1、（一）平行与垂直关系的论证由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系，在应用中：低一级位置关系判定高一级位置关系；高一级位置关系推出低一级位置关系，前者是判定定理，后者是性质定理。1. 线线、线面、面面平行关系的转化： 线 线 线 面 面 面 公 理 4 (a/b,/c ) 线 面 平 行 判 定 /,/aba 面 面 平 行 判 定 1 ab/,/ 面 面 平 行 性 质 abA,/,/线 面 平 行 性 质 aba/面 面 平 行 性 质 1 /a 面 面 平 行 性 质 / A b a a b 2. 线线、线面、面面垂直关系的转化： 线 线 线 面 面 面 三 垂 线 定 理 、 逆 定
2、 理 PAOaPOA,为在 内 射 影则 线 面 垂 直 判 定 1 面 面 垂 直 判 定 abOl, a 线 面 垂 直 定 义 lal 面 面 垂 直 性 质 ， 推 论 2 baa, a面 面 垂 直 定 义 ll， 且 二 面 角成 直 二 面 角3. 平行与垂直关系的转化： 线 线 线 面 面 面 线 面 垂 直 判 定 2 面 面 平 行 判 定 2 线 面 垂 直 性 质 2 面 面 平 行 性 质 3 ab/ abb/ a/ /a a 4. 应用以上“转化”的基本思路“由求证想判定，由已知想性质。 ”5. 唯一性结论：1. 三类角的定义：（1）异面直线所成的角 ：090（2）
3、直线与平面所成的角：090（3）二面角：二面角的平面角 ，01802. 三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算”即：（1）找出或作出有关的角；（2）证明其符合定义；（3）指出所求作的角； （4）计算大小。【典型例题】（一）与角有关的问题例 1. （1）如图， E、F 分别为三棱锥 PABC 的棱 AP、BC 的中点，PC 10，AB6，EF7，则异面直线 AB 与 PC 所成的角为（ ）A. 60 B. 45 C. 30 D. 120解：取 AC 中点 G，连结 EG、FG，则EPCFAB ，1212EGF 为 AB 与 PC 所成的角在EGF 中，由余弦定理，cos GEFG22253
4、71AB 与 PC 所成的角为 18012060选 A（2）已知正四棱锥以棱长为 1 的正方体的某个面为底面，且与该正方体有相同的全面积，则这一正四棱锥的侧棱与底面所成的角的余弦值为（ ）ABCD.1336326解：设 正 四 棱 锥 的 高 为 ， 斜 高 为hh221由 题 意 ： 12412622 h6 侧 棱 长 PBhO2266 cos2613选 A（ ） 如 图 ， 在 正 方 体 中 ， 为 上 的 一 个 定 点 ， 为3111ABCDPADQBEFEF1上 的 任 意 一 点 ， 、 为 上 任 意 两 点 ， 且 的 长 为 定 值 ， 有 下 列 命 题 ：点 P 到平面
5、 QEF 的距离为定值；直线 PQ 与平面 PEF 所成的角为定值；二面角 PEFQ 的大小为定值；三棱锥 PQEF 的体积为定值其中正确命题的序号是_。解： 平 面 即 是 平 面QEFABCD1 上 定 点 到 面 的 距 离 为 定 值ADP1对，错二 面 角 ， 即 面 与 面 所 成 的 角 ， 且 平 面 角 为 定EFFPDA1 1值，对 因 为 ， 且 为 定 值 ， 为 定 值ABDCSQEF1 又 点 到 平 面 的 距 离 为 定 值 ， 为 定 值 ， 对PQFVP综上，正确。例 2. 图是一个正方体的表面展开图， MN 和 PQ 是两条面对角线，请在图（2）的正方体中
6、将MN，PQ 画出来，并就这个正方体解答下列各题：（1）求 MN 和 PQ 所成角的大小；（2）求四面体 MNPQ 的体积与正方体的体积之比；（3）求二面角 MNQP 的大小。解：（1）如图，作出 MN、PQPQNC，又MNC 为正三角形MNC60PQ 与 MN 成角为 60（ ） 213VSMQMNPQPNP6261正 方 体 PDN即四面体 MNPQ 的体积与正方体的体积之比为 1：6（3）连结 MA 交 PQ 于 O 点，则 MOPQ又 NP面 PAQM，NPMO，则 MO面 PNQ过 O 作 OENQ，连结 ME，则 MENQMEO 为二面角 MNQP 的平面角在 RtNMQ 中，ME
7、NQMN MQ设正方体的棱长为 aEOa2362， 又在 中 ， RtMOEMasin263MEO60即二面角 MNQP 的大小为 60。例 3. 如图，已知四棱锥 PABCD，PBAD，侧面 PAD 为边长等于 2 的正三角形，底面 ABCD 为菱形，侧面 PAD 与底面 ABCD 所成的二面角为 120。（1）求点 P 到平面 ABCD 的距离；（2）求面 APB 与面 CPB 所成二面角的大小。解：（1）作 PO平面 ABCD，垂足为 O，连结 OB、OA 、OD ，OB 与 AD 交于点 E，连结 PEADPB，ADOB（根据_）PAPD，OAOD于是 OB 平分 AD，点 E 为 A
8、D 中点PEADPEB 为面 PAD 与面 ABCD 所成二面角的平面角PEB120，PEO60又 ， PEOPEo36032sin即为 P 点到面 ABCD 的距离。（2）由已知 ABCD 为菱形，及PAD 为边长为 2 的正三角形PAAB2，又易证 PBBC故取 PB 中点 G，PC 中点 F则 AGPB，GFBC又 BCPB，GF PBAGF 为面 APB 与面 CPB 所成的平面角GFBCAD，AGFGAE连结 GE，易证 AE平面 POB又 ， 为 中 点PEBGP3 o1260 ocs312在 中 ，RtAGED12 tan3 Ercta2 AGFrtn3所 以 所 求 二 面 角
9、 的 大 小 为 arctn32（2）解法 2：如图建立直角坐标系，其中 O 为坐标原点，x 轴平行于 DAPB（ ， ， ） ， （ ， ， ）030BGAG的 中 点 的 坐 标 为 （ ， ， ） ， 连 结34又 （ ， ， ） ， （ ， ， ）AC132020由 此 得 到 （ ， ， ） ， （ ， ， ） ，GPB3432BC（ ， ， ）20于 是 ，APBCP0 ， G 、 的 夹 角 为 所 求 二 面 角 的 平 面 角于 是 cos|ABC27 所 求 二 面 角 大 小 为 arcos7（二）与距离有关的问题例 4. （1）已知在ABC 中，AB 9，AC15，BA
10、C120，它所在平面外一点 P 到ABC 三个顶点的距离都是 14，那么点 P 到平面 ABC 的距离是（ ）A. 13 B. 11 C. 9 D. 7解：设点 P 在ABC 所在平面上的射影为 O A B C O R PAPBPC，O 为 ABC 的外心ABC 中，AB 9，AC 15，BAC 120 BCo1521202cs由 ， aARsin37 PO14722（ ） 在 直 三 棱 柱 中 ， ， ， 21 1ABCABCBAC90EFo， 、 分 别 为 、 的 中 点 ， 沿 棱 柱 的 表 面 从 到 两 点 的 最 短 路 径 的EF1长度为_。解：（采用展开图的方法）将 平
11、面 沿 旋 转 使 两 矩 形 与 在 同 一 平 面 内BCABC1111连 接 ， 则 为 所 求 的 最 短 路 径EF如 图 ， EFAF121223如 图 展 开 ， ()7222如 图 展 开 ， EF31322比 较 这 三 种 方 式 展 开 ， 可 见 沿 表 面 从 到 的 最 短 路 径 长 度 为 。EF32点评：此类试题，求沿表面运动最短路径，应展开表面为同一平面内，则线段最短。但必须注意的是，应比较其各种不同展开形式中的不同的路径，取其最小的一个。（3）在北纬 45圈上有甲、乙两地，它们的经度分别是东经 140与西经 130，设地球半径为R，则甲、乙两地的球面距离是
12、（ ）ARBCRD.12143213解： 由 题 意 Oooo160409（O 1 为小圆圆心）又 由 题 意 BR12则 中 ，AAOB 为正三角形（O 为球心） AOB3 、 两 点 球 面 距 离 为 R3选 D例 5. 如图，四棱锥 PABCD，底面 ABCD 是矩形，PA 平面 ABCD，E 、F 分别是 AB、PD 中点。（1）求证：AF平面 PEC；（ ） 若 ， ， 二 面 角 为 ， 求 点 到 平 面2ACPCDBPCo245距离。解：G 为 PC 中点，连结 FG、EG又F 为 PD 中点 ， 又 CDAE1212 四边形 AEGF 为平行四边形 ， 又 面 ， 面FGPFPECAF平面 PEC（2）CDAD，又 PA面 ABCDAD 为 PD 在面 ABCD 上射影CDPDPDA 为二面角 PCDB 的平面角，且PDA 45则PAD 为等腰直角三角形AFPD，又 CD平面 PADCDAFAF面 PCD作 FHPC 于 H，则 AFFH又 EGAF，EGFHFH面 PEC，FH 为 F 到面 PEC 的距离在 RtPEG 中，FHPGPFFG F212方法 2：（体积法）
