1、1复 合 函 数 的 单 调 性 例 讲山西忻州五寨一中 摄爱忠高考主要考查：求复合函数的单调区间；讨论 含参复合函数的 单调性或求参数范围问题“中间变量”是形成问题转 化的桥梁. 函数思想是解决问题的关键复合函数定义：1. 设 定义域为， 的值域为，若 ，则 关于 的函数 叫做)(ufy)(xguAByx)(xgfy函数 与 的复合函数， 叫中间变量g外函数： ； 内函数：)(fy)(xgu复合函数的单调性：同增异减.2.若 )(xgu)(ufy则 )(xgfy增函数 增函数 增函数减函数 减函数 增函数增函数 减函数 减函数减函数 增函数 减函数3.求解复合函数的单调性的步骤如下：(1)求
2、复合函数定义域；(2)将复合函数分解为若干个常见函数( 一次、二次、幂、指、对函数)；(3)判断每个常见函数的单调性；(4)将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围；(5)求出复合函数的单调性。题型 1：内外函数都只有一种单调性的复合型.例 题 1：2已知函数 y=loga(2-ax)在0,1上是 x 的减函数，则 a 的取值范围是( )(A).(0,1) (B).(1,2) (C).(0,2) (D). 2，+)解：设 y= logau，u=2-ax，a 是底数，所以 a0， 函数 y=loga u 在 u0,1上是减函数，而 u=2-ax 在区间 x0,1上是减函数， y= log au
3、 是 u(0, +)上的增函数，故 a1，还要使 2-ax0 在区间上总成立，令 g(x)= 2-ax，由 ，解得 a0 知函数的定义域为 ，),1()3,(x因 y= log0.5u 在 u(0,+)上是减函数，而 u= x2+4x+4 在 x(-，-3)上是减函数，在(-1，+ )上是增函数，根据复合规律知，函数 y=log0.5(x2+4x+4) 在 x(-，-3)上是增函数；在 x(-1，+ )上是减函数.变式训练：讨论函数 的单调性。3425xy解：函数定义域为 R. 令 u=x2-4x+3，y=0.8 u。指数函数 在 u(-，+)上是减函数，uy52u=x2-4x+3 在(-，2
4、上是减函数，在2，+)上是增函数， 函数 在(-，2上是增函数，在2，+)上是减函数。3425xy这里没有第四步，因为中间变量允许的取值范围是 R，无需转化为自变量的取值范围。题型 3：外函数有两种单调性内函数有一种单调性的复合型.3内 内 内 +20 x内内 内 内 内 内021 231例 题 3： 函数 y=2sin( -2x)的单调递增区间是( ) 4(A). (B). (C). (D). 873或 875或 80或 40或解：令 y=sinu，u= -2x，u= -2x 是 R 上的减函数，而 y=sinu 在 u 2k+ ，2k+ 4 4 2 32(kZ)上单调递减，根据函数单调性的
5、复合规律，令 2k+ -2x2k+ 得: 2 4 32当 k=0 时， ， 故选(A) .885kxk 87或x例 题 4：讨论函数 y=(log2x)2+log2x 的单调性.解：显然函数定义域为(0，+). 令 u=log 2x，y=u 2+u u=log 2x 在(0，+)上是增函数，y=u2+u 在(-， 上是减函数，在 ，+)上是增函数11【注意】:(-， 及 ，+)是 u 的取值范围.2令 ，则 0x ，01log2x(u log2x x )2所以 y=(log2x)2+log2x 在(0， 上是减函数，在 ，+)上是增函数。2用数轴标单调区间如下：求复合函数的定义域； 求内函数在
6、定义域内的单调区间； 求外函数的单调区间； 求外函数 对内函数变量所对应的单调区间； 在数轴上标出 按“同增异减” 写出复合函数的单调区间.4变式训练：求函数 的单调区间2112loglyx【解析】 （1）此函数的定义域： ；0，（2）此函数是由函数 复合所得；2121logyux， （ ）（3）内层函数的单调区间：函数 在 单调递减；（ ） 0,（4）外层函数的单调区间：函数 在 单调递减， 单调递增；21yu2， 12u，（5）根据复合函数的单调性规律，写出复合函数的单调区间：函数 在1122loglyx单调递增；在 单调递减12ux， ， 102u， ，【评注】：给出复合函数的单调区间，
7、必须将外层函数中的 调整为复合函数的自变量 等价， x的范围 ，必须将外层函数中的 调整为复合函数的自变量 等价的2x， 12u，范围 .0，函数 的单调递减区间是 ；单调递减区间是 .1923xxf题型 4：内外函数都有两种单调性的复合型.例 题 5：已知函数 则28,fxx2gfx（A）在区间 上是减函数 （B）在区间 上是减函数100,1（C）在区间 上是增函数 （D）在区间 上是增函数2, 2【解析】设 ， ，8)(uf2x外函数：增区间 ；减区间 ； 或或1-或或5内内2+312-30 内 内 内 内内 内 内 内 内 内 内内 内 内 内 内 x01 2 3 4 51内函数：增区间
8、 ；减区间 或或0-或或0当 时， ，即 1，x1 或 x-1；1,u2x1,2当 时， 即 1，-1x1)用数轴标出单调区间如下： 内 内 内 内内 内 内 内 内 内 内内内 内内 内 01 +-1 x0234 1 23451显然，A 正确.变式训练：已知函数 则 的递增区间是 .28,fx10gxfx【解析】设 ， ；)(2uf外函数：减区间 ； 增区间 )4,(),4(内函数：减区间 ； 增区间 101令 ；再令 .3241xx 323240xxx或用数轴标出单调区间如下：故 的单调递增区间为 和 .)(xg,32求复合函数的定义域；求内函数在定义域内的单调区间；求外函数的单调6区间；
9、 求外函数 对内函数变量所对应的单调区间； 在数轴上标出 按“同增异减” 写出复合函数的单调区间.练习题组：函数 在 上单调递减，则 的取值范围是（ ）.)1,0()4log)( axxfa ,a（A） （B） （C） （D）1, 4,4答案为 B.【评注】：研究函数的单调区间必须遵循“定义域优先”的原则，不能忽视 在 恒成立.0ax-,1函数 在 上单调递增，则 的取值范围是( ).)1,0()4log)( axxfa 6,8（A） （B） （C） （D）或或210或或或2或2（2013 福建）函数 的图象大致是 ()2)lnfx=+A B C D（2014 天津）函数 的单调递增区间是 (
10、)21log4fx=-（A） （B） （C） （D）或00或或22-或求函数 的单调区间),3()23xfxgxf 或函数 的单调区间是 .2sin3log65f函数 在 上是增函数，求 的取值范围9l8afxx1,a函数 的单调性判断错误的是2cosf（A）在 递减 （B）在 递增 （C）在 递减（D）在 递增,3,00,35,3（2014 年全国卷）若函数 在区间 是减函数，则 的取值范围是cos2infxax62， a_函数 的单调递增区间是 .2sin4i1fx函数 的单调递减区间是（ ）.)2cos(log)(5.0x7题型 5：已知函数的单调性求参数范围型.例 题 5：已知函数 在
11、区间2，+)上是减函数，则实数 a 的取值范围是_。)3(log)(21axxf【解析】如下：令 u=x2-ax+3a，y= u 因为 y= u 在(0，+)上是减函数 f(x)= (x2-ax+3a)在2，+)上是减函数 u=x2-ax+3a 在2，+)上是增函数，且对任意 x2，+)，都有 u0。对称轴 x= 在 2 的左侧或过(2，0)点，且 u(2)0。 -4a4若 f(x)=loga(3-ax)在0，1上是减函数，则 a 的取值范围是_。【解析】令 u=-ax+30，y=log au，由于 a 作对数的底数，所以 a0 且 a1，由 u=-ax+30得 x 。在0，1上，且 u 是减函数。 f(x)=log a(3-ax)在0，1上是减函数。 y=logau 是增函数，且0，1 (-， 3 1a3 所以 a 的取值范围是(1，3)。试一试：练习已知函数 在区间（，+）上是减函数，则实数 的取值范围是 21log()yxaa4,(若函数 在区间（，）内单调递增，则 的取值范围是 0,1a32,0(若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是 2log()ayx3,a),2(8已知函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是 log(1)ayx52,0(a)1,52(
