1、一、证明或判断数列为等差数列的方法1.定义法在数列 中，若 （ 为常数） ，则数列 为等差数列nadan1 na例：已知正项数列 的前 n 项和为 ， ，且满足 （nS321a2113naS）*N证明：数列 是等差数列na证明：由 得21132naS2113)(nnaSaS整理得 4n则 n21两式相减得 nn aaa2311n32因为 是正项数列，所以n 01所以 ，即21na32na所以 是首项为 ，公差为 的等差数列na32.等差中项法是等差数列21nnn例：设数列 的前 n 项和为 ，已知 ， ， ，且aS1a6213a其中 A、B 为常数1(58)(52)nSAB（1）求 A 与 B
2、 的值 （2）证明数列 是等差数列n解：（1）因为 ， ， ，所以1a613a123718SS，把 ， 分别代入nBAnn585得 BA732182解得： ，0（2）由（1）知 820551nSnSn整理得 8208511 nSSnn即 2a又 11nnn-得 20851522 nnaa即 031na又 72n-得 2513a所以 013nna所以 ，又5232 512a所以数列 是首项为 1，公差为 5 的等差数列n3.看通项与前 n 项和法（注：这些结论适用于选择题填空题）（1）若数列通项 能表示成 （ ， 为常数）的形式，则数列 是等abanna差数列；（2）若数列 的前 n 项和 能表
3、示成 （ ， 为常数）的形式，nSnn2ab则数列 是等差数列na例：若 是数列 的前 n 项和， ，则 是（ ）Sa2nnA.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列C.等差数列，也是等比数列 D.既不是等差数列，也不是等比数列解析：根据（2）知 等差数列，不是等比数列n二、证明或判断数列为等比数列的方法1.定义法在数列 中，若 （ 为常数） ，则数列 为等比数列naqn1 na例：设数列 的首项 ，且 ， 记n41a124nna为 偶 数为 奇 数 ， 412nab3,2（1）求 ， a（2）判断数列 是否为等比数列，并证明你的结论nb解：（1） ，41128123aa(2)
4、 ,834a6345所以 ，1b )41(232 ab)1(6453a猜想 是公比为 的等比数列n2证明如下：因为 nnnnnnn baaaab 21)4(214)(14142221)(21 所以 是首项为 ，公比为 的等比数列b例 2：已知数列 的首项 ，前 项和为 ， ，证明na15nnS125()nN数列 是等比数列；1n解：由已知 可得 时 两式相减*12()nSN1,4nS得: ，即 ，从而 ，1()nS12na12()a当 时， ，所以 ，2156又 ，所以 ，从而 15a21()故总有 ，又 ，从而 12()nnaN，1150a，12na所以数列 是等比数列n例 3：设数列 的前
5、 项的和为 ，且 。anS*11,24, NnaSan（1）设 ，求证：数列 是等比数列；nnb21b证明：（1） 时2n，114naSa，nn12b又 32312aSa是首项为 3，公比为 2 的等比数列。n例 4：设数列 的首项 ，前 项和 满足关系 ，求证1nststsnn321为等比数列。na（错证）由题意： tstsnn3231t21两式相减得： 021nnsts即： 03at所以： 为定值，所以 为等比数列。tan21na由于在证明的过程没有注意到各符号有意义的条件，从而忽略了 的取值范围，导致n证明不符合定义的完整性。正确的证明如下： 时：3tstsnn32121两式相减得： 0
6、321nnstst即： 01at所以： tn321（这只能说明从第二项开始，后一项与前一项的比为定值，所以需要对第二项与第一项的比另外加以证明，以达到定义的完整性。 ）又因为 时：2tsts331即 tatat 32311又因为 ，所以)(所以 t32所以 ta1所以对任意 都有 为定值，所以 为等比数列。2ntan321na总之，在用定义证明一个数列为等差数列或等比数列的时候，一定要注意下标 的n取值范围，不管是 ； 还是 还是其它的情况，都在考虑定义1n 211;nna的完整性，确保任何的后一项与相邻前一项的差（比）为定值，如有不全面的地方须另外加以补充。2.看通项与前 n 项和法（1）若通项 能表示成 （ ， 均为不为 0 的常数）的形式，则 是等比数ancq na列（2）若数列 的前 n 项和 能表示成 （ 、 均为不等于 0 的常数，nSAqnq且 ）的形式，则数列 是公比不为 1 的等比数列1qa例：已知数列 的前 n 项和 ，则数列 是什么数列32nnSna解析：由数列前 n 项和可知，数列 是等比数列，首项 ，公比na6132121q
