1、抽象函数专题讲座郑严抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊条件的函数。一.抽象函数定义域1已知 的定义域，求 的定义域()fx()fgx其解法是：若 的定义域为 ，则在 中， ，从中解得fab ()fgx()agxb 的取值范围即为 的定义域x()x例 1.已知函数 的定义域为 ，求 的定义域f15，(35)fx解： 的定义域为 ， ， ()x 4103x 故函数 的定义域为 35)f403，2、已知 的定义域，求 的定义域(fgx()fx其解法是：若 的定义域为 ，则由 确定的 的范围即)mn xn ()gx为 的定义域()fx例 2 已知函数 的定义域为 ，求函数 的定
2、义域2()fx03，()fx解：由 ，得 03 215x 令 ，则 ， 2ux()(ffu15 故 的定义域为 ()f5，二.抽象函数表达式与函数值1. 换元法.例 3. 已知 f(1+ x2)=2+ x2+x4, 求 f(x)解:令 t=1+ x2 t1=-t原式即为： 2()+()-+ft2()=-fx2.待定系数法：如果抽象函数的类型是确定的，可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。例 4.已知 f(x)是多项式函数，且 f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求 f(x).解:由已知得 f(x)是二次多项式，设 f(x)=ax2+bx+c (a0)代入比较系数得过且过:a=1,b=
3、-2,c= -1,f(x)=x 2-2x-1. 3.赋值法：有些抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。例 5.对任意实数 x,y，均满足 f(x+y2)=f(x)+2f(y)2 且 f(1) 0,则 f(2001)=_.解:令 x=y=0,得： f(0)=0,令 x=0,y=1,得 f(0+12)=f(0)+2f(1)2, ,21)n(f1)n(f1(f,ynx.21)(f,0)1(f 得令.20),)(f,n- 故即三、抽象函数的模型构造1、线性函数型抽象函数f（ x） kx（ k0）- f（ xy） f（ x） f（ y）例 6、已知函数 对任意实数 x， y
4、，均有 ，且当 时，)(f )()(0x， ，求 在区间2，1上的值域。0)(1)(f解：设 ，则 ，当 时， ， ，2010f12f ，)()( 11xxfxf ，即 ， 为增函数)(21f 2f)(x在条件中，令 y x，则 ，再令 x y0，则 ，)( )0(ff ，故 ， 为奇函数，0f)(f ，又 ，)(f 412f 的值域为4，2。x2、指数函数型的抽象函数f（ x） ax- f（ x y） f（ x） f（ y） ； f（ x y） )(fx例 7定义在 R 上的函数 满足：对任意实数 ，总有 ，且当)(f ,mn)(nmnf时， 0x1)(xf（1）试求 的值；（2）判断 的单
5、调性并证明你的结论；)(xf（3）试举出一个满足条件的函数 )(xf解：（1）在 中，)(nmfnf令 ,0m得： )0(1f因为 ，所以， )(f)(f（2）要判断 的单调性，可任取 ，且设 xf 12,xR12x在已知条件 中，若取 21,mnx，则已知条件可化为：)()(nfnmf)(1212xxf由于 ，所以 00)(12xf为比较 的大小，只需考虑 的正负即可)(,12xf (f在 中，令 ， ，则得 (nmnfxn1)(xf 时， ，0x)(xf 当 时， .01)(ff又 ，所以，综上，可知，对于任意 ，均有 1)0(f 1xR0)(1xf 0)()1212 xfxf 函数 在
6、R 上单调递减)(（3）如 xf23、对数函数型的抽象函数f（ x）lo gax（ a0 且 a1）- f（ xy） f（ x） f（ y） ； f（ ） f（ x） f（ y）例 8、已知函数 满足定义域在 上的函数，对于任意的 ，都有)(f ),0(),0(,，当且仅当 时， 成立，)(yfyf1f（1）设 ，求证 ；,0,x (xyxf（2）设 ，若 ，试比较 与 的大小；)(21 )(21f12（3）解关于 的不等式 02af证明：（1） ， ，yxyf )(yfxff )()(xyf（2） ， ，21f0)(21xff即 )()(2xf 当且仅当 时， 成立，当 时， ， ，x0f
7、)(xf12x21x（3）令 代入 得 ， ，1yx)()(yfxyf)1(1ff0关于 的不等式 为 ，由（2）012ax)(2fax可知函数 在定义域 上是减函数， ，由)(f,0(x得，当 时， ，此时 成立；当2ax )时， ，此时 成立；当 ， ，此时1a1)(2x1成立。)(4、幂函数型的抽象函数- ， ；2fx()()fxyfy()xffy例 9.已知定义在 上的函数 f(x)对任何 x,y 都有 f(xy)=f(x)f(y),且 f(x)0,当 x1 时,-,0,+有 f(x)f(x2),故 f(x)在 R+上为减函数 .(3)由（2）知函数在定义域内是单调递减的不等式 f(
8、) 即为23-4x1=()f2300 时， f(x)2， f(3) 5，求不等式 的解.3)2(af解：先证明函数 f（ x）在 R 上是增函数；再求出 f（1）3；最后脱去函数符号.得 -1,3a10.设定义在 R 上的函数 f(x),满足当 x0 时,f(x)1, 且对任意 x,yR, 有 f(x+y)=f(x)f(y),f(1)=2.1)2(f3x(f2)(f)2(;,4x3(f)1( 解 方 程解 不 等 式解:(1)先证 f(x)0,且单调递增，因为 f(x)=f(x+0)=f(x)f(0),x0 时 f(x)1,所以 f(0)=1.则使假 设 存 在 某 个又 ,0)(f,R,0)
9、(f2(f)x oo2f(x)=f(x-xo)+xo=f(x-xo)f(xo)=0,与已知矛盾，故 f(x)0任取 x1,x2R 且 x10,f(x2-x1)1,所以 f(x1)-f(x2)=f(x2-x1)+x1-f(x1)=f(x2-x1)f(x1)-f(x1)=f(x1)f(x2-x1)-10.所以 xR 时,f(x)为增函数. 解得:x|10;对任意 ,()f xR(fx,xyR有 ; .yx1()3f(1)求 的值 ;(0)f(2)求证: 在 R 上是单调增函数;x(3)若 且 ,求证: .abc2ac()2()fcfb(1)解: 对任意 ,有 0, 令 得 ,xfx0,y20()(
10、0)1ff(2)任取任取 ,则令 ,故1212,R且 123px12p函数 的定义域为 R,并满足以下条件: 对任意 ,有 0;对任意 ,()fx R()fx,xyR有 ;yf()3f 121212() ()()3ppxfpff0 f函数 是 R 上的单调增函数 .()x(3) 由（1） （2）知， ，()01fb()fb (),()a cbfaffcf ，而()()()2()acacbbbfcfff2acb 22ab ()()fcf12.定义域为R的函数f(x)满足：对于任意的实数x，y都有 f(x+y)=f(x)+f(y)成立，且当x0时f(x)0恒成立.(1)判断函数f(x)的奇偶性，并
11、证明你的结论；(2)证明f(x)为减函数；若函数f(x)在-3，3）上总有f(x) 6成立，试确定f(1) 应满足的条件； )0a,n(),afx(fn1)(fax(fn1x)( 22 是 一 个 给 定 的 自 然 数的 不 等 式解 关 于解:（1）由已知对于任意xR，yR ，f （x+y）=f（x） + f（y）恒成立令x=y=0 ，得f（0+0 ）= f（0）+ f （0） ，f（0）=0令x=-y，得f(x-x)= f(x)+ f(-x)=0对于任意x，都有f (-x)= - f(x)f (x)是奇函数.（2）设任意x 1，x 2R且x 1 x2，则x 2-x10，由已知f（x 2-
12、x1）0（1）又f（x 2-x1）= f（x 2）+ f（-x 1）= f（x 2）- f （x 1） （2）由（1） （2）得f(x 1)f(x 2),根据函数单调性的定义知f(x)在(-，+)上是减函数.f(x)在-3，3上的最大值为f(-3 ).要使f(x)6恒成立，当且仅当f(-3 )6，又f（-3 ）= - f（3）= - f （2+1）=- f （2）+ f（1）= - f（1）+ f（1）+ f（1）= -3 f（1） ，f（1）-2.（3） f（ax 2）- f（x） f（a 2x）- f （a）nn1f（ax 2）- f（a 2x）nf（x）- f （a ）f（ax 2-a2x）nf （x-a ） （10分）由已知得：fn（x-a ）=nf（x-a）f（ax 2-a2x） fn（x-a）f（x）在（-，+）上是减函数ax 2-a2xn（x-a）.即（x-a） （ax-n）0，a0，（x-a ） （x- ）0， （11分）a讨论：（1）当a 0，即a- 时，nn原不等式解集为x | x 或 xa ；（2）当a= 0即a=- 时，原不等式的解集为 ；ann（3）当 a0时，即- a0时， 原不等式的解集为 x | xa或xnn n
