1、 - 1 -2013-2014（2） 概率论与数理统计练习题一、 填空题1.以 A、B、C 的运算及关系来表示事件 ABC、 、 都 不 发 生 =ABC；2.设事件 A,B 为两随机事件，且 则,61)|(,31)|(,21)( APP_1/3_。)(BAP3.设事件 A,B 相互独立，A,C 互不相容，且 (),A=(),(),4BC=则概率 .（提示：1(),8C=()PAB614|PAB-4. 三人独立的破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为 1/5、1/4、1/3，此密码能被译出的概率是=_0.6_. 5设随机变量 服从 上的均匀分布，方程 有实根的概率5,0 0242x=_3/5
2、_6. 设随机变量 服从泊松分布，且 ，则 X)()1(XP)4(23e。7.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 其 它 10,6),(yxyxf则 _1/4_.)1(YP8.随机变量 与 相互独立，且均服从区间0,3上的均匀分布，则 X )1,(maxYXP。99. 在区间（ 0，1）中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于 的概率为 243。10. 掷硬币 次，正面出现次数的数学期望为 n/2 .n11. 某型号螺丝钉的重量是相互独立同分布的随机变量，其期望是 1 两，标准差是 0.1 两.则 100 个该型号螺丝钉重量不超过 10.2 斤的概率近似为（答案用标准正态分布函数表示）.
3、)2(- 2 -12. 设 ， ，则 = 1 .()3DX1Y,|XY13.设随机变量 和 的相关系数为 0.5， ，则2,02EYXE_6_。2)(E14.设随机变量 X 的方差为 2，则根据切比雪夫不等式有估计_ _)(P115. 设 为来自二项分布总体 的样本， 分别为样本均值12,m (,)Bnp2,XS和样本方差，记统计量 ，则 _ _.2TXSET3二 、选择题1.袋中有 3 个白球 2 个红球，从中无放回地取 3 次，每次取 1 个球，则恰有两次取得白球的概率为（ C ）A B 5 325C D 2135 135C2.设 A 和 B 任意两个概率不为零的不相容事件，则下列结论中肯
4、定正确的是（ D ）A B ()()PA与 相 容C D PB()(P3. 对于任意二事件 和 ，则( B )A若 ,则 一定独立； B. 若 ,则 有可能独立；B、 、C. 若 ,则 一定独立； D. 若 ,则 一定不独立A、 AB、4. 某仓库有同样规格的产品 8 箱，甲，乙，丙 3 个厂各生产 3 箱，2 箱和 3 箱。甲，乙，丙 3 个厂的次品率分别为 。现从 8 箱中任取 1 箱，再从取得的 1 箱中任取1,5021 件，则取得次品的概率是（ C ）A B C D 0366055. 某人向同一目标独立重复射击，每次击中目标的概率为 ，则此人第 4 次射(1)p击恰好是第 2 次命中目
5、标的概率为（ C ）（A） （B） (C) （D ）3(1)p26(1)p23(1)26()p6. 设随机变量 的密度函数为 ，设 表示对 的 3 次独立观察中X其 它0,xxf YX- 3 -事件 出现的次数，则 ( A )。21X)2YPA. B. C. D. 649167643417.随机变量 的概率密度为 ，若 ，则其 它 ,0,)(8,59223xxf 32aP( C ).a. . . . A24B45C56D678. 设 是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为21,X分布函数分别为 ，则 ( D )(,21xf ),(21xFA. 必为某一随机变量的概率密度；fB
6、. 必为某一随机变量的概率密度； )(21xfC. 必为某一随机变量的分布函数； FD. 必为某一随机变量的分布函数。)(21x9已知二维随机变量 在三角形区域 上服从均匀分 ,xyx0,1布, 则其条件概率密度函数 是 ( D ).)|(yxf. 时 , A10y他 ,01| xf. 时 , By他 ,011)|(| xyxf. 时 , C10y他 ,)|(| xyxf- 4 -. 时 , D10y他 ,011)|(| xyyxf10. 设 ( C ).),exp(XDPX他A. 2 B. C. D. 1e1e11. 已知 ，则随着 的减小， 将（ D ）2(,)N(|)PA. 单调减小 B
7、. 单调增加 C. 无法判断 D. 保持不变12. 设随机变量 相互独立，且均服从区间 上的均匀分布,，则XY与 03( B )max,1PXYA. B. C. D. 959749413. 设二维随机变量（X，Y）的概率分布为YX 0 10 0.4 a1 b 0.1则 =（ B ）.(1)PXY. . . . A2090C50D6014. 设随机变量 X 和 Y 都服从标准正态分布，则（ C ）(A) X+Y 服从正态分布. (B) X2+Y2 服从 2 分布.(C) X2 和 Y2 都服从 2 分布. (C) X2/Y2 服从 F 分布.15. 设随机变量 ，求 的分布.则（ C ）)1(n
8、t(A) (B) .2他 .12他n(C) YF (n，1) (D) YF(1，n)16. 设 为来自总体 X 的样本，且 ，下列关于总体均值12,)X 2(,()EDX的估计中，其中最有效的是：( C )1212121233.375ABC17.设一批零件的长度服从正态分布 ，现从中随机抽取 16 个零件，测样本均值为),(2N- 5 -，样本标准差 ，则 的置信度为 0.90 的置信区间是（ C ）)(20cmx)(1cms(A) (B) 6420),6(415.5.0tt )16(420),16(420. tt(C) (D) )1(),(205.05. tt )5(),5(1.01.0tt
9、三、计算应用题1. 袋中有 50 个乒乓球，其中 20 个是黄球，30 个是白球，今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是多少？ 解：设 为第 1 人取得黄球， 为第 2 人取得黄球， AA则由全概率公式，有2121121()(|)(|)PP0930542. 已知男子有 5%是色盲患者，女子有 0.25%是色盲患者，今从男女人数相等的人群中随机挑选一个人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？ 解： 设 A 表示事件“抽到一个男性” ；B 表示事件“抽到一名女性” ；C 表示事件“抽到一名色盲者” ， 由全概率公式得到：1()()(5%0.2.625%PCA
10、PC12.A由贝叶斯公式得()20()1PC=3. 随机变量 与 相互独立 , 服从参数为 2 的指数分布 , 服从 上的XYXY3,1均匀分布 . 求 (1) 的联合密度函数 ； (2) 概率值 . , XP解: , 0 ,2)(xefX其 它 ,0312)(xyfY- 6 -其 它 ,03,1),( ),(2, yxeyxfYXDPP)(3. 23201(,)xDfxydedy224031()xede4. 设 的联合概率密度为),(YX其 它,1),(2yxf（1）分别求出 的边缘概率密度；（2） 是否相互独立，为什么？ , YX解：(1) ()(,)Xfxfxyd2013|,01xyx(
11、)(,)Yfyfd12yx3134|(),01yy(2)因为 ),(fxfYX所以 不相互独立 Y5.设随机变量 X 的概率密度为 ，求随机变量 的概率密度。0,)(xefX XeY先由分布函数法求出 Y 的分布函数，再求导可得到 )(yfY由于 1y0xex时 ，当 时，1()()YFyPy(ln)(ln)X XePyFy则 ()()YYfy- 7 -21(ln)(ln)XyXFfyy综上 。 1,0)(2yfY6. 在国际市场上，每年对我国某种出口商品的需求量为随机变量 （单位： ） ，它在Xt上服从均匀分布。若每售出 ，可得外汇 3 万元。如果销售不出而积压，则2,4 1t需要浪费保养费
12、 1 万元/t，问应组织多少货源，才能使得平均收益最大？解： ，则 设随机变量 表示平均收0,XU:,2040,().xfx其 它 Y益，货源为 s 吨，由题意 ，3(),40sXsY4020211(4)s sEYxdxdxs7.某型号电子管寿命 X（以小时计）近似地服从 分布，随机的选取四只，求其2(160,)中没有一只寿命小于 180 小时的概率（答案用标准正态分布函数表示）.解：设 为四只电子管寿命小于 180 小时的只数， ，其中Y 4,YBp1608180(1)2PP444()()()C8. 设二维随机变量 服从区域 上的均匀分布。,YX,0),(xyyxD求随机变量 的概率密度函数
13、；（1） 求条件概率密度函数 ；)(xyfXY（2） 求随机变量 的概率密度函数。Z9. 设总体的概率分布为X 0 1 2 3P 2 2(1 ) 2 1 2- 8 -其中 是未知参数，利用总体 X 的如下样本值 3，1，3，0，3，1，2，3，求210的矩估计值和最大似然估计值解：（1） 4)(2)1()(2 XE令 ，即 ，解得 ，4343X计算得 ，28/)101(x代入得 ，故 的矩估计值为 。424（2）似然函数为 210,)21()()()( 46422 L取对数 ,1lnlln6lln整理得,0218)(d 0342解得 （由于 ，故 舍去） ，23717故 的最大似然估计值为 。
14、123710.设总体 X 的分布函数为 ,0;().xeF其中参数 为未知参数. 为来自总体 X 的容量为 n 的样本, 其观测值012,nX为 12,nx(1)求参数 的矩估计量；(2)求参数 的最大似然估计量. 解：随机变量 X 的概率密度函数为,0;().xef（1）由于 X 只有一个未知参数，故总体 X 的一阶原点矩，即01()xEed- 9 -用样本一阶原点矩 代替 E(X),有 , 1niiV1niiX故参数 的矩估计量为 . （2）似然函数为 11()(0,2,)niinxxiLein取对数，得1ln()lnix上式关于 求导，1l()0nidLx解得故 的最大似然估计量为11.
15、 设总体 服从指数分布 ，其中 ，抽取样本X)exp(0,21nX证明：（1）虽然样本均值 是 的无偏估计量，但 却不是 的无偏估计量；2X（2）统计量 是 的无偏估计量。21n证明：（1）首先证明 是 的无偏估计量，即证明X.)(E事实上， nXnEniiinii 11)()1 DXDniiinii 2212121)()() 1nixX- 10 -由 知,)()()22XEXD 22)()(XED2222 11)()( n不是 的无偏估计量。2X（2） 2221)(1)( nXEnE是 的无偏估计量。1n12. 自某种铜溶液测得 9 个铜含量的百分比的观测值，算得样本均值为 8.3，标准差为0.025。设样本来自正态总体 ， 未知。试依据这一样本取显著性水平2(,)N2,检验假设 ，并给出检验过程。0.501:8.4:8.4H（其中可供参考数据 0.50.256,96,zz）0.50.250.50.25(9)1.83,(9),()().30tttt解：由于 未知，检验 ，应使用双侧 t 检验法。 84检验假设 01:.4:.2H在显著性水平 下，当 为真时，选择检验统计量50H(1)/XttnS临界值 ，故拒绝域为0.25(8).360t， 0.25|./XttSn由题知 ，算出检验统计量的观测值09,8.3,.,8.42s|.42|1.605/t所以拒绝 。 0:8.H
