1、多面体和旋转体一. 教学内容：1. 主要内容：多面体和旋转体2. 考点分析：多面体和旋转体每年必考，不仅有直接求多面体和旋转体的面积和体积问题，也有已知面积或体积求几何体中某些元素或元素间的关系问题，近年来即使是考查空间线面位置关系的问题，也常以几何体为依托，该部分内容不仅在选择题、填空题中考，也在解答题中出现。解答题在高考中一直保持中档题的水平，近几年高考立体几何试题多采用一题多问的形式，降低了起点，分散了难点，既有证明，也有计算，一般要求学生先证后算，证明严谨、清楚，计算准确。【典型例题】例 1. 三 棱 锥 ， ， ， ， 求 这 个PABCaACaPBCA260三棱锥的体积。分析：由题
2、设 60PO在 平 面 上 的 射 影 必 在 的 平 分 线 上又 ， ， 可 知 是 正 三 角 形BACCBA考查方向：考查三棱锥体积的常用求法。分析一： 作 在 底 面 上 的 射 影 ， 求 和 的 面 积P分析二： 注 意 到 且P1260知 AB同 理 ， 把 作 为 底 ， 则 为 高CPA分析三：割法、补法解法一：（用公式法解）如图，作底面三角形顶角 A 的平分线 AD，交 BC 于 D，过 P 点作底面的垂线，垂足为 O，由分析知射影 O 必在 AD 上，易知ABC 是正三角形，AB=2a，SaABC32 P C D A O E B 过 作 ， 垂 足 为 ， 连 ， 则P
3、EBE在 中 ， ，RtPAEPAa60aOEtg3236， ，在 中 ，t a2VSPPABC133解法二：（利用等积转换法解）在PAB 中aAB， ，260PBaa2 23()()cosAPPACBP是 直 角 三 角 形 ， ， 同 理 可 证 ， 又 C平 面在 中 ， ，PaBC32SaBC2VSPAaPAPBC133解法三：（用分割求积法解）由 解 法 二 知 ， ， 是 中 点 ， 连 结aDBPDCPDBAP， ， 平 面VVSBaACDBPAPAD2323解法四：（用补形求积法解）延长 AP 到 Q，使 PQ=a，连结 QB、QC，可得一个棱长为2a 的正四面体aPABCQB
4、C12213()例 2. 如 图 ， 已 知 直 三 棱 柱 ， 用 一 平 面 去 截 它 ， 得 截 面 ， 且 ，ABCAh1 221hS223， ， 若 的 面 积 为 ， 求 证 ：介 于 截 面 与 下 底 面 之 间 的 几 何 体 体 积 。Vh3123()A1 C1 B1 C2 B2 h3 A2 h2 C B h1考查方向：不规则几何体体积的求法分析：将不规则几何体割补成规则几何体是求其体积的基本方法。VVCABBACB222证法一： 连 结 、 、 ， 这 样 就 把 几 何 体 分 成 三 个 三 棱 锥ACB1CABABC222VSh2213VCABCABC2221VS
5、hACBCABC22222213VSh133()证法二： 连 结 、 ， 并 作 于ABCE2侧 面 底 面1EaBh平 面 ， 设 ，则 VBACAC2221313Shha()221313ShS()1323Sh()小结：证法一运用了“分割”和“等积变形”的方法，将所求的几何体分割成三棱锥，然后运用三棱锥的顶点与底面的轮换，使问题得到解决，证法二引入了参数，使运算得到了简化。例 3. 已知圆锥外切于半径为 1 的球，求当圆锥体积最小时它的表面积。考查方向：面积最值的求法。分析：用一个变量把目标函数表示出来。解法一：如图，作圆锥 SO 的轴截面，此时球的截面是该等腰三角形的内切圆 S C O1
6、A O B 连 结 ， 设 ， 则OBSB1 12是 圆 锥 的 高 ， 圆 的 半 径 是1在 中 ，Rtctg1在 中 ，SOBt2圆 锥 的 体 积V132ctgt321tt()24()tg04当 即 时 ，tgtV21283min此 时 ， ，BOS4S232BO全 侧 底 28解法二： 设 是 与 圆 的 切 点 ， 连 结 ， 设 棱 锥 高 ， 底 半 径 ， 母 线CSCSOhBr11SB=l在 中 ， ，RtOhO111SCh()22Brl hr2在 中 ，RtSOr22()rh2Vrh锥 13242()()3h2Vh锥 2483()当 ， 即 时 ， ， 此 时hVr2mi
7、nl32Srl全 底 侧 28小结：解法一是应用二次函数求最值，解法二是用基本不等式法求最值。例 4. 四面体的一条棱长是 x，其他各条棱长都是 1。（1）把四面体的体积 V 表示成 x 的函数 f(x)；（2）求 f(x)的值域；（3）求 f(x)的单调区间。考查方向：立体几何与函数的关系解：（1）如图，设 BC=x，则 S 到面 ABC 的垂足 O 是ABC 的外心连 并 延 长 交 于 ， 则 是 中 点 且OABCDADBC易 知 ，xx24422A设 的 外 接 圆 半 径 为 ， 由RabcSABC得 ，RxSOx14134222 VABC302() S C D A O B （ ）
8、21231232fxxx() ()而 为 定 值 ， ，30当 且 仅 当 即 时 ， 取 得 最 大 值xxfx22618()f()的 值 域 为 （ ，018（ ） 当 时 ， 取 得 最 大 值362xfx()又 0fx()()的 递 增 区 间 是 ， ， 递 减 区 间 是 ，062623小结：讨论函数 V(x)的性质要注意变量 x 的实际意义。例 5. 斜棱柱的底面是等腰三角形 ABC，AB=AC=10，BC=12，棱柱顶点 A1 到 A、B 、C 三点等距离，侧棱长是 13，求它的侧面积。解法一： 取 中 点 ， 则BCDA设 底 面 ， 则 在 上AO1（ 三 垂 线 定 理
9、）CB1侧 面 为 矩 形取 中 点AE1B由 53121S侧 20396 C1 A1 B1 C A O D E B 解法二：取 BC 中点 D，则 C1 A1 B1 E C A D B ADBCAD1 1平 面ECEABEC11， 过 作 于 ， 连 ， 则 平 面E为 棱 柱 的 直 截 面等 腰 中 ， 易 知A153BABcossin23Esi10S侧 ()1203396选题目的：熟练求斜棱柱侧面积的两种解法，旨在培养和提高计算能力，并令学生体会良好的逻辑思维能力是达到正确熟练运算的基础。例 6. 如图，在半径为 5cm 的球面上有 A、B 、C 三点，每两点间的距离分别是AB=6.4
10、cm，BC=4.8cm，CA=8cm，求：（1）过这三点的平面与球心 O 的距离。（2）B、C 两点间的球面距离。（3）过 OO 的球的直径 PD 的端点 P 与ABC 的三顶点组成的三棱锥 P-ABC 的侧面PBC 与底面所成的二面角。（ ） 由 点 和 的 外 接 圆 组 成 的 圆 锥 与 球 的 体 积 比4PCOA A D C P O B O M 解： （ ） 截 面1OABC在 中AC486810.： ： ： ：B为 直 角 三 角 形 ， 且 90在 上O53， ， 则故过这三点的平面和球心 O 的距离为 3cm（2） BCBC、 两 点 的 球 面 距 离 是 截 面 的 劣
11、弧 的 长在 中 ，Ocos223765 为 5376ar即 、 两 点 的 球 面 距 离 为BCcm53762aros()（ ） 取 点 为 的 中 点 ， 则 为 三 棱 锥 的 侧 面 与 底 面 所 成 二 面 角3MOMPABCP的 平 面 角而 ，POcmABc .8123在 中 ，RttgP5Marct arctg522， 故 所 求 二 面 角 为（ ） 圆 锥41348132VmPABC()cO球 350()故 ： ： ：圆 锥 球PABCO12350215【模拟试题】1. 圆台两底半径分别是 1 和 2，则这个圆台与截得它的圆锥的侧面积之比为（ ） 。A. 2：1 B.
12、1：2 C. 3：4 D. 1：42. 设正方体的全面积为 4cm，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是（ ）A. 43cB. 83C. 63cmD. 23c3. 若干毫升的水倒入底面半径为 2cm 的圆柱形器皿中，量得水面的高度为 6cm，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（ ）A. 63cmB. 6cC. 2183cD. 312c4. ABC三边长 AB=5， BC=3，AC=4，设分别以此三边为轴，把 AC旋转一周所得旋转体的体积为 VAC、 、 ， 那 么 它 们 的 大小关系是（ ）A. ABBB. VABCAC. VBCACD. VBCAB5. 三棱
13、锥的三条侧棱两两垂直，底面内一点到三个侧面的距离分别为 2cm、3cm、6cm，则这点到三棱锥顶点的距离为_。6. ABCD 是边长为 1 的正方形，E、F 分别为 BC、CD 的中点，沿 AE、EF 、AF 折成四面体，使 C、B、D 三点重合，那么这个四面体的体积等于_。7. 正方体的八个顶点中，有四个恰好为一个正四面体的顶点，那么正方体的表面积与这个正四面体的表面积之比是（ ）A. 23B. 62C. 3D. 28. 在直径为 AB=2 的半圆上有一点 P，过 P 的切线 CD 交 BA 延长线于 P，交过 B 的切线于C，现以 BD 为轴旋转得一圆锥，求圆锥体积的最小值，并求取得最小值时此圆锥的高。9. 如图，在正三棱柱 ABC1各棱长都等于 a，E 是 B1的中点， （I）求直线 C1与平面 AB1所成角的正弦值；（II）求证：平面 AC1平 面 ；（III）求点CE到 平 面 的 距 离 。 A1 C1 B1 E A C B
