1、第 1 页（共 36 页）高中数学必修二（人教版）点、直线、平面之间的位置关系证明题精选一解答题（共 20 小题，满分 120 分，每小题 6 分）1 （ 6 分）如图所示，正方形 ABCD 与直角梯形 ADEF 所在平面互相垂直，ADE=90，AFDE，DE=DA=2AF=2（1 ）求证：AC平面 BEF；（2 ）求四面体 BDEF 的体积2 （ 6 分）在四棱锥 PABCD 中，ABC=ACD=90，BAC=CAD=60，PA平面 ABCD，E 为 PD 的中点，PA=2AB=2（1 ）求证：PCAE；（2 ）求证：CE平面 PAB；（3 ）求三棱锥 PACE 的体积 V3 （ 6 分）如
2、图，在棱长均为 4 的三棱柱 ABCA1B1C1 中，D、D 1 分别是 BC 和 B1C1 的中点（1 ）求证：A 1D1平面 AB1D；（2 ）若平面 ABC平面 BCC1B1，B 1BC=60，求三棱锥 B1ABC 的体积第 2 页（共 36 页）4 （ 6 分）如图所示，四棱锥 PABCD 的底面为直角梯形，ABAD，CDAD，CD=2AB点 E 是 PC 的中点（）求证：BE平面 PAD；（）已知平面 PCD底面 ABCD，且 PC=DC在棱 PD 上是否存在点 F，使 CFPA？请说明理由5 （ 6 分）如图，在四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD 是菱形，SA平面 ABCD，M
3、，N 分别为 SA，CD 的中点（I）证明：直线 MN平面 SBC； （）证明：平面 SBD平面 SAC6 （ 6 分）如图，O 是圆锥底面圆的圆心，圆锥的轴截面 PAB 为等腰直角三角形，C 为底面圆周上一点（）若弧 BC 的中点为 D求证： AC平面 POD；（）如果PAB 面积是 9，求此圆锥的表面积第 3 页（共 36 页）7 （ 6 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是菱形，PA平面 ABCD，PA=3，F 是棱 PA 上的一个动点，E 为 PD 的中点（）求证：平面 BDF平面 PCF；（）若 AF=1，求证：CE 平面 BDF8 （ 6 分）已知，如图，P 是平
4、面 ABC 外一点，PA 不垂直于平面 ABC，E ，F 分别是线段 AC，PC 的中点，D 是线段 AB 上一点，AB=AC，PB=PC，DEEF（1 ）求证：PABC ；（2 ）求证：BC 平面 DEF9 （ 6 分）如图，在多面体 ABCDEF 中，底面 ABCD 是菱形，AB=2 ，DAB=60，EFAC，EF= （）求证：FC 平面 BDE；（）若 EA=ED，求证：ADBE第 4 页（共 36 页）10 （ 6 分）长方体 ABCDA1B1C1D1 中，底面 ABCD 是正方形， AA1=2，AB=1 ，E 是 DD1 上的一点（1 ）求异面直线 AC 与 B1D 所成的角；（2
5、）若 B1D平面 ACE，求三棱锥 ACDE 的体积11 （ 6 分）如图，在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，底面四边形 ABCD 为菱形，A1A=AB=2，ABC= ，E，F 分别是 BC，A 1C 的中点（1 ）求异面直线 EF，AD 所成角的余弦值；（2 ）点 M 在线段 A1D 上， =若 CM平面 AEF，求实数 的值12 （ 6 分）如图，六面体 ABCDE 中，面 DBC面 ABC，AE面 ABC（1 ）求证：AE面 DBC；（2 ）若 ABBC，BDCD ，求证：ADDC 13 （ 6 分）如图：在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是菱形，ABC=60 ，PA平面
6、 ABCD，点 M，N 分别为 BC， PA 的中点，且 PA=AB=2（）证明：BC平面 AMN；第 5 页（共 36 页）（）求三棱锥 NAMC 的体积；（）在线段 PD 上是否存在一点 E，使得 NM平面 ACE；若存在，求出 PE 的长；若不存在，说明理由14 （ 6 分）在空间四边形 ABCD 中，H，G 分别是 AD，CD 的中点，E ，F 分别边 AB，BC 上的点，且 = 求证：点 E，F，G，H 四点共面；直线 EH，BD，FG 相交于一点15 （ 6 分）如图长方体 ABCDABCD中，AB=BC=1，AA=2，E、F 分别是 BB、AB的中点（1 ）求证：E 、 F、C、
7、D四点共面； （2 ）求异面直线 AC、CE 夹角的余弦值第 6 页（共 36 页）16 （ 6 分）如图，直三棱柱 ABCA1B1C1 中，D，E 分别是 AB，BB 1 的中点，AA 1=AC=CB= AB（1 ）证明：BC 1平面 A1CD；（2 ）求异面直线 BC1 和 A1D 所成角的大小17 （ 6 分）如图，侧棱垂直于底面的三棱柱 ABCA1B1C1 中，AB AC ，且 AC=AA1（1 ）求证：ABA 1C；（2 ）求异面直线 A1C 与 BB1 所成角的大小18 （ 6 分） （文科）设 A 在平面 BCD 内的射影是直角三角形 BCD 的斜边 BD 的中点 O，AC=BC
8、=1，CD= ，求（1）AC 与平面 BCD 所成角的大小；（2 ）异面直线 AB 和 CD 的大小19 （ 6 分）三角形 PDC 所在的平面与长方形 ABCD 所在的平面垂直，PD=PC=4， ，BC=3点 E是 CD 边的中点，点 F、G 分别在线段 AB、BC 上，且 AF=2FB，CG=2GB第 7 页（共 36 页）（1 ）证明：BC 平面 PDA；（2 ）求二面角 PADC 的大小；（3 ）求直线 PA 与直线 FG 所成角的余弦值20 （ 6 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，M ，N 分别是 AB，PC 的中点，若 ABCD 是平行四边形（1 ）求证：MN 平面 PAD（2
9、 ）若 PA=AD=2a，MN 与 PA 所成的角为 30求 MN 的长第 8 页（共 36 页）高中数学必修二（人教版）点、直线、平面之间的位置关系证明题精选参考答案与试题解析一解答题（共 20 小题，满分 120 分，每小题 6 分）1 （ 6 分） （2017雅安模拟）如图所示，正方形 ABCD 与直角梯形 ADEF 所在平面互相垂直，ADE=90，AFDE，DE=DA=2AF=2（1 ）求证：AC平面 BEF；（2 ）求四面体 BDEF 的体积【考点】LS：直线与平面平行的判定；L：组合几何体的面积、体积问题； LF：棱柱、棱锥、棱台的体积菁优网版权所有【专题】15 ：综合题【分析】
10、（1）设正方形 ABCD 的中心为 O，取 BE 中点 G，连接 FG，OG ，由中位线定理，我们易得四边形 AFGO 是平行四边形，即 FGOA，由直线与平面平行的判定定理即可得到 AC平面 BEF；（2 ）由已知中正方形 ABCD 与直角梯形 ADEF 所在平面互相垂直，ADE=90，我们可以得到 AB平面ADEF，结合 DE=DA=2AF=2分别计算棱锥的底面面积和高，代入棱锥体积公式即可求出四面体 BDEF 的体积【解答】证明：（1）设 ACBD=O，取 BE 中点 G，连接 FG，OG，所以，OGDE，且 OG= DE因为 AFDE，DE=2AF ，所以 AFOG，且 OG=AF，从
11、而四边形 AFGO 是平行四边形，FGOA因为 FG平面 BEF，AO平面 BEF，所以 AO平面 BEF，即 AC 平面 BEF（6 分）解：（2）因为平面 ABCD平面 ADEF，AB AD，所以 AB平面 ADEF因为 AFDE，ADE=90 ，DE=DA=2AF=2第 9 页（共 36 页）所以DEF 的面积为 SDEF = EDAD=2，所以四面体 BDEF 的体积 V= SDEF AB= （12 分）【点评】本题考查的知识点是直线与平面平行的判定及棱锥的体积， （1）的关键是证明出 FGOA ， （2）的关键是得到 AB平面 ADEF，即四面体 BDEF 的高为 AB2 （ 6 分
12、） （2017广西一模）在四棱锥 PABCD 中，ABC=ACD=90，BAC=CAD=60，PA平面ABCD，E 为 PD 的中点，PA=2AB=2（1 ）求证：PCAE；（2 ）求证：CE平面 PAB；（3 ）求三棱锥 PACE 的体积 V【考点】LS：直线与平面平行的判定；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积菁优网版权所有【专题】31 ：数形结合【分析】 （1）取 PC 中点 F，利用等腰三角形的性质可得 PCAF ，先证明 CD平面 PAC，可得 CDPC ，从而 EFPC，故有 PC平面 AEF，进而证得 PCAE（2 ）取 AD 中点 M，利用三角形的中位线证明 EM平面 PAB，利用同位
13、角相等证明 MCAB，得到平面EMC平面 PAB，证得 EC平面 PAB（3 ）由（1 ）知 AC=2，EF= CD，且 EF平面 PAC，求得 EF 的值，代入 V=第 10 页（共 36 页）进行运算【解答】解：（1）在 RtABC 中，AB=1，BAC=60，BC= ，AC=2取 PC 中点 F，连 AF，EF，PA=AC=2，PC AFPA平面 ABCD，CD平面 ABCD，PACD，又ACD=90 ，即 CDAC，CD平面 PAC，CD PC，EFPC，PC平面 AEF，PCAE（2 ）证明：取 AD 中点 M，连 EM，CM则EMPAEM平面 PAB，PA平面 PAB，EM平面 PAB在 Rt ACD 中， CAD=60 ， AC=AM=2，ACM=60而BAC=60，MCABMC平面 PAB，AB平面 PAB，MC 平面 PABEMMC=M，平面 EMC平面 PABEC 平面 EMC，EC 平面 PAB（3 ）由（1 ）知 AC=2，EF= CD，且 EF平面 PAC在 RtACD 中，AC=2 ，CAD=60，CD=2 ，得 EF= 则 V= 【点评】本题考查证明线面平行、线线垂直的方法，取 PC 中点 F，AD 中点 M，利用三角形的中位线的性质是解题的关键
