1、抽象函数常见题型解法综述抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。一、定义域问题例 1. 已知函数 )(2xf的定义域是1，2，求 f（x）的定义域。例 2. 已知函数 f的定义域是 2，求函数)3(log21x的定义域。二、求值问题例 3. 已知定义域为 R的函数 f（x），同时满足下列条件： 51)6()2(ff，；)()(yfxyf，求 f（3），f （9）的值。三、值域问题例 4. 设函数 f（x）定义于实数集上，对于任意实数 x、y， )()(yfxyf总成立，且存在 21，使得
2、)(21xf，求函数 )(f的值域。解：令 0yx，得 0，即有 0或 1)(f。若 )(f，则 )()()fxfxf ，对任意 Rx均成立，这与存在实数21x，使得 (21成立矛盾，故 ，必有 )(f。由于 )(yfxyf对任意 Ryx、 均成立，因此，对任意 x，有0)2(2(fx下面来证明，对任意 xR，设存在 x0，使得 0)(f，则 0)()()00xfxf这与上面已证的 矛盾，因此，对任意 (fR，所以 )(xf评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段。四、解析式问题例 5. 设对满足 10x， 的所有实数 x，函数 )(f满足x
3、fx1)()，求 f（x）的解析式。解：在)1()()xf中以 x代换其中 x，得：2121(fxf再在（1）中以 x代换 x，得 )3(12)(ff)3(2)1(化简得： )1(2xf评析：如果把 x 和1分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。五、单调性问题例 6. 设 f（x）定义于实数集上，当 0x时， 1)(xf，且对于任意实数 x、y，有)()(yfyxf，求证： )(f在 R 上为增函数。证明：在 xf中取 yx，得2)(ff若 0)(f，令 0y， ，则 0
4、)(f，与 1)(x矛盾所以 ，即有 1)(f当 0x时， xf；当 0x时， 0)(xf，而 )0()f所以 )(1xff又当 0时， 0所以对任意 Rx，恒有 0)(xf设 21，则 1)(212xf，所以 ()()( fxfxfxf 所以 y在 R 上为增函数。评析：一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。六、奇偶性问题例 7. 已知函数 )0)(xRf， 对任意不等于零的实数 21x、 都有)()(2121xffxf，试判断函数 f（x）的奇偶性。解：取 ， 得： )1(1，所以 )(f又
5、取 21x得： )(ff，所以 0再取 ， 则 )(xx，即 )(xff因为 )(xf为非零函数，所以 )(f为偶函数。七、对称性问题例 8. 已知函数 )(xfy满足 20)(xf，求 )20()(11xfxf的值。解：已知式即在对称关系式 baf 中取 ba， ，所以函数)(xfy的图象关于点（0，2002）对称。根据原函数与其反函数的关系，知函数1的图象关于点（2002，0）对称。所以 0)1()(xfxf将上式中的 x 用 代换，得 0)2(11xff评析：这是同一个函数图象关于点成中心对称问题，在解题中使用了下述命题：设 a、b 均为常数，函数 )(fy对一切实数 x 都满足 baff)()(，则函数 )(xfy的图象关于点（a，b）成中心对称图形。八、网络综合问题例 9. 定义在 R 上的函数 f（x）满足：对任意实数 m，n，总有 )()(nfmnf，且当 x0时，00的结论。这是解题的关键性步骤，完成这些要在抽象函数式中进行。由特殊到一般的解题思想，联想类比思维都有助于问题的思考和解决。
