1、新东方在线 2013 高考-倒计时冲刺 命题趋势 志愿填报 招生简章 模拟考试- 1 -2013年石景山区高三统一测试数学（理科）一、选择题共 8小题，每小题 5分，共 40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1设集合 , ，则 等于（ ）2|4Mx2|log1NxNMA B C D2,+， +，2若复数 在复平面内对应的点在 轴负半轴上，则实数 的值是（ ）2(-)ai yaA B C D123将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为 m，第二次出现的点数为 n向量 =(m,n), =(3,6)，则向量 与 共线的概率为（ ）pqpqA B CD1341624
2、执行右面的框图，输出的结果 的值为（ ）sA B CD235如图，直线 AM与圆相切于点 M，ABC 与 ADE是圆的两条割线，且 ,连接BDAMD、EC. 则下面结论中，错误的结论是（ ） 新东方在线 2013 高考-倒计时冲刺 命题趋势 志愿填报 招生简章 模拟考试- 2 -A. B. 90ECCEMDABC. D.2MD 6在 的二项展开式中， 的系数为（ ）251()xxA B C D0407对于直线 与抛物线 ， 是直线 与抛物线 有唯一交点:(1)lykx2:4yx1klC的（ ）条件A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要8若直角坐标平面内的两
3、点 P、Q 满足条件：P、Q 都在函数 的图像上；P、Q 关于原点对称.)(xfy则称点对P, Q是函数 的一对“友好点对” （注：点对P, Q与Q , P看作同一对“友好点对” ）.已知函数 ，则此函数的“友好点对”有（ ）对)0(4log)(2xxfA. 0 B. 1 C. 2 D. 3二、填空题共 6小题，每小题 5分，共 30分 9直线 与圆 相交弦的长度为 2sin=2cos10在 ABC中，若 ,4ba，则 C 11. 在等差数列 中， = -2013，其前 n项和为 ，若 =2，则 的值等na1 nS1022 013S于 12某四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱长度是 AC
4、MBDE正（主）视图 侧（左）视图俯视图322 232新东方在线 2013 高考-倒计时冲刺 命题趋势 志愿填报 招生简章 模拟考试- 3 -13如图，在矩形 ABCD中， 2BC， ， 点 E为 B的中点，点 F在边 CD上，若 2F，则 EF的值是 14对于各数互不相等的整数数组 （n 是不小于 3的正整数） ，若对任意的),(321iip， ，当 时有 ，则称 是该数组的一个“逆序” 一个,32,1nqqpqpqpi,数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数” ，如数组（2,3,1）的逆序数等于2则数组（5,2,4,3,1）的逆序数等于_；若数组 的逆序数为),(321niin，则
5、数组 的逆序数为 _),(1iin三、解答题共 6小题，共 80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15 （本小题满分 13分）已知函数 ()sin2)cos26fxx（）求函数 的单调递增区间；（）在ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c已知 ,3()2fA，求ABC 的面积2a3B16 （本小题满分 13分）PM2.5是指大气中直径小于或等于 2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物. PM2.5日均值在 35微克/立方米以下空气质量为一级；在 35微克/立方米 75微克/立方米之间空气质量为二级；在 75微克/立方米以上空气质量为超标石景山古城地区 2013年 2月 6
6、日至 15日每天的 PM2.5监测数据如茎叶图所示DEF CBA新东方在线 2013 高考-倒计时冲刺 命题趋势 志愿填报 招生简章 模拟考试- 4 -（）小陈在此期间的某天曾经来此地旅游，求当天 PM2.5日均监测数据未超标的概率;（）小王在此期间也有两天经过此地，这两天此地 PM2.5监测数据均未超标.请计算出这两天空气质量恰好有一天为一级的概率;（）从所给 10天的数据中任意抽取三天数据，记 表示抽到 PM2.5监测数据超标的天数，求 的分布列及期望.17 （本小题满分 14分）如图，在底面为直角梯形的四棱锥中 , ， 平PABCD/,90ABCPD面 ， ， ， 134（）求证： ；
7、P（）求直线 与平面 所成的角；AB（）设点 在棱 上， ，若ECE平面 ，求 的值 .DP18 （本小题满分 13分）已知函数 ,aR.xaxfln1)(（）讨论函数 的单调区间；（）若函数 在 处取得极值，对 , 恒成立，求)(f x(0,)2(bxf实数 的取值范围.b19 （本小题满分 14分）PM2.5日均值（微克/立方米）2 1 63 7 5 96 0 38 5 610 4 7 AEC新东方在线 2013 高考-倒计时冲刺 命题趋势 志愿填报 招生简章 模拟考试- 5 -设椭圆 )0(1:2bayxC的左、右焦点分别为 ，上顶点为 A，在12F、x轴负半轴上有一点 B，满足 ，且
8、 2AB12F（）求椭圆 的离心率；（）若过 2A、 三点的圆与直线 03:yxl相切，求椭圆 C的方程； （）在（）的条件下，过右焦点 2F作斜率为 k的直线 l与椭圆 交于 两点，MN、线段 的中垂线与 x轴相交于点 )0,(mP，求实数 的取值范围MN20 （本小题满分 13分）给定有限单调递增数列 且 ，定义集合nx)2,(N)1(0nixi且 .若对任意点 ，存在点 使得,1),(jixAjiji A2（ 为坐标原点） ，则称数列 具有性质 .21OnxP（）判断数列 ： 和数列 ： 是否具有性质 ，简述理由.nx2,y3,12P（）若数列 具有性质 ，求证：P数列 中一定存在两项
9、使得 ；nxjix,0ji若 ， 且 ，则 . 1021n2（）若数列 只有 2013项且具有性质 ， ， ，求 的所有项nxP1x23nx和 .2013S xyAOB F1 F2新东方在线 2013 高考-倒计时冲刺 命题趋势 志愿填报 招生简章 模拟考试- 6 -2013年石景山区高三统一测试高三数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共 8个小题，每小题 5分，共 40分题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 B A D A D C A C二、填空题：本大题共 6个小题，每小题 5分，共 30分 三、解答题：本大题共 6个小题，共 80分应写出文字说明，证明过程或演算步骤15 （本小题
10、满分 13分）解：（） ()sin2)cos2fxxincos2sinco266xx1分3i3分 13(sin2cos)xx3sin(2)x令 +kk5分51212x函数 的单调递增区间 . 6分()f 5()12kkZ，（）由 ， ，3()2fAsin()=3A因为 为 内角，由题意知 ，所以BC205233A因此 ，解得 8 分5364由正弦定理 ，得 ， 10 分bAasini题号 9 10 11 12 13 14答案 3 7120329 238n；新东方在线 2013 高考-倒计时冲刺 命题趋势 志愿填报 招生简章 模拟考试- 7 -由 ，由 ，可得 ，12 分4A3B62sin4C
11、 13 分13sin22ab16 （本小题满分 13分）解：（）记“当天 PM2.5日均监测数据未超标”为事件 A,. 2分43()105PA（）记“这两天此地 PM2.5监测数据均未超标且空气质量恰好有一天为一级” 为事件 B, . 5分2468()CB（） 的可能值为 0,13，； ；3610()PC216430()CP9分264310() 4310()其分布列为： 13160+2=605E13分17 （本小题满分 14分）证明：（I）在直角梯形 ABCD中， ,3ADB所以 ，所以 . 2分2,3BDCC又因为 ，所以P面 P由 ，所以 所以 4分DB面 BP（II）如图，在平面 ABC
12、D内过 D作直线 DF/AB，交 BC于 F，分别以 DA、DF、DP 所在的直线为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系.由条件知 A（1，0，0） ，B（1， ，0） ，3设 ，则 ， 5 分PDa(,),(,)PCa2P 310新东方在线 2013 高考-倒计时冲刺 命题趋势 志愿填报 招生简章 模拟考试- 8 -由（I）知 .BDPCBPDC面 就 是 平 面 的 法 向 量，.(0,3),(1,30)A设 ，与 面 所 成 角 大 小 为则 7分|sin.23DBA即直线 为 . 8分0960,， ABPDC与 平 面 所 成 角 60（III）由（2）知 C（3， ，0） ，记 P（
13、0，0，a） ，则， ， ， ，0AB（ ， ， ） (,)DP（ 1， ， -） 3a（ ， ， ）而 ，所以 ， PE3E（ ， ， ）C(0,)()aa， ， ,.（ ， ）10分设 为平面 PAB的法向量，则 ，即 ，即 .nxyz（ ， ， ） 0ABnP30yxazyxaz进而 ， 12分1a取 ， 得 ， ,n（ 01）由 ,得/DEPAB平 面 E，14分3-， .4而 ，18 （本小题满分 13分）解：（）在区间 0,上,. 1分1()axfx若 a,则 , 是区间 0,上的减函数； 3 分()f若 0,令 fx得 1a.在区间 1(,)a上, ,函数 ()fx是减函数;()
14、0f在区间 ,上, ,函数 f是增函数; fx综上所述，当 0时, ()的递减区间是 0,，无递增区间；PEFCAGxyz新东方在线 2013 高考-倒计时冲刺 命题趋势 志愿填报 招生简章 模拟考试- 9 -当 0a时， ()fx的递增区间是 1(,)a，递减区间是 1(0,)a. 6分（II）因为函数 在 处取得极值，所以f)f解得 ，经检验满足题意. 7分1a由已知 则8分()2,fxb1ln()2,xfxbb令 ，则10分gln 2-g易得 在 上递减，在 上递增， 12 分)(x2,0e,2e所以 ，即 13 分2min1)(g21b19 （本小题满分 14分）解：（）连接 ，因为
15、 2AFB， 21， 所以 ，1AF12AF即 ， 故椭圆的离心率 e 3 分2ac（）由（）知 ,2a得 ac于是 , ，2(0)(,)2aB的外接圆圆心为 ） ，半径 4 分RtABC1(,0)F1|rF由已知圆心到直线的距离为 a，所以 a2|3|，解得 2,1,3cb所求椭圆方程为 1342yx. 6 分（）由（）知 )0,(2F, 设直线 的方程为： l(1)ykx134(2yxk 消去 得 0248)4(22xk 7 分y因为 过点 ，所以 恒成立l20设 ),(1yxM， ),(2yxN， 则 221438kx， 1222634kyk中点 9 分 22(,)k新东方在线 201
16、3 高考-倒计时冲刺 命题趋势 志愿填报 招生简章 模拟考试- 10 -当 时， 为长轴，中点为原点，则 10 分0kMN0m当 时 中垂线方程 22314()43kkyx令 ， 432km 12 分0y， ， 可得 410m 23k21综上可知实数 的取值范围是 14 分,)20 （本小题满分 13分）解：（）数列 具有性质 ，数列 不具有性质 .nxPnyP对于数列 ，若 则 ；若 则 ；所以具有性质)2,(1A),()2,(1A),(.对于数列 ，当 若存在 满足 ,即 ,即Pny32yxO03yx，数列 中不存在这样的数 ，因此不具有性质 . 3分32xy , P（） （1）取 ，又数
17、列 具有性质 ，所以存在点 使得),(1kxAnx ),(2jixA，即 ，又 ，所以 . 5分2O0jik k 0jix（2）由（1）知，数列 中一定存在两项 使得 ；又数列nxji,jix是单调递增数列且 ，所以 1为数列 中的一项.nx2nx假设 ，则存在 有 ，所以2),(Nkk1k102x此时取 ，数列 具有性质 ，所以存在点 使得 ，),(1nxAnP),(stA2OA所以 ；只有 ，所以当 时 ，矛盾；02stx1tx22xsn当 时 ，矛盾.所以 . 9分1s2tn2（）由（）知， .若数列 只有 2013项且具有性质 ，可得 ，12xnxP4x猜想数列 从第二项起是公比为 2的等比数列.（用数学归纳法证明）.85xn
