1、第1页共7页题目构造法在中学数学解题中的应用年级数统学院2011级2班专业数学与应用数学姓名学号20111021229摘要本文从构造方程、函数、图形、递推数列这些常见构造出发，构造出解题的数学模型,从而使问题得到解决。在构造法解题的过程中，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，在解题中被广泛应用。它是一种极其富有技巧性和创造性的解题方法，运用构造法解数学题可从中激发学生的发散思维，使学生思维和解题能力得到培养，对培养学生的多元化思维和创新精神大有裨益。关键词构造、数学解题、转化。1前言构造法，即构造出使用公式或定理的条件，或对所解题目赋予几何意义，或构造出题目所满足的条件的具体事例来验
2、证结论的正确性或推翻结论等手段来解题的方法，是运用数学的基本思想,经过认真的观察,深入的思考,构造出解题的数学模型,从而使问题得到解决。它内涵十分丰富,没有完全固定的模式可第2页共7页以套用,它是以广泛抽象的普遍性与现实问题的特殊性为基础,针对具体的问题的特点而采取相应的解决办法。在解题时，要善于将数与形结合，将式与方程、函数、图形等建立联系，构造出一种新的问题形式，架起一座连接条件和结论的桥梁，如方程、函数、图形、模型等，在数学表达的几种形式之间找出相互关系。从而使问题得以解决。2构造法在数学中的应用21构造函数法在求解某些数学问题中，根据问题的条件，构想、组合一种新的函数关系，使问题在新的
3、观点下实行转化并利用函数的有关性质解决原问题是一种行之有效的解题手段。在解决不等式的证明题时常常通过构造辅助函数，把原来问题转化为研究辅助函数的性质，并利用函数的单调性、有界性、奇偶性等性质来解决。例1求证不等式0122XXXX证明构造函数0122XXXFXX2122212XXXXXXXFX112122XXXX122XXXXFX所以FX的图像关于Y轴对称。当0X时，120X，故0FX；当0X时，依图象的对称性知0FX故当0X时，恒有0FX即0122XXXX例2已知0X，求证11512XXXX证明构造函数10FXXXX，则12XX，设2,由11111FF第3页共7页显然因为2，所以0，1，所以0
4、FF，所以FX在2,上是单调递增的，所以115212XFXXX以上两题的实质上是用的函数的单调性、奇偶性来证明的，其中如何来构造恰当的函数是进一步证明的关键。22构造递推数列数列的通项公式是数列的核心内容之一，它如同函数中的解析式一样，有了解析式便可研究其性质等；有了数列的通项公式便可求出任一项以及前N项和等因此，求数列的通项公式往往是解题的突破口、关键点。因此近年来的高考题中经常出现给出数列的解析式（包括递推关系式和非递推关系式），求通项公式的问题，常常用构造法构造等差、等比数列。例3数列NA中，123NNAA，求通项NA解令12NNATAT且23TT，得3T，则数列3NA是以6为首项，2为
5、公比的等比数列，所以1362NNA，则1623NNA本题是形如1,NNAPAQPQ为非零常数）的，若1P，则NA为等差数列，否则，构造1NNATPAT等比数列。例4已知数列NA满足114A，112,12NNNNAANNNA，求通项NA解1121NNNAA1111121NNNNAA1113A数列11NNA是首项是3，公比为2的等比数列从而11132NNNA第4页共7页即11321NNNA本题形如1,NNNPAAPQRQAR为非零常数，将其变形为111NNRQAPAP若PR，则1NA是等差数列，公差为QP，可用公式求通项；若PR，则采用构造1NNATMAT等比数列例5已知数列NA满足111,21,
6、NNAAANNN，若数列NAPNQ是等比数列，求实数,PQ的值；求通项NA解设11,NNAPNQMNNAPNQ得11NNAPNQMAMPNMQ因为121NNAAN,所以21NNANPNPQMAMPNMQ即2110NMAPMPNPQMQ由已知可得0NA，所以202101102MMPMPPPQMQQ则存在常数1,2PQ使得数列NAPNQ为等比数列所以1242NNAN，则122NNAN本题形如1,NNAPAQNRPQR为非零常数）的形式，解决此问题，一般将其构造为11ATNMPATNM等比数列第5页共7页23构造方程或方程组根据题设条件，利用方程的根的定义、根的判别式、韦达定理等相关知识构造出方程或
7、方程组，然后利用方程或方程组的有关知识，使问题得以解决。例6已知实数,XYZ满足25,9XYZXYY，求23XYZ的值。解由已知可得21619XYXYZ以1,XY为两实数根，构造方程22690MMZ，因为方程有实根，所以22264940ZZ所以20,0Z且，所以方程2690MM有两个相等的实数根，所以123MM，于是有13XY，所以2,3,0XYZ，所以238XYZ例7求证,23TANSECTANSEC3122ZKK证明设TANSECTANSEC22Y则21TAN1TAN10YYY当1Y时，显然成立当1Y时221413130YYYY所以133Y24构造图形法数与形是和谐统一的，是数学教学中不可
8、分割的两方面，用数与形转化思想解题，能充分利用几何直观性，且解法简洁，在解题过程中能培养学生的创造性思维。要灵活运用数形结合的方法，必须对解析几何中的公式及其各种变形有相当深刻的认识，也要对所求解的问题的数、式、形等特征有比较准确的把握，敢于联想，善于联想是构造法的关键。例8一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）第6页共7页A3B4C33D6显示正方体隐藏正方体合拢移开旋转ACB1D1A1D1C1B1ADCB图1解构造一个棱长为1的正方体1111ABCDABCD如图1，连111111,ABADACCDCBBD，则四面体11ACD为符合题意的四面体，它的外接球的直
9、径即为正方体的对角线长设该外接球的半径为R,则123RAC,所以此正四面体外接球的表面积为243SR,故选A图2例9已知全集5,4,3,2,1U，集合,ST为U真子集，若2TS，4TSCU，5,1TCSCUU,则有（）AS3，T3BSCU3，T3CS3，TCU3DSCU3，TCU3分析由韦恩图3知，三个集合的关系如下图一目了然，选答案C514T23SU图33总结通过上述的例子说明了，构造法解题有着在你意想不到的功效，问题很快便可解第7页共7页决。它可以构造函数、方程、图形甚至其它构造，就会促使学生要熟悉几何、代数、三角等基本知识技能并多方设法加以综合利用，这对学生的多元思维培养学习兴趣的提高以
10、及钻研独创精神的发挥十分有利。构造法解题的思维过程具有一定的灵活性和创造性，运用构造法解题需要掌握数学知识之间的互相关系，而且需要较强的思维能力和创新意识。参考文献1薛金星怎样解题M北京教育出版社，20042052142王桂青初中数学竞赛中的构造法分析J考试周刊，2007，（1）1011023黄加卫给数学构造性解题方法提个醒J中学数学研究，2006，（4）26284戴红波构造在数学解题中的应用J宁波教育学院学报，2010，12（3）1341355周权运用构造法巧证组合题J高中数学教与学，200844456蒲怡萧一道例题的构造解法J数学大世界高中版，2003，（9）267陈巧红用构造法巧求根式函数的最值J数学通报，2006，（20）17188王小兰浅析构造法在不等式证明中的应用J教育战线，2007，（6）1269王向群两类求和问题的又一构造解法J数学通讯，2001，（7）2210王业文无理方程的构造解法例谈J中学数学（苏州），1998，（8363711刘颖浅析构造法在初等数学中的应用J职业教育，2007，（6）22522612刘震源浅谈构造法在中学数学中的应用J中国校外教育（理论），2007，（1）8991
