1、1立体几何常考证明题汇总考点 1：证平行（利用三角形中位线） ，异面直线所成的角已知四边形 是空间四边形， 分别是边 的中点ABCD,EFGH,ABCD（1） 求证：EFGH 是平行四边形（2） 若 BD= ，AC=2，EG=2。求异面直线 AC、BD 所成的角和 EG、BD 所成的角。23考点 2：线面垂直，面面垂直的判定如图，已知空间四边形 中， ， 是 的中点。ABCD,ABDEA求证：（1） 平面 CDE;（2）平面 平面 。 E考点 3：线面平行的判定如图，在正方体 中， 是 的中点，1ABCDE1A求证： 平面1/EA1ED1C1B1DCBAAHGFEDCBAEDB C2考点 4：
2、线面垂直的判定已知 中 , 面 , ,求证： 面 ABC90SABCDSASBC考点 5：线面平行的判定（利用平行四边形） ，线面垂直的判定已知正方体 ， 是底 对角线的交点 .1ABCDOABCD求证：() C1O面 ；(2) 面 11考点 6：线面垂直的判定正方体 中，求证：（1） ；（2） .ABCDACBD平 面 BAC平 面SDCBAD1ODBAC1B1A1C3NMPCBA考点 7：线面平行的判定（利用平行四边形）正方体 ABCDA1B1C1D1 中(1)求证：平面 A1BD平面 B1D1C；(2)若 E、F 分别是 AA1，CC 1 的中点，求证：平面 EB1D1平面 FBD考点
3、8：线面垂直的判定,三角形中位线，构造直角三角形四面体 中， 分别为 的中点， 且 ，ABCD,BEF,ADBC2EFAC，求证： 平面 90考点 9：三垂线定理如图 是 所在平面外一点， 平面 ， 是 的中点， 是 上的点，PABC,PABCPAMNAB3N（1）求证： ；（2）当 ， 时，求 的长。M9024A1AB1BC1CD1DGEF4考点 10：线面平行的判定（利用三角形中位线）如图，在正方体 中， 、 、 分别是 、 、 的中点.求证：平面 平1ABCDEFGABD1C1DEF面 .G考点 11：线面平行的判定（利用三角形中位线） ，面面垂直的判定如图，在正方体 中， 是 的中点.
4、1ABCDE1A（1）求证： 平面 ；1/（2）求证：平面 平面 .考点 12：线面垂直的判定,构造直角三角形已知 是矩形， 平面 ， ， ， 为ABCDPABCD2A4PDE的中点（1） 求证： 平面 ；（2）求直线 与平面 所成的角E5考点 13：线面垂直的判定,构造直角三角形,面面垂直的性质定理，二面角的求法（定义法）如图，在四棱锥 中，底面 是 且边长为 的菱形，侧面 是等边三角形，且PABCDAB06DaPAD平面 垂直于底面 （1）若 为 的中点，求证： 平面 ；GGP（2）求证： ；（3）求二面角 的大小考点 14：线面垂直的判定，运用勾股定理寻求线线垂直如图 1，在正方体 中，
5、 为 的中点，AC 交 BD 于点 O，求证： 平面 MBD1ABCDM1C1A考点 15：线面垂直的判定如图，在三棱锥 BCD 中， BC AC， AD BD，作 BE CD， 为垂足，作 AH BE 于 求证： AH平面BCD6考点 16：线面垂直的判定，三垂线定理证明：在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，A 1C平面 BC1D考点 17：面面垂直的判定（证二面角是直二面角）如图，过 S 引三条长度相等但不共面的线段 SA、SB、SC，且ASB= ASC=60 ，BSC=90，求证：平面ABC平面 BSCD1 C1 A1 B1 D C A B 7参考答案1.证明：在 中， 分别是 的
6、中点ABD,EH,ABD1/,2EHBD同理， 四边形 是平行四边形。1/,2FG/FGFG(2) 90 30 2. 证明：（1） BCAEB同理， DE又 平面CABCDE（2）由（1）有 平面又 平面 ， 平面 平面ABAB3. 证明：连接 交 于 ，连接 ，OE 为 的中点， 为 的中点E1AC 为三角形 的中位线 O1/又 在平面 内， 在平面 外BD1BDE 平面 。1/ACE4. 证明： 90 CA又 面 SS面 BD又 面 ,SCAB5. 证明：（1）连结 ，设 ，连结111ACO1A 是正方体 是平行四边形BA 1C1AC 且 又 分别是 的中点，O 1C1AO 且,O1, 1
7、是平行四边形 1面 ， 面 C 1O面 , 1ABDAB1ABD（2） 面 1!又 ， 11A 面 1即同理可证 ， 又C8面1AC1BD7. 证明：(1)由 B1BDD 1，得四边形 BB1D1D 是平行四边形， B 1D1BD，又 BD 平面 B1D1C，B 1D1 平面 B1D1C，BD平面 B1D1C同理 A1D平面 B1D1C而 A1DBDD，平面 A1BD平面 B1CD(2)由 BDB 1D1，得 BD平面 EB1D1取 BB1 中点 G，AEB 1G从而得 B1EAG ，同理 GFADAGDF B 1EDFDF平面 EB1D1平面 EB1D1平面FBD8. 证明：取 的中点 ，连
8、结 ， 分别为 的中点，CG,EF,ADCE2/AC，又 ，在 中，12/FGBD,A12ACEG21FF ， ，又 ，即 ，E90B 平面9. 证明：（1）取 的中点 ，连结 ， 是 的中点，PQ,MNPB ， 平面 ， 平面 /MQCA 是 在平面 内的射影 ，取 的中点 ，连结 ， ，又NAD,PABDA， 来源:学科网3ABND ， ，由三垂线定理得/（2） ， ， ， 平面 . ，且90P,PB121QNMQN，1QC210. 证明： 、 分别是 、 的中点， EFADEFBD又 平面 ， 平面 平面BDGG 四边形 为平行四边形， 11 1又 平面 ， 平面 平面 , ， 平面 平
9、面BG1E1DEFBG11. 证明：（1）设 ，ACO 、 分别是 、 的中点， EO11ACE又 平面 ， 平面 ， 平面1BDEBD（2） 平面 ， 平面 ，AC1又 ， ， 平面 ， 平面 ， 平面 平面1ABDACEBD1AC12. 证明：在 中， ，E22E 平面 ， 平面 ， 又 ， 平面PBPAPE9（2） 为 与平面 所成的角DPEPAE在 ， ，在 中，RtA42RtDC2E在 中， ， 0313. 证明：（1） 为等边三角形且 为 的中点，BGBGAD又平面 平面 ， 平面（2） 是等边三角形且 为 的中点，PDAP且 ， ， 平面 ，AGD平面 ，BP（3）由 ， ，BC
10、B又 ， ，为二面角 的平面角CA在 中， ，RtP045G14. 证明：连结 MO， ， DB ，DB AC， ， 1M11ACDB平面 ，而 平面 DB 1AOCO设正方体棱长为 ，则 ， a213a234a在 Rt 中， ， 1C94211AM1AOM DB=O， 平面 MBD1A15. 证明：取 AB 的中点 ，连结 CF， DF ， BFB ， D又 ， 平面 CDFCA 平面 CDF， C又 ， ， BEB 平面 ABE， DH ， ， ，AHDE 平面 BCD16. 证明：连结 AC AC 为 A1C 在平面 AC 上的射影B DACBD111同 理 可 证 平 面17 证明SB=SA=SC ，ASB= ASC=60AB=SA=AC 取 BC 的中点 O，连 AO、SO，则AOBC，SOBC ，AOS 为二面角的平面角，设 SA=SB=SC=a，又BSC=90，BC= 2a，SO= a，10AO2=AC2OC 2=a21a2= a2，SA 2=AO2+OS2，AOS=90，从而平面 ABC平面 BSC
