1、2 线性子空间与子空间的分解在通常的三维几何空间中，考虑一个通过原点的平面。不难看出，这个平面上的所有向量对于加法和数量乘法组成一个二维的线性空间，这就是说，它一方面是三维几何空间的一个部分，同时它对于原来的运算也构成一个线性空间。一般地，我们不仅要研究整个线性空间的结构，而且要研究它的线性子空间，一方面线性子空间本身有它的应用，另一方面通过研究线性子空间可以更深刻地揭示整个线性空间的结构。一、线性子空间的定义定义 7 设 是数域 上的一个线性空间， 是 的一非空VFWV子集。如果 对于 中所定义的加法和数乘运算也构成数域W上的一个线性空间，则称 为 的一个线性子空间 ，简称子FV空间。验证
2、是否为 的子空间，实际上只需考察 对于 中加法和数乘运算是否封闭就行了。因为线性空间定义中的规则在 对线性运算是封闭的情况下必是满足的。8)(1例 1 任何线性空间有两个平凡子空间或假子空间；一个是它自身 ，另一个是 ，称为零元素空间（零子空间）。V0W除此之外的子空间称为非平凡子空间或真子空间。下面举几个常见的例子。例 2 给定 ，集合12(,)mnnAaR|0, Nxx1212()(,)|,nnnRLspayAxR 分别是 和 上的子空间，依次称为 的零空间(核)和列空间nm（值域），零空间的维数称为零度的零空间是齐次线性方程组 的全部解向量构成的A0Ax维线性空间 的一个子空间。因为解空
3、间的基就是齐次线性nnR方程组的基础解系。所以， 。)()(dirankN的左零空间和行空间()|0, TTmNAxxR，()|, TTmRAyAxR。dim()Nrank表示 的广义逆，满足 ，则有nX)()In且 ， 幂等。所以AIn )()()()()( ArankrankAtrItrrakn 例 3 设 是 的 个向量，它们所有可能1,21m V的线性组合所成的集合 Span,21 miik1|是 的一个子空间，称为由 生成的子空间。V,21若记 ，则mnRA),(21Spa,21由子空间的定义可知，如果 的一个子空间包含向量V，那么就一定包含它们所有的线性组合。也就是说m,21是 的
4、一个子空间。Span注：容易证明(1) 。di()()Arank(2) , ，特别若 可表Blb1 ljb,21,示为 的线性组合，则 。m,21 )()BA定理 2 设 是 的一个 维子空间， 是 的一WnVm,21 W个基，则这 个向量必定可扩充为 的基。 mnV证明 若 ，则定理已成立。若 ，则 中必存在一个向量nmn不能由 线性表出，从而 线性1m,21 121,m无关。如果 ，则定理已成立。否则继续上述步骤。经过次，则可得到 内 个线性无关的向量，使nnV为 的基。m,121 二、子空间的分解子空间作为子集，有子集的交（ ），和（ ）21W21等运算，对它们有如下定理。定理 3 设
5、是线性空间 的子空间，则有21,WV(1) 与 的交集 是 的子2121|且 V空间，称为 与 的交空间。12(2) 与 的和 1W2是 的子空间，称为21W2121,| WV与 的和空间。证明 (1)由 , ,可知 ,因而 是非空的.10221021其次，如果 ,即 而且 ,因此WW, ,因此 .同样,由 ,12211k,知 .因此 是 的子空间.2k1kV(2)由定义 ,而且非空. ,则有VW21 21,W. 1,ii由, ,2121),()(21，21kk因 是子空间,则 ,iW212, WkW所以 即 是 的子空间.,21,1k1V子空间的交与和的概念可以推广到多个子空间的情形。定理
6、4 (维数定理)设 和 是线性空间 的两个子空间，12则有+ = + (1)1dimW2i)di(21W)dim(21证明 设 , , , 基为r)i(211is2is21W，由定理 2 知，它们可分别扩充为：r,21的基 ，W1,1sr 的基 ，2 22则 = ，11,21srSpan = ，2W2.1 21,21 srsr 下面证明 为线性无关组。21,21 srsr 任取数 使iiqpk. (2)02111 sriisriiri qp因为,21 11sriirisriik所以.211Wpsrii从而有,11riisriin即 .011sriirip由 是 的基,线性无关,故1,21sr
7、W.代入(2)式,得10ipi,0211sriiriqk而 是 的基,于是2,21sr W),1( 0 ) ( 02sriqrikii 故线性无关，dim21,21 srsr ,)()()( 2121 rsrWrs21定理得证.从(1)式知，若 ，则有 dim( + )dim +dim0211W21,这时 其表达式中2 ,21ixi与 不是唯一的。1x例如，有 ，023,1 ,0211SpanWSpanW21W即 。这时 可有两种表达式 和21210.30 TT例 4 设 中的两个子空间是3R 1-,03- ,1,0- 212211 SpanWSpanW求 及 的基和维数。2121解 =212
8、1,Span由于 且 线性无关，故 的一个 21W基为 ，其维数 =3。21, )dim(21W由维数定理知= - =2+2-3=1)di(21)i()i(21 )di(21根据，21得到，212121 0) ,(WT从而 为 的一个基，其维数 =1。T) ,0(W)dim(三、直和子空间子空间的和 的定义仅表明，其中的任一向量 可表21示为 。但这种表示法不一定唯一。,21 ,定义 8 设 是线性空间 的两个子空间，如果21WV中每个向量 的分解式21W2121 ,是唯一的，则 称为 的直和，记为 。1, 1W定理 5 设 ， 是线性空间 的两个子空间，则下面几条12V等价(1) 是直和；2
9、1W(2) 向量表示法唯一，即由 得0 ) (2121W,0；21(3) = ；(4) )dim()i()dim( 2121 WW证明 采用轮转方式证明这些命题。 )2(按定义， 内任一向量表示法唯一，因而 的表示法21W0当然唯一。 )3(2用反证法。若 ，则有 ，于是0210,21W， 。而 ，这与零向量的表示是唯一1W2)(的假设矛盾。 )4(3利用维数定理即得。 )1(由维数定理知 dim( )=0,即 = .对任一21W210,如果21W) ,; ,(22121 W则有 21- 于是，02121- W即。021- ,这说明 21 ,因而 表示法唯一。定理证毕。定理 6 设 是 的一个
10、子空间，则必存在 的子空间 ，1WnVnV2W使 。nVW21证明：设 dim( )= ,且 是 的一个基，根据1mm,21 1W定理 2 它可扩充为 的基 ，令n n, ，显然 就满足要求。mSpa,12子空间的交、和及直和的概念可以推广到多个子空间的情形。四、内积空间前文中，我们对线性空间的讨论主要是围绕着向量之间的加法和数量乘法进行的。与几何空间相比，向量的度量性质如长度、夹角等在实际应用中更重要。因此，我们在一般线性空间中定义内积，导出内积空间的概念。定义 9 设 是实数域 上的实线性空间。如果对于任意的VR，都有一个实数 与之对应，且满足, ),(1) ;),(,(2) ;),(3)
11、 ;,(),(k(4) 当且仅当 时 .00),(则称 为 与 的内积。定义了内积的实线性空间 称为内),( V积空间，又称欧几里得空间或 Euclid 空间（简称为欧氏空间）。例如，在 中，定义内积 。这时 成nRniiTyxyx1),( nR为内积空间。在内积空间 中，如果 ，则称 与 正n0,交，记为 。yx设欧氏空间 中的基为 ，欧氏空间中有两个向nRn,21量 ，下面我们来计算 的内积。jjniiyx11,jinijnjjii yxx),(),(), 11记 ),(),(),( ,),( nnn nnG 2122 121121，nnyx2121,则有 yGxnT),(),(21注：(1)方阵 称为向量组 的 Gram 矩阵，),(21n n,21或度量矩阵。(2) 线性无关的充要条件是 。n,21 0),(21nG(3) 对称正定。),(21nG因为方阵 0),(),(,0),(,02121 xGxx nTn(4)若 ,则 表示长度的平方； 时,则n21,表示面积的平方； 呢？2121),(G,3
