之,对任意 ,即对任意 ,有()x,x为无限集,,()(,)BABAxB从而 为无限集或 为无限集至少有一个成立,即 或 ,(,)x,x xAB所
6、以, , 。综上所述, 。()()9、证明:若 , ( ) ,则 于 。)nfxf()nfxgxE(fxg.aeE证明:由于 ,而11()nExfgExfgn,122nnffxfgkkk所以,11nnmExfgmExfmExfkkk由 , ( )得()nff()nf, 。1li02nnxfk1li02nnxfgk所以, ,从而 ,即 于 。mEfgk()mExf()fx.aeE10、 、证明:若 , ( ) ,则()nfxf()ng( ) 。()nfxgx证明:对任意 ,由于0,()()()()nn nnfxfgfxfgx所以,由 可得,gx和 至少有一个成立。1()2nff 1()2nx从而
7、,12n nnExfgfEfExg所以,。12n nnmxffmxfmx又由 , ( )得,()nff()ngxE, 。1li02nnEf1li02nnxg所以,即 ( ) 。lim0nnExfgf()()nnfxgfxgxE11、若 ( ) ,则 ( ) 。()xEnfE证明:因为 ,所以,对任意 ,有()()nffx0,nnxff。mEmEx又由 ( )得, 。所以,()nfxfxli0nnf,即 ( ) 。li0nf()()xfxE12、证明: 上的连续函数必为可测函数。1R证明:设 是 上的连续函数,由连续函数的局部保号性,对任意实数 ,()fx1 a是开集,从而是可测集。所以, 是
8、上的可测函1 1,aaR()fx1R数。13、证明: 上的单调函数必为可测函数。1R证明:不妨设 是 上的单调递增函数,对任意实数 ,记 ,()fx1 ainf()Axa由单调函数的特点得,当 时, ,显然是可测集;()Afxa(),)xf当 时, ,也显然是可测集。故 是 上的可()Axfa,(fx1R测函数。14、设 , 是 的可测子集,且 ,若 ,则()fLEnmElinEm。limd()nExfx证明:因为 是 的可测子集,且 ,所以, ,从而n ()nn由 得, 。又 ,由积分的绝linlim()li0nnEmE(fxLE对连续性, 。li)d()dn nEnfxfxfx15、设 ,
9、若对任意有界可测函数 都有 ,则()fL()0Efx()0fx于 。.ae证明:由题设,取 ,显然 为 上的有界可测函数,1,()0()0,xEff()xE从而 。所以, 于 ,即 于 。()d()dEEfxfx().ae()0f.aeE16、设 , ,证明(1) ;(2) 。()fxLneflim0nelinnme证明:由 得, (1) 。 (2)由(1) ,注意()d()neEmxx到 ,由积分的绝对连续性得, ,从而注意到()fxEli()dnefx,0nm所以, 。linnme17、若 是 上的单调函数,则 是 上的有界变差函数,且()fx,ab()fx,ab。()baVf证明:不妨设
10、 是 上的单调增函数,任取 的一个分割()fx,011:iinTxxb 则 1101()()()nnii iini ifxfffffx,fbafba所以, 。11()sup()()nbiiaTiVffxff18、若 在 上满足:存在正常数 ,使得对任意 ,都有()fx,bK12,xab,12()fxf则 (1) 是 上的有界变差函数,且 ;()fx,a()baVf(2) 是 上的绝对连续函数。b证明:(1)由题设,任取 的一个分割,ab011:iinTxxxb 则,1111()()()nnniii ii i ifxfKKa所以, 是 上的有界变差函数,且 。()f,ab 11()sup()()
11、nbiiaTiVffxfb(2)在 内,任取有限个互不相交的开区间 , 。由于, ,iy,2n,111()nnniii ii ifxfyKxx于是,对任意 ,取 ,则当 时,有01niy,11()nniiiifxfKx即 是 上的绝对连续函数。()fx,ab19、若 是 上的绝对连续函数,则 是 上的有界变差函数。()f,()fx,ab证明:由 是 上的绝对连续函数,取 ,存在 ,对任意有限个互不xab10相交的开区间 , ,只要 时,有 。(,)iy1,2n 1nixy1()1niiifxfy现将 等分,记分点为 ,使得每一等份的,ab0iinaaab 长度小于 。易得 ,即 是 上的有界变
12、差函数。又1()iiaVf()fx1,i,1,ni所以, ,即 是 上的有界变差函数。1()()iiabaffn()fx,ab20、若 是 上的有界变差函数,则()fx,b(1)全变差函数 是 上的递增函数;()xaVf,b(2) 也是 上的递增函数。()xaf证明:(1)对任意 , ,注意到 ,有12,x21x21()0xVf,11()()axaVfff即 是 上的递增函数。()xaVf,b(2)对任意 , ,注意到 ,有12,xb2121 1()()xiiVffx212()()xaaxff,21 1()()0ffx即 是 上的递增函数。()xaVf,b21、证明 Jordan 分解定理: 是 上的有界变差函数 可表示成 上的()fx,ab()fx,ab两个增函数之差。证明:“充分性” 显然成立。下证“ 必要性”。事实上, ,由上题 和 都是 上的()()xxaafVff()xaVf()xaf,递增函数。