奥数因式分解.doc

上传人:hw****26 文档编号:4066925 上传时间:2019-09-22 格式:DOC 页数:4 大小:30.09KB
下载 相关 举报
奥数因式分解.doc_第1页
第1页 / 共4页
奥数因式分解.doc_第2页
第2页 / 共4页
奥数因式分解.doc_第3页
第3页 / 共4页
奥数因式分解.doc_第4页
第4页 / 共4页
亲,该文档总共4页,全部预览完了,如果喜欢就下载吧!
资源描述

1、因式分解 1 / 4一、常用公式:序号 公式 记忆特征1 x2+(a + b)x+ab = (x+a)(x+b) (十字相乘法)(1) 常数项两数积(2) 一次项系数两数和(3) 二次项系数为 12 a2-b2 = (a-b)(a+b)(平方差公式)3a2+2ab+b2 = (a+b)2 a2-2ab+b2 = (a-b)2(完全平方公式)4 a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc = (a+b+c)2(完全平方公式扩展)(1) 三数平方和(2) 两两积的 2 倍5a3+3a2b+3ab2+b3 = (a+b)3a3-3a2b-3ab2+b3 = (a-b)3(完全立方公式)对照完全平方公式

2、相互加强记忆6 a3+b3 = (a+b)(a2-ab+b2)a3-b3 = (a-b)(a2+ab+b2)(1) 近似完全平方公式(2) 缺项之完全立方公式(a+b)(a+b)2-3ab=(a+b)3-3ab(a+b)(a-b)(a+b)2+3ab=(a-b)3+3ab(a+b)7 a3+b3+c3-3abc = (a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc) 对照公式 4 相互加强记忆8 an-bn = (a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+abn-2+bn-1) n=整数(平方差公式扩展)(1) 短差长和;(2) a 指数逐项递减 1;(3) b 指数逐项递增 1;(4)

3、 长式每项指数和恒等于 n-1。9 an-bn = (a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-+abn-2-bn-1) n=偶数(立方差公式扩展)(1) 短式变加长式加减相间;(2) a 指数逐项递减 1;(3) b 指数逐项递增 1;(4) 每项符号 b 指数决定偶加奇减。10 an+bn = (a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-+abn-2-bn-1) n=奇数(立方和公式扩展) 对比公式 9 的异同公式 1 练习:第一组 第二组 第三组 第四组 第五组x2+6x+5 2x2+8x-10 x3-8x2+15x 2x2-x-3 x2+2xy-15y2x2-x+42 3x2+

4、3x-36 x3+20x2+51x -3x2+11x-6 x3+2x2y-15xy2x2+2x-35 5x2-10x-15 x3-12x2+32x -4x2-8x-3 2x2-xy+3y2x2+4x-45 7x2-35x+42 x3-11x2+30x 6x2-2x-8 4x2-2xy+2y2二、常用因式分解方法1、提取公因式法2、运用公式法3、分组分解法4、十字相乘法5、拆项、添项法因式分解 2 / 4三、例题讲解1、提取公因式法例 1 x(a-b)2n+y(b-a)2n+1 提示:(b-a) 2n=(a-b)2n, (b-a)2n+1=-(a-b)2n+1解: 原式=(a-b) 2nx-y(

5、a-b)=(a-b)2n(x-ay+by)例 2 (ax+by)2+(ay-bx)2+c2y2+c2x2 提示:先展开再合并同类项解:原式=a 2x2+2abxy+b2y2+a2y2-2abxy+b2x2+c2y2+c2x2 (原式展开)=(a2+b2+c2)x2+(a2+b2+c2)y2 (合并同类项)=(a2+b2+c2)(x2+y2) (提取公因式)2、运用公式例 1 x7y-xy7 提示:先取公因式,然后用公式。用公式时注意尽量将指数降到最低(2 或 3 最佳)解:原式=xy(x 6-y6) (提取公因式)=xy(x3)2-(y3)2 (公式 2:平方差公式)=xy(x3-y3)(x3

6、+y3) (公式 6:立方和/差公式)=xy(x-y)(x2+xy+y2)(x+y)(x2-xy+y2)例 2 (a+2b+c)3-(a+b)3-(b+c)3 提示:第一个多项式为另外两个多项式之和原式=(a+2b+c) 3-(a+b)3+(b+c)3 (添括号形成立方和的形式)=(a+2b+c)3-(a+2b+c)(a+b)2-(a+b)(b+c)+ (b+c)2 (应用立方和公式展开)=(a+2b+c)(a+2b+c)2-(a+b)2+(a+b)(b+c)- (b+c)2 (提取公因式 a+2b+c 形成平方差公式)=(a+2b+c)(2a+3b+c)(b+c)+(a+b)(b+c)- (

7、b+c)2 (提取公因式 b+c)=(a+2b+c)(b+c)(2a+3b+c)+(a+b)- (b+c) (合并化简)= 3(a+b) (b+c) (a+2b+c)例 3 若 x= ,y= ,则 x6+y6 的值是: 2+2 2 2解:x 6+y6=(x2)3+(y2)3=(x2+y2)(x2)2-x2y2+(y2)2 (应用立方和公式)=(x2+y2)(x2+y2)2-3x2y2 (应用完全平方公式)x 2+y2=( )2+( )2=4, 3x2y2=3( )2( )2=62+2 2 2 2+2 2 2x 6+y6=4(426)=403、分组分解法提示:合理适当地分组产生公因式。关键之处在

8、合理分组,多尝试不同地分组以触动灵感。1) 按系数分组例 2ax-10ay+5by-bx= (2ax-10ay)+(5by-bx)=2a(x-5y)-b(x-5y)=(2a-b) (x-5y)2) 按字母分组例 x3(a+1)-xy(x-y)(a-b)+y3(b+1)=ax3+x3-axy(x-y)+bxy(x-y)+by3+y3 (去括号)= ax3 -axy(x-y)+bxy(x-y)+by3+x3+y3 (适当分组)=(ax3-ax2y+axy2)+(bx2y-bxy2+by3)+(x3+y3) (去括号化简)因式分解 3 / 4=ax(x2-xy+y2)+by(x2-xy+y2)+(x

9、+y)(x2-xy+y2) (提取公因式及应用立方和公式)=( x2-xy+y2)(ax+by+x+y)3) 按次数分组例 (xy-1)2+(x+y-2)(x+y-2xy)=(xy-1)2+(x+y)-2)(x+y)-2xy (分组)=(xy-1)2+(x+y)2-2xy(x+y)-2(x+y)+4xy (多项式相乘)=(xy-1)2+(x+y)2-2(x+y)(xy+1)+4xy (提取公因式整理)=(xy-1)2+4xy +(x+y)2-2(x+y)(xy+1) (再次分组)=(xy)2-2(xy)+1+4(xy)+ (x+y)2-2(x+y)(xy+1) (完全平方公式展开)=(xy+1

10、)2-2(xy+1)(x+y)+(x+y)2 (合并后得到新的完全平方)=(xy+1)-(x+y)2 (再次应用完全平方公式)=(xy-x-y+1)25、添拆项法例 1 x5+x+1提示:原因无法直接应用任何公式,可通过添加-x 2+x2 后分组应用公式原式=(x 5-x2)+(x2+x+1) (添加-x 2+x2 后分组)=x2(x3-1)+(x2+x+1) (提取公因式)=x2(x-1)(x2+x+1)+(x2+x+1) (应用立方差公式)=(x2+x+1)x2(x-1)+1 (提取公因式)=(x2+x+1)(x3-x2+1)例 2 2x4-15x3+38x2-39x+14提示:把-15x

11、 3 拆成-13x 3 和-2x 3,把 38x2 拆成 13x2 和 25x2,把-39x 拆成-25x 和-14x,分组提取公因式原式=2x 4-2x3-13x3+13x2+25x2-25x-14x+14 (拆项分组)=2x3(x-1)-13x2(x-1)+25x(x-1)-14(x-1) (各自提取公因式)=(x-1)( 2x3-13x2+25x-14) (提取公因式 x-1)=(x-1)( 2x3-7x2-6x2+21x+4x-14) (再次拆项)=(x-1)x2(2x-7)-3x(2x-7)+2(2x-7) (分组各自提取公因式)=(x-1)(2x-7)(x2-3x+2) (提取公因

12、式 2x-7)=(x-1)(2x-7)(x-1)(x-2) (对进行 x2-3x+2 十字相乘分解)=(x-1)2(x-2)(2x-7)真题精解:1) 已知多项式 ax3+bx2+cx+d 除以 x-1 时的余数是 1,除以 x-2 时的余数是 3,那么,它除以(x-1)(x-2)时所得的余数是什么?(第 12 届“希望杯”试题)解:设原式=(x-1)(x-2)(ax+k)+(mx+n) ,当 x=1 时,原式=1 ,即 m+n=1;当 x=2 时,原式=3,即2m+n=3,解此关于 m、n 的方程组得 m=2,n=-1,故原式除以(x-1)(x-2)时的余数为 x-12) k 为何值时,多项

13、式 x2-2xy+ky2+3x-5y+2 能分解成两个一次因式的积?(天津市竞赛试题)解:原式中不含 y 的项为 x2+3x+2 可分解为 (x+1)(x+2),故可设原式=(x+1)+ay(x+2)+by,将其展开得:x2+(a+b)xy+aby2+3x+(2a+b)y+2,与原式对比系数得:a+b=-2, ab=k, 2a+b=-5,解之得 a=-3,b=1,k=-33) 如果 x3+ax2+bx+8 有两个因式 x+1 和 x+2,求 a+b 的值。 (美国犹他州中学竞赛试题)解法 1:设原式=(x+1)(x+2)(x+k),展开后得:x 3+(3+k)x2+(3k+2)x+2k,对比原

14、式系数得 a=3+k, b=3k+2, 因式分解 4 / 48=2k,所以 a+b=4k+5=16+5=21解法 2:因当 x=-1 或 x=-2 时,原式=0,分别代入后得 a-b+8=0, 4a-2b+8=0,解得 a=7, b=14,故a+b=14真题实练:1下列四个从左到右的变形中,是因式分解的是( )A. (x+1)(x-1)=x2 B. (a-b)(m-n)=(b-a)(n-m) C. ab-a-b+1=(a-1)(b-1) D. m2-2m-3=m(m-2-3/m)(第 8 届“希望杯”试题) ( 提示:本题简单,因式分解的概念)2下列五个多项式中在有理数范围可以进行因式分解的有

15、( )a2b2-a2-b2-1 x 3-9ax2+27a2x-27a3 x(b+c-d)-y(d-b-c)-2c+2d-2b 3m(m-n)+6n(n-m) (x-2) 2+4x A. B. C. D. (第 10 届“希望杯”试题) (提示:立方差公式、提取公因式,但排除法最快)3设 bc,且满足( )(a-b)+ (b-c)=a-c,则 的值( )3+1 2A.大于零 B. 等于零 C. 小于零 D. 正负号不确定(第 12 届“希望杯”试题) (提示:按(a-b)和(b-c)重新整理分组合并)4已知 x2+ax-12 能分解成两个整系数的一次因式乘积,则符合条件的整数 a 的个数是( )

16、A.3 个 B. 4 个 C. 6 个 D. 8 个(第 7 届“希望杯”试题) (提示:对 -12 以十字相乘法拆分穷举)5 y-2x+1 是 4xy-4x2-y2-k 的一个因式,则 k 的值是( )A. 0 B. -1 C. 2 D. 4(第 14 届“希望杯”试题) (提示:完全平方+平方差)6将多项式 x2-4y2-9z2-12yz 因式分解结果是( )A. (x+2y-3z)(x-2y-3z) B. (x-2y-3z)(x-2y+3z)C. (x+2y+3z)(x+2y-3z) D. (x+2y+3z)(x-2y-3z)(第 9 届“希望杯”试题) ( 提示:完全平方+ 平方差)7分解因式:x 2-4y2-9z2-12yz= 。(第 9 届“希望杯”试题) ( 提示:完全平方+ 平方差)8分解因式:x 5+x-1= 。(第 9 届“希望杯”试题) ( 提示:添项+ 立方和)9 x3+3x2-3x+k 有一个因式是 x+1,则 k= 。(第 10 届“希望杯”试题) (提示:分组成每项都含 x+1)10分解因式:xy-1-x+y= 。(第 10 届“希望杯”试题) (提示:分组提取公因式)

展开阅读全文
相关资源
相关搜索

当前位置:首页 > 实用文档资料库 > 策划方案

Copyright © 2018-2021 Wenke99.com All rights reserved

工信部备案号浙ICP备20026746号-2  

公安局备案号:浙公网安备33038302330469号

本站为C2C交文档易平台,即用户上传的文档直接卖给下载用户,本站只是网络服务中间平台,所有原创文档下载所得归上传人所有,若您发现上传作品侵犯了您的权利,请立刻联系网站客服并提供证据,平台将在3个工作日内予以改正。