1、1第七章 参数估计习题参考答案1设 ，求 的矩估计。,0() xef解 设,0dEXx duxu1,则 =0 001() ()u ueee1故 ，所以 。EXx2. 设总体 在 上服从均匀分布，求 a 和 b 的矩估计。ba,解 由均匀分布的数学期望和方差知1()2EX（1）()()Dba（2）由（1）解得 ，代入（2）得 ， 整理得aEXb 2)(1aEX，解得2)(3DX()3()XDbE故得 的矩估计为ba, 23axb其中 。niix122)(3设总体 的密度函数为 ，求 的最大似然估计。X(;)!xef2解 设 ，则)!.()!(,)(211 nxnii exfLni11lll(!)
2、ni iiLxx11l()0, nni id4设总体 X 的密度函数为,其中 (0), 求 的极大似然估计量.解. 设(X 1, X2, Xn)是来自 X 的一样本.由极大似然估计原理,参数 的似然函数为:,上式两边取对数 似然方程为 解似然方程得 的极大似然估计量是 .5.设总体 的密度函数 已知） ，求参数 的最大似然估计。X1(,)(axfxe解 1121()(,)(.)nain xnai niLfxe 11l()ll()laiiia31ln()0naidLx解得 。niax16设总体 X 的密度函数为,求 的极大似然估计量和矩估计量.解. 设(X 1, X2, Xn)是来自 X 的样本
3、.(1)由矩估计法, .即参数 的矩估计量是 .(2) 由极大似然估计原理, 参数 的似然函数为,上式两边取对数 ,似然方程为 ,解似然方程得到参数 的极大似然估计量是4.7. 设 和 为参数 的两个独立的无偏估计量，且假定 ，求常数 和12 21Dc，使 为 的无偏估计，并使方差 最小。ddcD解 由于 ,且知 ，故得 c+d=1。)()(2121 dcEcEE又由于 22222121 )()( DdcdcD并使其最小，即使 ，满足条件 c+d=1 的最小值。f令 d=1-c，代入得 ，22)(c42()0, 62cfc解得 。31,3cdc8对方差 为已知的正态总体来说，问需取容量 n 为
4、多大的样本，才能使总体2均值 的置信水平为 的置信区间的长度不大于 L？解 由于 的置信区间为 ，故 的置信区间长度为),(22ux。所以，有 ，即 。Lun220uLn20)(Ln9. 设某电子元件的寿命服从正态分布 ，抽样检查 10 个元件，得样本均,N值 ，样本标准差 。求)(10hx)(14hs(1) 总体均值 置信水平为 的置信区间；%9(2) 用 作为 的估计值，求绝对误差值不大于 10（h）的概率。解 (1)由于 未知，s=14（h）,根据求置信区间的公式得)1(),1(22ntsxntsx)9(04),9(041( 5.5. tt5查表得 ，故总体均值 置信水平为 的置信区间为
5、25.3)9(05.t %914.8, 1204.38)(15.62, 4.38)(2)140)()()0( ntPsnxPxP1-0.05=0.952)9()()258.)9( 025.tt10. 设 为正态总体 的一个样本，确定常数 的值，使nX,.21 ,Nc为 的无偏估计。21)(niiixcQ解)()()(2)()()()( 2112 211 ini iii ii iii ni iiniii xExExcExcxc由于 ，所以有0)(iix2121 )1()( nccDxcEQnini ii由 （无偏性） ，故有 ，所以 。2)(2)(11. 为了解灯泡使用时数均值 及标准差 ，测量
6、了 10 个灯泡，得 小时，1650x小时。如果已知灯泡使用时间服从正态分布，求 和 的 95%的置信区间。 0s 解 由 ，根据求置信区间的公式得26.)9()1(025.2tnt222.6, (1)(50)1(16504.3)(65.9, 4.3ssxtnxtn查表知 ，根据求置信区间的公7.)9(),9) 275.0212.2n6式得 的置信区间为222220.50.975(1)()09, (, )(189.4, 3.)1.3.7nss而 的置信区间为 (8.24, .)(., 65)12. 岩石密度的测量误差服从正态分布，随机抽测 12 个样品，得 ，求2.0s的置信区间( 。2)1.
7、0解 查表得 ，根据求置信区间的公式得 的置信57.4)1(,675.9(29.025. 2区间为=22221).10.(, )(, )(65nssn(., 01)13 . 设两位化验员 A、B 分别独立地对某种化合物各作 10 次测定，测定值的样本方差分别为 。设两个总体均为正态分布，求方差比 的置220.549, .605Ass 2BA信度为 95%的置信区间。解 查表得 ，481.03.)9.(1).9(,3.4).().( 221025.2 FF根据求置信区间的公式得 的置信区间为2BA2 2220.50.975111(, )(, 4.03)(.2, .601)().AAAABBBBs
8、ssF14某种袋装食品的重量服从正态分布.某一天随机地抽取 9 袋检验,重量(单位:g)为510 485 505 505 490 495 520 515 490(1) 若已知总体方差 2=8.62,求 的置信度为 90%的置信区间;(2) 若已知总体方差未知,求 的置信度为 95%的置信区间.7解. 设随机变量 X 表示此种袋装食品的重量.(1) 由已知得 n=9 ,=0.1,由于 XN(, 8.6 2), 可推得 N(0, 1),因此由 得到 ( U/2)- (-U/2)=0.90即 ( U0.05)=0.95查表得 U 0.05=1.645 所以 的 90%的置信区间为.(2) 由已知得
9、n=9 , =0.05,由于总体方差未知,选取统计量t( n-1).查表得到 t /2(n-1)=t0.025(9-1)=2.306,并且计算 ,所以 的 95%的置信区间为815. 为了估计在报纸上做一次广告的平均费用,抽出了 20 家报社作随机样本,样本的均值和标准差分别为 575(元) 和 120(元),假定广告费用近似服从正态分布 ,求总体均值的 95%的置信区间.解. 设随机变量 X 表示做广告的费用.则 XN(, 2) 总体方差 2 未知, 选取统计量t(n-1)又已知 n=20 , =0.05 , , s=120查表得到 t/2(n-1)=t0.025(20-1)=2.093,所以 的 95%的置信区间为.16. 某厂分别从两条流水生产线上抽取样本： 及 ，测得1212,X 217,Y（克） ， （克） ， 。设两个正态总体的均值分别为6.10X5.9Y221.4, .7s和 ，且有相同方差，试求 - 的置信度 95%的置信区间。2 2解 由 ，得 。763.214.)()1(2 nsss 94.1763.s查表得 ）= ， （克） ，故(2t21n058.)7(05.t 1.59.0YX0.724.1.21025. nst根据求置信区间的公式得 - 的置信度 95%的置信区间为12）(XY21025.)7(nst)60.2,4()50.1(
