1、算术平均数与几何平均数一、知识网络 二、高考考点1、运用重要不等式 a2+b22ab（a、bR）或 （a、bR +）判断或证明所给不等式的命题是否成立；2、在给定条件下求有关式的取值范围； 3、在给定条件下求有关函数的最大值或最小值；4、解决实际应用问题，以最优化问题为主要题型。三、知识要点（一）不等式的性质不等式的性质是证明与求解不等式的基本依据，为了便于记忆和运用，我们将不等式的性质划分为“基本性质” 和 “运算性质 ”两个类别。1、 关于不等式的“基本性质”（1）对称性：ab bb,bc ac （3）“数加“法则：ab a+cb+c推论：a+bc ac-b（移项法则）（4）“数乘”法则：
2、 ab,c0 acbc; ab,cb,cd a+cb+d;（2）同向的正数不等式两边“相乘” ：ab0，cd0 acbd；（3）正数不等式两边“乘方”：ab0 anbn0(n N*);（4） 正数不等式两边“开方” 认知：上述所有不等式的性质均可应用于证明不等式，但只有部分不等式的性质，可应用于解不等式，可应用于求解不等式（保证等价变形）的性质为 1（1）；1（3）；1（4）及其 2（3）；2（4）（二）基本定理及其推论定理 1：如果 a,b R，那么 a2+b22ab（当且仅当 a=b 时等号成立）推论（平方和不等式）： （当且仅当 a=b 时等号成立）定理 2：如果 a,b R+，那么 （
3、当且仅当 a=b 时等号成立）推论 1（和的平方不等式）：若 a,b R+,则（a+b） 24ab（当且仅当 a=b 时等号成立）推论 2（最值定理）：设 x,y 均为正数，则（1）当积 xy 为定值 P 时，和 x+y 有最小值 （当且仅当 x=y 时取得）；（2）当和 x+y 为定值 S 时，积有最大值 （当且仅当 x=y 时取得）；四、经典例题例 1 （1）若 x,y R+且 的最大值.（2）若 x,yR 且 xy0，x 2y2，求 uxyx 2 的最小值.分析：注意运用最值定理解题的要领：一正二定三相等（1）欲求积 的最大值，首先致力于 “凑因子”，为凑出已知条件下 “和为定值”的正数
4、之积而变形 u，若 u 的表达式的部分因子在根号外，则可考虑使这一部分进入根号或考察 u2： （2）欲求和 xy+x2 的最小值，首先致力于 “凑项”，为凑出已知条件下 “积为定值”的正数之和而变形 u，若有可能，将 u 化为一元函数，问题分析会更明朗一些。解：（1）注意到这里 x0，u0 ， = （当且仅当 ） 时等号成立）。（2）由已知得 =3(当且仅当时成立) u min=3（当且仅当 x=1 且 y=2 时取得）点评：遇“积 ”凑因子，在主体部分凑出 “若干因子之和为定值”的形式；遇“ 和 ”则凑项，在主体部分凑出“若干项之积为定值”的形成，完成此番设想后，进而再考察有关各数 “相等”
5、的可能性。例 2 （1）若 x,y,a,b R+，ab ，且 ，求 ux+y 的最小值；（2）若 00，求 的最小值.分析： 对于（1）如何利用 ,这一条件通常用法多是作“1 的替换”或作“ 三角替换”；对于（2），注意到这里 0c (利用三角形的普通性质) a+b+c2c 又 a+b+c=4 c0，则由得 ；若 bbc，不等式 恒成立，求 k 的最大值（2）已知 x,y R+,且不等式 恒成立，求 a 的最小值分析：此恒等式问题与最值有着千丝万缕的联系，而寻求有关式子的最值的基本手段之一是利用重要不等式。解：（1）abc 原不等式恒成立 恒成立 令 则 ku 的最小值 又 (分子主动与分母沟
6、通联系) 4（当且仅当 时等号成立）u min=4(当且仅当 a+c=2b 时取得) 于是由、得 k4，即 k 的最大值为 4（2）不等式 恒成立 恒成立 恒成立(为便于利用重要不等式而变形) 恒成立(化生为熟转化成功) 令 则 au 的最大值 x，yR + (当且仅当x=y 时等号成立)(当且仅当 x=y 时等号成立) (当且仅当 x=y 时取得) 于是由、得 ，即 a 的最小值为 例 5已知 a,b R+，且 a+b=1，求证：（1） （2） （3） （4） （5） （6） 分析：对于条件不等式的证明，条件的适当运用是证明的关键环节，对于题设条件中的等式的应用，主要有三个方面（i） 直接代
7、入：以 a+b=1 或（a+b） 2=1 代入；（ii ） 换元转化：令 a=cos2 ,（iii）借助“外因” 联合推理：由已知等式联想有关的重要不等式，二者联合导出已知条件的延伸。联想 1：由已知等式本身联想重要不等式： a,b R+，且 （1）由左边 a+b 联想重要不等式 （当且仅当 a=b 时等号成立） （当且仅当 a=b 时等号成立） （当且仅当a=b 时等号成立）（2） （当且仅当a=b 时等号成立）联想 2：由已知等式的等价变形联想重要不等式 （当且仅当 a=b 时等号成立） （当且仅当 a=b 时等号成立） 这与联想 1 中推出的结果殊途同归. 对已知条件作以上挖掘延伸之后,
8、再证明所给例题便是水到渠成。证明：（1）证法一(分析转化、化生为熟 )：原不等式 又 不等式（*）成立， 原不等式成立。证法二：（化整为零，化隐为明）；注意到 当且仅当 时等号成立同理 (当且仅当 时等号成立)(当且仅当 时等号成立)(2)利用前面的推论，左边 (3)略(4)利用前面的结论,左边 (当且仅当时等号成立)(5)利用前面的推论得 为了构造同向不等式,对左边配方:左边 (当且仅当 时等号成立) (当且仅当 时等号成立)(当且仅当 时等号成立) (当且仅当时等号成立 )(6) 解法一:( 为了构造“同向不等式”)硬性提取 后再作变形 ):左边 (当且仅当 时等号成立) (当且仅当 时等
9、号成立)左边 (当且仅当 时等号成立 )解法二:仿(5)之解法,留给同学们练习点评（1)的证明告诉我们,对于感觉生疏的不等式的证明 ,要注意通过等价变形来认知它的本来面目;其它问题的证明则告诉我们,条件不等式的证明中,已知条件延伸的主要方向,品悟本例的证明思路,对证明其它的条件不等式具有重要的启示或迁移作用。例 6、（1）已知 x,y R+，且 x+y=1，试求(i) 的最小值； （ii） 的最小值。（2）已知 a,b R+，且 a3+b3=2，求证： （i）ab1; (ii)a+b2分析： 对于（1）本质上是例 5 （5）（6）的改作题；对于（2），仍可仿照例 5 中已知条件的延伸手法来寻觅
10、解题思路解：（1）从略(2)证明：注意到已知条件 a3+b3=2 (a+b)(a2+b2-ab)=2 (i) 由 式左边联想重要不等式 a 2+b22ab 由得 a 2+b2-abab0 由得 (当且仅当 a=b=1 时等号成立) 由、得 （当且仅当 a=b=1 时等号成立）（ii）由式左边联想重要不等式 由、得 (当且仅当 a=b=1 时等号成立) （a+b） 38 a+b2(当且仅当 a=b 时等号成立) 命题得证点评：前事不忘，后事之师，学习中要注意知识、方法与策略的迁移，对于（2），也可以根据已知条件 a3+b3=2“实施等量替换”，只是效果不一定理想，事实上， 设则 ；（i）得证；
11、而 a+b2 则难以证明 ,同学们不妨一试.五、高考真题1、对于 0-1,则 （2）若正整数 m 和 n 满足 mn，则 （3）设 P(x1,y1)为圆 01；x 2+y2=9 上任一点，圆 O2 以 Q（a,b）为圆心且半径为 1，当（a-x 1） 2+(b-y1)2=1时，圆 01 与圆 O2 相切。 其中假命题的个数为（ ）A0 B.1 C.2 D.3分析：逐一考察每个命题：对于（1）作辅助函数 在（-1， ）上为增函数.ab-1, f(a) f(b),即 ，（1）为真命题；对于（2），由已知得 m0， n-m0,由平均值不等式得 （2）也是真命题；对于（3），注意到圆 O2 的方程为（x-a） 2+(y-b)2=1，故由题设知点 P 亦在圆 O2 上，即点 P 为圆 O1 与圆 O2 的公共点 圆 01 与圆 O2 相切，从而（3）为假命题于是由上述分析可知，本题应为 B。
