1、4-3-3 圆与扇形 题库 page 0 of 42例题精讲研究圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等 图形组合而成的不规则图形，通过变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形来计算它们的面积圆的面积 ；扇形的面积 ；2r2360nr圆的周长 ；扇形的弧长 跟曲线有关的图形元素：扇形：扇形由 顶点在 圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形，扇形是圆的一部分我 们经常说的圆 、 圆、 圆等等其实都是扇形，而 这个几分之几表示的其 实是这个扇形的圆心角占这个圆周角的几分之12416几那么一般的求法是什么呢？关键是 360n比如：扇形的面积 所在圆的
2、面 积 ；扇形中的弧长部分 所在圆的周 长 360扇形的周长 所在 圆的周长 2 半径(易错点是把扇形的周长等同于扇形的弧长)n弓形：弓形一般不要求周长，主要求面 积一般来说，弓形面积 扇形面积- 三角形面积 (除了半圆)”弯角”：如图： 弯角的面积 正方形- 扇形”谷子”：如图： “谷子”的面积 弓形面积 2 常用的思想方法：转化思想 (复 杂转化为简单，不熟悉的 转化为熟悉的)等积变 形(割 补、平移、旋转等)借来 还去(加减法 )外围 入手(从会求的 图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的”关系”)板块一 平移、旋转、割补、对称在曲线型面积中的应用【例 1】 下图中每一个小正方形的
3、面积是 1 平方厘米，那么格线部分的面积是多少平方厘米？ 圆与扇形4-3-3 圆与扇形 题库 page 1 of 42【解析】 割补法如右 图，格线部分的面积是 36 平方厘米 【巩固】下图中每一个小正方形的面积是 1 平方厘米，那么格线部分的面积是多少平方厘米？【解析】 割补法如右 图，格线部分的面积是 36 平方厘米 【例 2】 如图，在 18 8 的方格纸上，画有 1，9，9，8 四个数字那么，图中的阴影面积占整个方格纸面积的几分之几？【解析】 我们数出阴影部分中完整的小正方形有 8+15+15+16 54 个，其中 部分有 6+6+8 20 个，部分有 6+6+8 20(个)，而 1
4、个 和 1 个 正好组成一个完整的小正方形，所以阴影部分共包含 54+20 74(个)完整小正方形，而整个方格纸包含 8 18 144(个)完整小正方形所以图中阴影面积占整个方格 纸面积的 ，即 7432【巩固】在 47 的方格纸板上面有如阴影所示的”6”字，阴影边缘是线段或圆弧问阴影面积占纸板面积的几分之几？【解析】 矩形纸板共 28 个小正方格，其中弧 线都是 圆周，非阴影部分有 3 个完整的小正方形，其余部分可144-3-3 圆与扇形 题库 page 2 of 42拼成 6 个小正方格因此阴影部分共 2863=19 个小正方格所以，阴影面积占纸板面积的 1928【例 3】 (2007 年
5、西城实验考题)在一个边长为 2 厘米的正方形内，分别以它的三条边为直径向内作三个半圆，则图中阴影部分的面积为 平方厘米【解析】 采用割补法如果将阴影半 圆中的 2 个弓形移到下面的等腰直角三角形中，那么就形成两个相同的等腰直角三角形，所以阴影部分的面积等于两个等腰直角三角形的面 积和，即正方形面 积的一半，所以阴影部分的面积等于 平方厘米21【巩固】如图，在一个边长为 4 的正方形内，以正方形的三条边为直径向内作三个半圆求阴影部分的面积【解析】 阴影部分经过切割平移变成了一个面积为正方形一半的长方形， 则阴影部分面积为 428【例 4】 (人大附中分班考试题)如图，正方形边长为 1，正方形的
6、4 个顶点和 4 条边分别为 4 个圆的圆心和半径，求阴影部分面积( 取 )3.4【解析】 把中间正方形里面的 4 个小阴影向外平移，得到如右图所示的图形，可见，阴影部分的面积等于四个正方形面积与四个 的扇形的面积之和，所以，9022144147.1SSSAA圆阴 影 圆【例 5】 图中的 4 个圆的圆心是正方形的 4 个顶点，它们的公共点是该正方形的中心如果每个圆的半径都是 1 厘米，那么阴影部分的总面积是多少平方厘米？4-3-3 圆与扇形 题库 page 3 of 42【解析】 如下图所示：可以将每个圆内的阴影部分拼成一个正方形，每个正方形的面 积为 （平方厘米）1240.52（，所以阴影
7、部分的总面积为 （平方厘米）248【巩固】如图所示，四个全等的圆每个半径均为 2m，阴影部分的面积是 2m2m或2m【解析】 我们虽没有学过圆或者圆弧的面积公式，但做一定的割补后我们发现其实我们并不需要知道这些公式也可以求出阴影部分面积如图，割补后阴影部分的面积与正方形的面积相等，等于2216m（【例 6】 如右图，有 8 个半径为 1 厘米的小圆，用它们的圆周的一部分连成一个花瓣图形，图中的黑点是这些圆的圆心则花瓣图形的面积是多少平方厘米？ ( 取 3)【解析】 本题直接计算不方便，可以利用分割移 动凑成规则图形来求解如右上图，连接顶角上的 4 个 圆心，可得到一个 边长为 4 的正方形 可
8、以看出，与原图相比，正方形的每一条边上都多了一个半圆，所以可以把原花瓣 图形的每个角上分割出一个半 圆来补在这些地方，这样得到一个正方形，还剩下 4 个 圆，合起来恰好是一个圆，所以花瓣 图形的面积为1(平方厘米)22419【总结】在求不规则图形的面积时，我 们一般要对原图进 行切割、移 动、补齐，使原图变成一个规则的图形，从而利用面积公式进行求解 这个切割、移 动、补齐的过程实际上是整个解题过程的关键，我们需要多多练习，这样才能快速找到切割拼 补的方法、【例 7】 如图中三个圆的半径都是 5 ，三个圆两两相交于圆心求阴影部分的面积和(圆周率取 )cm 3.14【解析】 将原图割补成如图，阴影
9、部分正好是一个半 圆，面积为 253.149.5(cm)【巩固】如图，大圆半径为小圆的直径，已知图中阴影部分面积为 ，空白部分面积为 ，那么这两个部S2S4-3-3 圆与扇形 题库 page 4 of 42分的面积之比是多少？(圆周率取 )3.14【解析】 如图添加辅助线，小 圆内部的阴影部分可以填到外侧来，这样，空白部分就是一个圆的内接正方形设大圆半径为 ，则 ， ，所以 r2Sr21r12:3.4:257:10S移动图形是解这种题目的最好方法，一定要找出 图形之间 的关系【例 8】 计算图中阴影部分的面积(单位：分米) 510AA5【解析】 将右边的扇形向左平移，如 图所示两个阴影部分拼成
10、个直角梯形 (平方分米)5102753.【巩固】如图，阴影部分的面积是多少？2 2 24【解析】 首先观察阴影部分，我 们发现阴影部分形如一个号角，但是我们并没有学习过如何求号角的面积，那么我们要怎么办呢？阴影部分我们找不到出路，那么我们 不妨考虑下除了阴影部分之外的部分吧！观察发现，阴影部分左 侧是一个扇形，而阴影部分右边的空白部分恰好与左边的扇形构成一个边长为 4 的正方形，那么阴影部分的面积就等于大的矩形面积 减去正方形面积 则阴影部分面积(2)(2)48【例 9】 请计算图中阴影部分的面积310【解析】 法一：为了求得阴影部分的面积，可以从下 图的整体面积中扣掉一个 圆的面积，就是要求
11、的面 积了4-3-3 圆与扇形 题库 page 5 of 42=-要扣掉圆的面积，如果按照下 图把圆切成两半后，从两端去扣掉也是一样如此一来，就会出 现一个长方形的面积103- =因此，所求的面积为 2103cm（ ）法二：由于原来的月牙形很难直接计算，我 们可以尝试构造下面的 辅助图形：如左上图所示，我们也可以这样 来思考， 让图形往右侧平移 就会得到右上图中的组合图形，而这3cm个组合图形中右端的月牙形正是我们要求的面积显然图中右侧延伸出了多少面积，左 侧就会缩进多少面积 因此，所求的面积是 2103cm（ ）【例 10】 求图中阴影部分的面积1212DCBA1212DCBA【解析】 如图
12、，连接 ，可知阴影部分的面积与三角形 的面积相等，即为 1236【例 11】 求如图中阴影部分的面积(圆周率取 )3.144-3-3 圆与扇形 题库 page 6 of 4244【解析】 可将左下橄榄型的阴影部分剖开，两部分分 别顺逆时针 ，则阴影部分转化为四分之一圆减去一个90等腰直角三角形，所以阴影部分的面积为 2144.56【巩固】如图，四分之一大圆的半径为 7，求阴影部分的面积，其中圆周率 取近似值 27【解析】 原题图中的左边部分可以割补至如右上图位置，这样只用先求出四分之一大圆的面积，再减去其内的等腰直角三角形面积即为所求因为四分之一大圆的半径 为 7，所以其面 积为：221738
13、.547四分之一大圆内的等腰直角三角形 的面积为 ，所以阴影部分的面 积为ABC124.538.5.14【例 12】 求下列各图中阴影部分的面积(1)1010(2)ba【解析】 在图(1)中，阴影部分 经过切割平移变成了一个底为 10，高为 5 的三角形，利用三角形面积公式可以求得 ；025S阴 影在图(2)中，阴影部分经过切割平移 变成了一个长为 b，宽为 a 的长方形，利用长方形面积公式可以求得 ab阴 影【巩固】求下列各图中阴影部分的面积(图中长度单位为 ，圆周率按 3 计算)：cm344-3-3 圆与扇形 题库 page 7 of 4211122456【解析】 4.5121.【例 13
14、】 如图， 是正方形，且 ，求阴影部分的面积(取 )ABCD1FADE 3F EDCBAWNMF EDCBA【解析】 方法一：两个分割开的阴影部分给我们求面积造成了很大的麻烦，那么我 们把它们通过切割、移动、补齐，使两块阴影部分连接在一起，这个时候我们再来考虑，可能会有新的发现 由于对称性，我们可以发现，弓形 BMF 的面积和弓形 BND 的面积是相等的，因此，阴影部分面积就等于不规则图形BDWC 的面积因 为 ABCD 是正方形，且 FA AD DE 1，则有 CD DE那么四边形 BDEC 为平行四边形，且 E 45我 们再在平行四 边形 BDEC 中来讨论 ，可以 发现不规则图形 BDW
15、C 和扇形WDE 共同构成这个平行四边形，由此，我们可以知道阴影部分面 积 平行四边形 BDEC-扇形 DEW245113608方法二：先看总的面积为 的圆，加上一个正方形，加上一个等腰直角三角形，在则阴影面积为总面4积扣除一个等腰直角三角形，一个 圆，一个 的扇形那么最终效果等于一个正方形扣除一个145的扇形面 积为 452138【巩固】求图中阴影部分的面积(单位： )cm4-3-3 圆与扇形 题库 page 8 of 42432【解析】 从图中可以看出，两部分阴影的面 积之和恰好是梯形的面积，所以阴影部分面积为 21(2)39cm【例 14】 如图，长方形 的长是 ，则阴影部分的面积是 (
16、 )ABCD8 2cm3.14【解析】 阴影部分的面积实际上是右上图阴影部分面积的一半，所以求出右上图中阴影部分面积再除以 2 即可长方形的长等于两个圆直径， 宽等于 1 个圆直径，所以右 图 的阴影部分的面积等于：2826.8所以左图阴影部分的面积等于 平方厘米 23.4【例 15】 (2007 年西城实验期末考试题)如图所示，在半径为 的图中有两条互相垂直的线段，阴影4cm部分面积 与其它部分面积 之差(大减小)是 AB221BBAA 12【解析】 如图，将 圆对称分割后， 与 中的部分区域能 对应， 仅比 少了一块矩形，所以两部分的面积差BBA为： 2218cm【巩固】一块圆形稀有金属板
17、平分给甲、乙二人但此金属板事先已被两条互相垂直的弦切割成如图所示尺寸的四块现甲取、两块，乙取、两块如果这种金属板每平方厘米价值 1000 元，问：甲应偿付给乙多少元？5cm7.5cm3cm2cm2cm5cm3cm 2cm3cm7.5cm5cm【解析】 如右上图所示， 的面积与的面积相等， 的面 积等于与的面积之和可 见甲比乙多拿的部分为中间的长方形，所以甲比乙多拿的面积为： ，而原本 应是两人2537.5.1c（ ） （ ） （ ）平分，所以甲应付给乙： (元)10524-3-3 圆与扇形 题库 page 9 of 42【例 16】 求右图中阴影部分的面积( 取 3)454520cm【解析】
18、看到这道题，一下就会知道解决方法就是求出空白部分的面积，再通过作差来求出阴影部分面积，因为阴影部分非常不规则，无法入手这样，平移和旋转就成了我们 首选的方法 (法 1)我们只用将两个半径为 10 厘米的四分之一圆减去空白的、 部分面积之和即可，其中、面积相等易知 、部分均是等腰直角三角形，但是部分的直角边 AB 的长度未知单独求部分面 积 不易，于是我们将、部分平移至一起，如右下图所示， 则、部分变为一个以AC 为直角边的等腰直角三角形，而 AC 为四分之一圆的半径，所以有 AC 10两个四分之一圆的面积和为 150，而、部分的面积和为 ，所以阴影部分的面积为 (平方厘1052150米)(法 2)欲求图中阴影部分的面积，可将左半 图形绕 B 点逆 时针方向旋转 180，使 A 与 C 重合，从而构成如右图的样子，此时阴影部分的面积可以看成半 圆面积减去中间等腰直角三角形的面积 所以阴影部分面积为 (平方厘米)210104545DCBAACB【例 17】 (第四届走美决赛试题)如图，边长为 3 的两个正方形 BDKE、 正方形 DCFK 并排放置，以 BC为边向内侧作等边三角形，分别以 B、 C 为圆心，BK 、 CK 为半径画弧求阴影部分面积()3.14
