1、初 一 奥 数 竞 赛 第 2讲 绝 对 值例 1 a， b 为 实 数 ， 下 列 各 式 对 吗 ？ 若 不 对 ， 应 附 加 什 么 条 件 ？(1) a+b = a + b ；(2) ab = a b ； (3) a-b = b-a ；(4)若 a =b， 则 a=b；(5)若 a b ， 则 a b；(6)若 a b， 则 a b 例 2 设 有 理 数 a， b， c 在 数 轴 上 的 对 应 点 如 图 1-1 所 示 ， 化 简 b-a + a+c + c-b 例 3 已 知 x -3， 化 简 ： 3+ 2- 1+x 例 5 若 x =3， y =2， 且 x-y =y-
2、x， 求 x+y 的 值 例 6 若 a， b， c 为 整 数 ， 且 a-b 19+ c-a 99=1， 试 计 算 c-a + a-b + b-c 的 值 例 8 化 简 ： 3x+1 + 2x-1 例 9 已 知 y= 2x+6 + x-1 -4 x+1 ， 求 y 的 最 大 值 例 10 设 a b c d， 求 x-a + x-b + x-c + x-d 的 最 小 值 例 11 若 2x+ 4-5x + 1-3x +4 的 值 恒 为 常 数 ， 求 x 该 满 足 的 条 件 及 此 常 数 的 值 练 习 二1 x 是 什 么 实 数 时 ， 下 列 等 式 成 立 ：(1
3、) (x-2)+(x-4) = x-2 + x-4 ； ( 2) (7x+6)(3x-5) =(7x+6)(3x-5)2 化 简 下 列 各 式 ： (2) x+5 + x-7 + x+10 3 若 a b 0， 化 简 a+b-1 - 3-a-b 4 已 知 y= x+3 + x-2 - 3x-9 ， 求 y 的 最 大 值 5 设 T= x-p + x-15 + x-p-15 ， 其 中 0 p 15， 对 于 满 足 p x 15 的 x 来 说 ， 求 T 的 最 小 值6 已 知 a b， 求 x-a + x-b 的 最 小 值 7 不 相 等 的 有 理 数 a， b， c 在 数
4、 轴 上 的 对 应 点 分 别 为A， B， C， 如 果 a-b + b-c = a-c ， 那 么 B点 应 为 ( )(1)在 A， C 点 的 右 边 ； (2)在 A， C 点 的 左 边 ； (3)在 A， C 点 之 间 ； (4)以 上 三 种 情 况 都 有 可 能答 案 解 析 ：例 1 解 (1)不 对 当 a， b 同 号 或 其 中 一 个 为 0 时 成 立 ( 2)对 (3)对 (4)不 对 当 a 0 时 成 立 (5)不 对 当 b 0 时 成 立 6)不 对 当 a b 0 时 成 立 例 2 解 由 图 1-1 可 知 ， a 0， b 0， c 0，
5、且 有 c a b 0 根 据 有 理 数 加 减 运 算 的 符 号 法则 ， 有 b-a 0， a c 0， c-b 0再 根 据 绝 对 值 的 概 念 ， 得 b-a =a-b， a+c =-(a+c)， c-b =b-c于是有 原式=(a-b)-(a+c)+(b-c)=a-b-a-c+b-c=-2c例 3 分 析 这 是 一 个 含 有 多 层 绝 对 值 符 号 的 问 题 ， 可 从 里 往 外 一 层 一 层 地 去 绝 对 值 符 号 解 原 式 = 3+ 2+(1+x) (因 为 1+x 0)= 3+ 3+x = 3-(3+x) (因 为 3+x 0)= -x =-x例 4
6、 解 因 为 abc 0， 所 以 a 0， b 0， c 0(1)当 a， b， c 均 大 于 零 时 ， 原 式 =3；(2)当 a， b， c 均 小 于 零 时 ， 原 式 =-3；(3)当 a， b， c 中 有 两 个 大 于 零 ， 一 个 小 于 零 时 ， 原 式=1；(4)当 a， b， c 中 有 两 个 小 于 零 ， 一 个 大 于 零 时 ， 原 式=-1说 明 本 例 的 解 法 是 采 取 把 a， b， c 中 大 于 零 与 小 于 零 的 个 数 分 情 况 加 以 解 决 的 ， 这 种 解 法 叫 作 分类 讨 论 法 ， 它 在 解 决 绝 对 值
7、 问 题 时 很 常 用 例 5 解 因 为 x-y 0， 所 以 y-x 0， y x 由 x =3， y =2 可 知 ， x 0， 即 x=-3(1)当 y=2 时 ， x+y=-1；(2)当 y=-2 时 ， x+y=-5所 以 x+y 的 值 为 -1 或 -5例 6 解 a， b， c 均 为 整 数 ， 则 a-b， c-a 也 应 为 整 数 ， 且 a-b 19， c-a 99为 两 个 非 负 整 数 ， 和 为 1， 所 以只 能 是 a-b 19=0 且 c-a 99=1， 或 a-b 19=1 且 c-a 99=0 由 有 a=b 且 c=a1， 于 是 b-c =
8、c-a =1； 由 有 c=a 且 a=b1， 于 是 b-c = a-b =1 无论 或 都 有 b-c =1 且 a-b + c-a =1，所 以 c-a + a-b + b-c =2例 7 解 依 相 反 数 的 意 义 有 x-y+3 =- x+y-1999 因 为 任 何 一 个 实 数 的 绝 对 值 是 非 负 数 ， 所 以 必 有 x-y+3 =0 且 x+y-1999 =0 即由 有 x-y=-3， 由 有 x+y=1999 - 得 2y=2002， y=1001，所 以 例 8 分 析 本 题 是 两 个 绝 对 值 和 的 问 题 解 题 的 关 键 是 如 何 同 时
9、 去 掉 两 个 绝 对 值 符 号 若 分 别 去 掉 每个 绝 对 值 符 号 ， 则 是 很 容 易 的 事 例 如 ， 化 简 3x+1 ， 只 要 考 虑 3x+1 的 正 负 ， 即 可 去 掉 绝 对 值 符 号 这里 我 们为 三 个 部 分 (如 图 1 2 所 示 )， 即这 样 我 们 就 可 以 分 类 讨 论 化 简 了 原 式 =-(3x+1)-(2x-1)=5x；原 式 =(3x+1)-(2x-1)=x+2；原 式 =(3x+1)+(2x-1)=5x即说 明 解 这 类 题 目 ， 可 先 求 出 使 各 个 绝 对 值 等 于 零 的 变 数 字 母 的 值 ，
10、 即 先 求 出 各 个 分 界 点 ， 然 后 在 数轴 上 标 出 这 些 分 界 点 ， 这 样 就 将 数 轴 分 成 几 个 部 分 ， 根 据 变 数 字 母 的 这 些 取 值 范 围 分 类 讨 论 化 简 ，这 种 方 法 又 称 为 “零 点 分 段 法 ”例 9 分 析 首 先 用 “零 点 分 段 法 ”将 y 化 简 ， 然 后 在 各 个 取 值 范 围 内 求 出y 的 最 大 值 ， 再 加 以 比 较 ，选 出 最 大者 解 有 三 个 分 界 点 ： -3， 1， -1 (1)当 x -3 时 ， y=-(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=x-1，由 于
11、 x -3， 所 以 y=x-1 -4， y 的 最 大 值 是 -4(2)当 -3 x -1 时 ， y=(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=5x+11，由 于 -3 x -1， 所 以 -4 5x+11 6， y 的 最 大 值 是 6(3)当 -1 x 1 时 ， y=(2x+6)-(x-1)-4(x+1)=-3x+3，由 于 -1 x 1， 所 以 0 -3x+3 6， y 的 最 大 值 是 6(4)当 x 1 时 ， y =(2x+6)+(x-1)-4(x+1)=-x+1，由 于 x 1， 所 以 1-x 0， y 的 最 大 值 是 0综 上 可 知 ， 当 x=-1 时 ，
12、 y 取 得 最 大 值 为 6例 10 分 析 本 题 也 可 用 “零 点 分 段 法 ”讨 论 计 算 ， 但 比 较 麻 烦 若 能 利 用 x-a ， x-b ， x-c ， x-d的 几 何 意 义 来 解 题 ， 将 显 得 更 加 简 捷 便 利 解 设 a， b， c， d， x 在 数 轴 上 的 对 应 点 分 别 为A， B， C， D， X， 则 x-a 表 示 线 段 AX 之 长 ， 同 理 ， x-b ， x-c ， x-d 分 别 表 示 线 段 BX， CX， DX 之 长 现 要 求 x-a ， x-b ， x-c ， x-d 之和 的 值 最 小 ， 就
13、 是 要 在 数 轴 上 找 一 点X， 使 该 点 到 A， B， C， D 四 点 距 离 之 和 最 小 因 为 a b c d， 所 以 A， B， C， D 的 排 列 应 如 图 1 3 所 示 ：所 以 当 X 在 B， C 之 间 时 ， 距 离 和 最 小 ， 这 个 最 小 值 为AD+BC， 即 (d-a)+(c-b)例 11 分 析 与 解 要 使 原 式 对 任 何 数 x 恒 为 常 数 ， 则 去 掉 绝 对 值 符 号 ， 化 简 合 并 时 ， 必 须 使 含x 的 项 相 加 为 零 ，即 x 的 系 数 之 和 为 零 故 本 题 只 有2x-5x+3x=0 一 种 情 况 因 此 必 须 有 4-5x =4-5x 且 1-3x =3x-1故 x 应 满 足 的 条 件 是此时 原式=2x+(4-5x)-(1-3x)+4=7
