1、1PEDCBA高中立体几何证明垂直的专题训练深圳龙岗区东升学校 罗虎胜立体几何中证明线面垂直或面面垂直都可转化为线线垂直，而证明线线垂直一般有以下的一些方法：（1） 通过“平移” 。（2） 利用等腰三角形底边上的中线的性质。（3） 利用勾股定理。（4） 利用三角形全等或三角行相似。(5) 利用直径所对的圆周角是直角，等等。(1) 通过“平移”,根据若平 面则平 面且 aba,/1在四棱锥 P-ABCD 中，PBC 为正三角形，AB平面PBC，ABCD，AB= DC， .求证：AE平面 PDC.21中 点为 PDE分析：取 PC 的中点 F，易证 AE/BF，易证BF平面 PDC2如图，四棱锥
2、PABCD 的底面是正方形，PA底面ABCD，PDA=45，点 E 为棱 AB 的中点求证：平面 PCE平面 PCD；分析：取 PC 的中点 G，易证 EG/AF，又易证 AF平面 PDC于是 EG平面 PCD,则平面 PCE平面 PCD EFBACDP（第 2 题图）23、如图所示，在四棱锥 中， , ,PABCDPAD平 面 /BC, 是 的中点， 是 上的点，且 , 为 中PDAEBF12FH边上的高。（1）证明： ；H平 面（2）若 求三棱锥 的体积；121PAFC， ， ， EBCF（3）证明： .EB平 面分析：要证 ，只要把 FE 平平 面移到 DG，也即是取 AP 的中点 G，
3、易证EF/GD, 易证 DG平面 PAB4.如图所示, 四棱锥 P ABCD 底面是直角梯形底面 ABCD, ,2,BADCABE 为 PC 的中点, PA AD。证明: ;平 面分析：取 PD 的中点 F，易证 AF/BE, 易证 AF平面 PDC（2）利用等腰三角形底边上的中线的性质5、在三棱锥 PABC中， 2， 90CB， APB，C（）求证： ；（）求二面角 的大小；ACBP36、如图，在三棱锥 PABC中， P是等边三角形，PAC=PBC=90 证明：ABPC因为 AB是等边三角形， 90,所以 Rtt,可得 。如图，取 中点 D，连结 P,C,则 P,C,所以 AB平面 ,所以
4、。 （3）利用勾股定理7、如图，四棱锥 的底面是边长为 1 的正方形， PABCD ,1,2.PACDP求证: 平面 ；8、如图 1，在直角梯形 中， ， ，ABCD/ADB且 12AB现以 为一边向形外作正方形 ，然后沿边 将正方形 翻折，使平面DEFEF与平面 垂直， 为 的中点，如图 2EFM（1）求证： 平面 ；BC（2）求证： 平面 ；D_D_C_B _A_P MAF B CDE4CADBOE9、如图，四面体 ABCD 中，O、E 分别是BD、BC 的中点，2,2.CABDABD（1）求证： 平面 BCD；O（2）求异面直线 AB 与 CD 所成角的大小；（1）证明：连结 OC,.B
5、CB在 中，由已知可得AO1,3.AOC而 2,即2,90,o.平面DD10、如图，四棱锥 SB中， , B，侧面 SAB为等边三角形，2,1ABC（）证明： A平 面 ;（）求 与平面 SB所成角的大小解法一：（I）取 AB 中点 E，连结 DE，则四边形 BCDE 为矩形，DE=CB=2，连结 SE，则 ,3.SEAB又 SD=1，故 22D，所以 SE为直角。由 ,ABSE，得 平面 SDE，所以 ABD。SD 与两条相交直线 AB、SE 都垂直。MED CBAF5所以 SD平面 SAB。（4）利用三角形全等或三角行相似11正方体 ABCDA1B1C1D1中 O 为正方形 ABCD 的中
6、心，M 为 BB1 的中点，求证：D 1O平面 MAC.分析：法一：取 AB 的中点 E，连 A1E,OE,易证ABM A1AE,于是 AMA 1E,又OE平面 ABB1A1OEAM,AM平面 OEA1D1AMD 1O法二：连 OM,易证D 1DOOBM, 于是 D1OOM12如图，正三棱柱 ABCA1B1C1 的所有棱长都为 2，D 为 CC1 中点. 求证：AB 1平面 A1BD；分析： 取 BC 的中点 E，连 AE,B1E,易证DCBEBB1， 从而 BDEB113、.如图，已知正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，过点 B 作 B1C 的垂线交侧棱 CC1 于点 E，交 B1C 于
7、点 F，求证：A 1C平面 BDE；6（5）利用直径所对的圆周角是直角14、如图，AB 是圆 O 的直径， C 是圆周上一点， PA平面 ABC.（1）求证：平面 PAC平面 PBC；（2）若 D 也是圆周上一点，且与 C 分居直径 AB 的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面. OA C BPD.15、如图，在圆锥 P中，已知 = 2，O 的直径 2AB,C 是狐 AB 的中点，为 AC的中点证明：平面 D平面 PC;16、如图，在四棱锥 PABCD中，底面 AB是矩形， PA平面 BCD以 的中点 O为球心、 为直径的球面交 于点 M求证：平面 M平面 ；证：依题设，在以为直径的球面上，则.因为平面，则，又，所以平面，则，因此有平面OAPB CMD7，所以平面平面.
