1、- 1 -多 项 式 除 法 示 例多 项 式 除 以 多 项 式 的 一 般 步 骤 ： 多 项 式 除 以 多 项 式 一 般 用 竖 式 进 行 演 算 （ 1） 把 被 除 式 、 除 式 按 某 个 字 母 作 降 幂 排 列 ， 并 把 所 缺 的 项 用 零补 齐 （ 2） 用 被 除 式 的 第 一 项 去 除 除 式 的 第 一 项 ， 得 商 式 的 第 一 项 （ 3） 用 商 式 的 第 一 项 去 乘 除 式 ， 把 积 写 在 被 除 式 下 面 （ 同 类 项 对 齐 ） ， 消 去 相 等 项 ， 把 不 相 等 的 项 结 合起 来 （ 4） 把 减 得 的
2、差 当 作 新 的 被 除 式 ， 再 按 照 上 面 的 方 法 继 续 演 算 ， 直 到 余 式 为 零 或 余 式 的 次 数 低 于 除 式 的次 数 时 为 止 被 除 式 =除 式 商 式 +余 式 如 果 一 个 多 项 式 除 以 另 一 个 多 项 式 ， 余 式 为 零 ， 就 说 这 个 多 项 式 能 被 另 一 个 多 项 式 整 除多项式除以多项式的运算多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似，现举例说明如下：例 1 计算 )4(209(2xx规范解法 .5)4()209(2 xx解法步骤说明：（1）先把被除式 与除式 分别按字母的降幂排列
3、好2（2）将被除式 的第一项 除以除式 的第一项 ，得 ，这就是商的第一09x2x4xx2项（3）以商的第一项 与除式 相乘，得 ，写在 的下面42092（4）从 减去 ，得差 ，写在下面，就是被除式去掉 后的一部分2092xx205x42（5）再用 的第一项 除以除式的第一项 ，得 ，这是商的第二项，写在第一项 的x5后面，写成代数和的形式（6）以商式的第二项 5 与除式 相乘，得 ，写在上述的差 的下面420x（7）相减得差 0，表示恰好能除尽（8）写出运算结果， .5)()209(2 xx例 2 计算 376( 245 x- 2 -规范解法 )52()30796(245 xxx余 132
4、 29注 遇到被除式或除式中缺项，用 0 补位或空出；余式的次数应低于除式的次数另外，以上两例还可用分离系数法求解如例 2 )52()30796(245 xxx余 132 298什么是综合除法？由前面的问题 4 我们知道两个多项式相除可以用竖式进行，但当除式为一次式，而且它的首项系数为 1 时，情况比较特殊如：计算 )3(2(3xx因为除法只对系数进行，和 无关，于是算式（1）就可以简化成算式（2） x还可以再简化方框中的数 2、6、21 和余式首项系数重复，可以不写再注意到，因除式的首项系数是 1，所以余式的首项系数 6、21 与商式的系数重复，也可以省略如果再把代数和中的“”号省略，除式的
5、首项系数也省略，算式（2）就简化成了算式（30 的形式：- 3 -将算式（3）改写成比较好看的形式得算式（4） ，再将算式（4）中的除数3 换成它的相反数 3，减法就化为了加法，于是得到算式（5） 其中最下面一行前三个数是商式的系数，末尾一个数是余数多项式相除的这种算法，叫做综合除法，它适合于除式为一次式，而且一次项系数为 1例 1 用综合除法求 除以 的商式和余式12324xx规范解法 商式 ，余式1023x例 2 用综合除法证明 能被 整除910523x3规范证法 这里 ，所以综合除法中的除数应是3 （注意被除式按降幂排列，缺项补 0 ）)(x因余数是 0，所以 能被 整除9105223x
6、x3当除式为一次式，而一次项系数不是 1 时，需要把它变成 1 以后才能用综合除法 例 3 求 除以 的商式和余数7规范解法 把 除以 2，化为 ，用综合除法xx但是，商式 ，这是因为除式除以 2，被除式没变，商式扩大了 2 倍，应当除以 2 才是所求的23x商式；余数没有变 商式 ，余数 4127为什么余数不变呢？我们用下面的方法验证一下- 4 -用 除以 ，得商式 ，余数为 ，即723x2123x437 23 x43712x即 除以 的商式 ，余数仍为 32x2437综合除法与余数定理综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除法的有力工具。综合除法和余数定理在整个中学
7、数学中有着极为广泛的应用。本节我们将作一些初步介绍。一、综合除法一个一元多项式除以另一个一元多项式，并不是总能整除。当被除式 除以除式 得商式)(xf )0(),xg及余式 时，就有下列等式：)(xq)(r。)(xrqgf其中 的次数小于 的次数，或者 。当 时，就是 能被 整除。0)(xr)(xr)(f)(下面我们介绍一个一元多项式除以另一个一元多项式的简便运算综合除法。例 1、用综合除法求 除以 所得的商和余式。347122解： 余 式商 的 各 项 的 系 数 8263207 的商是 ，余式是 8。)()741(34xx 26322xx上述综合除法的步骤是：（1）把被除式按降幂排好，缺项
8、补零。（2）把除式的第二项-2 变成 2，写在被除式的右边，中间用一条竖线隔开。（3）把被除式的第一项的系数 2 移到横线的下面，得到商的第一项的系数。（4）用 2 乘商的第一项的系数 2，得 4，写在被除式的第二项的系数-7 的下面，同-7 相加，得到商的第二项系数-3。（5）用 2 乘商的第二项的系数-3，得-6，写在被除式的第三项的系数 0 的下面，同 0 相加，得到商的第三项的系数-6。（6）用 2 乘商的第三项的系数-6，得-12，写在被除式的第四项的系数 14 的下面，同 14 相加，得到商的第三项系数 2。（7）用 2 乘商的常数项 2，得 4，写在被除式的常数项 4 的下面，同
9、 4 相加，得到余式 8。前面讨论了除式都是一次项系数为 1 的一次式的情形。如果除式是一次式，但一次项系数不是 1，能不能利用综合除法计算呢？例 2、求 的)23()62103( xx商式 Q 和余式 R。- 5 -解：把除式缩小 3 倍，那么商就扩大 3 倍，但余式不变。因此先用 去除被除式，再把所得的商缩小 3 倍32x即可。 5416123080Q= ， R=6。542x下面我们将综合除法做进一步的推广，使除式为二次或者二次以上的多项式时也能够利用综合除法来求商和余式。例 3、用综合除法求 的商 Q 和余式 R。)23()41073( 2234 xxx解： 2312346910Q= ，
10、 R= 。5x二、余数定理余数定理又称裴蜀定理。它是法国数学家裴蜀（17301783）发现的。余数定理在研究多项式、讨论方程方面有着重要的作用。余数定理：多项式 除以 所得的余数等于 。)(xfa)(af略证：设 RQf将 x=a 代入得 。a例 4、确定 m 的值使多项式 能够被 x-1 整除。mxxf 183)(345解：依题意 含有因式 x-1，故 。)(xf 01f1311。可得17。求一个关于 x 的二次多项式，它的二次项系数为 1，它被 x-3 除余 1，且它被 x-1 除和被 x-2 除所得的余数相同。解：设 baf2)( 被 除余 1， x3139)(baf 被 除和 除所得的
11、余数相同， )(fx baf 241)2(即由得 ，代入得ab 。13)(2xf- 6 -注：本例也可用待定系数法来解。同学们不妨试一试。即： 1)(3)(2)(12 pxRnxRmxbax由 ，可得n2)(1 1,再由 ，解得 。13p0 。3)(2xf练习：1、综合除法分别求下面各式的商式和余式。（1） ；)2()76543(23xxx（2） ；481965（3） ；)()()(23 axbcacbxcax （4） ；23188593424 yxyy（5） ；)()5167( 223Xxx（6） 356 x2、一个关于 x 的二次多项式 ，它被 x-1 除余 2，被 x-3 除余 28，它
12、可以被 x+1 整)(xf除，求 。)(f3、一个整系数四次多项式 ，有四个不同的整数 ，可使)(f 4321,1)(,)(21ff，求证：任何整数 都不能使 。1)(,)(43ff )(f綜合除法：當除式 g(x)=xa 時，我們介紹綜合除法去求商式、餘式。【範例】：設 f (x)=2x4+x2 5x， g(x)= x2，求 f(x)除以 g(x)的商式、餘式。解 ：2 x 4 + x2 5x = ( 2x + 4x + 9x +23 ) ( x 2) +46 3 式餘式商 ,462394218)(050- 7 -綜 合 除 法 的 原 理 ：設 f(x)=a3x3+a2x2+a1x+a0，
13、 g(x)=xb， 若 存 在 商 式 q(x)=c2x2+c1x+c0， 餘 式 r(x)=d。由 除 法 的 定 義 ： (a3x3+a2x2+a1x+a0)=( c2x2+c1x+c0)( xb)+d經 比 較 係 數 可 得 ： dbca01bca010213上 面 的 關 係 可 寫 成 以 下 的 形 式 ：當 f(x)除以 g(x)=ax+b時，我們也可利用綜合除法求餘式 r(x)、商式 q(x)。由除法的定義： f(x)=(ax+b)q(x)+r(x)=(x+ )aq(x)+r(x)可先利用綜合除法求出 f(x)除以( x+ )的商式 q/(x)ba ba=aq(x)與餘式 r
14、(x)， 而所要求的商式 q(x)= ，餘式 r(x)不變。1a q/(x)餘式定理、因式定理除法原理：f (x)= g (x)q(x) + r(x)，deg r(x)7，由例題 13可得b7|f(b)f(7) b7|8，且 7a|f(7)f(a)=77， ba|f(b)f(a)=85，再根據這些條件，去求得 a的值， a=14，所以歐幾里得出生的年份是西元前 350年。最高公因式、最低公倍式定義：設 f(x),g(x)為二多項式，若存在多項式 h(x)使得 f(x)=g(x)h(x)，則稱 f(x)為 g(x)的因式或 g(x)為 f(x)的倍式。符號：f(x)|g(x)。範例：因為 x 1
15、=(x1)(x +x+1)，所以 x1 與 x +x+1均為 x +1的因式，x +1為 x1 與 x +x+1 322332的倍式。範例：因為 412=)(=)1(，所以 x+1，x+2，x， 都是 21432x的因式。注意：由上面兩個例子可知，若 f(x)|g(x)，則 cf(x)|g(x)(c0)。因此就一般而言，只要求出整係數的因式或倍式即可。(2)性質：若設 d(x)|f(x)，d(x)|g(x)，則 d(x)|m(x)f(x)+n(x)g(x)。公因式與公倍式： 若多項式 d(x)同時為多項式 f(x),g(x)的因式，則稱 d(x)為 f(x),g(x)的公因式。注意：d(x)=
16、c (c0)為任何兩個多項式的公因式。設 d(x) 為 f(x),g(x)的公因式，則 kd(x)(k0)亦為 f(x),g(x)的公因式，因此我們通常只取一個代表就行了。 如果多項式 f(x),g(x)除了常數以外，沒有其它的公因式，就稱它們互質。 設 f(x),g(x)都是非零多項式，如果 m(x)同時是 f(x),g(x)的倍式，那麼就稱 m(x)為 f(x),g(x) 的公倍式。設 m(x) 為 f(x),g(x)的公倍式，則 km(x)亦為 f(x),g(x)的公倍式，因此我們通常只取一個代表就行了。範例：設 f(x)=4x 1,g(x)=4x +4x+1,h(x)=2x 7x+3。
17、求 f(x),g(x)的公因式，g(x),h(x)222的公因式。因為 f(x)=(2x+1)(2x1)，g(x)=(2x+1)2，h(x)=(2x 1)(x3)，所以 2x+1,x+ ，4x+2等凡是 k(2x+1)的形式都是 f(x),g(x)的公因式。12在 g(x),h(x)中，除了常數外沒有其它的公因式，故 g(x),h(x)互質。最高公因式、最低公倍式：設 f(x),g(x)為兩多項式，如果 d(x)是它們公因式中次數最高的，那麼稱 d(x)為最高公因式(H.C.F)，符號：(f(x),g(x)=d(x)。注意 當多項式 f(x),g(x)互質時，符號：(f(x),g(x)=1。最高公因式與公因式一樣，並不是只有一個，不過任兩個最高公因式之間都只差一個常數因式，因此通常所謂兩個多項式的最高公因式，可取它們的任意一個最高公因式。設 f(x),g(x)為兩多項式，如果 m(x)是它們公倍式中次數最低的，那麼稱 d(x)為最低公倍式(L.C.M)，符號：f(x),g(x)=m(x)注意：最低公倍式也不是唯一的，不過它們之間也都只差一個常數因式。H.C.F與 L.C.M的求法：因式分解法：
