1、1众所周知，不等式解法是不等式这一板块的高考备考重点，其中，含有参数的不等式的问题，是主考命题的热点，又是复习提高的难点。 （1）解不等式，寻求新不等式的解集；（2）已知不等式的解集（或这一不等式的解集与相关不等式解集之间的联系），寻求新含参数的值或取值范围。（3）注意到上述题型（2）的难度与复杂性，本专题对这一类含参不等式问题的解题策略作以探索与总结。一、立足于“直面求解”解不等式的过程是一系列等价转化的过程，对于有关不等式的“解” 的问题，直面不等式求解，有时是问题解决的需要，有时是解决问题的基础或手段。所给问题需要在获得不等式的解集或最简形成后，方可延伸或突破时，则要果断地从求解不等式切
2、入。 例 1.设关于 x 的不等式 （1）解此不等式； （2）若不等式解集为（3，+ ），求 m 的取值范围；（3）若 x=3 属于不等式的解集，求 m 的取值范围分析：着眼于不等式的等价变形，注意到这里 m20,m2 同乘以不等式两边，则不等式转化为 axb 型，于是可以 x 的系数 a 的取值为主线进行讨论。解： （1）由题设，原不等式 m（x+2）m 2+(x-3) (m R，m0)(m-1)xm2-2m-3 (1) 当 m1 时，由（1）解得 当 m=1 时，由（1）得 x R; 当 m1 时，原不等式的解集为 当 m=1 时，原不等式的解集为 R当 mm 2-2m-3 m2-5m0
3、以及 ， m 的取值或取值范围由此而产生。例 2已知关于 x 的不等式组 的整数解的集合为-2,求实数 R 的取值范围。分析：由题设知,这一不等式组的解集只含有一个整数-2, 那么当 x= -2 属于这一成员不等式时,该不等式的解集是何种情形,这需要解出不等式后方可作出结论,故考虑以求解这一成员不等式切入并延伸。解：不等式 x2-x-20 (x+1)(x-2)0 x2不等式 x 2-x-20 的解集 A=（-，-1） （2，+ ），显然-2 A不等式 2x2+(2R+5)x+5R0 解法一:（分类讨论）：由已知不等式解集的形式得：1-a0 且 1-a1以下以 式左边多项式的根 与 1 的大小为
4、主线展开讨论：（1）当 01，即 a1 这与题设条件不符 于是由（1）、（2）所得 a 的取值范围为 解法二：（利用对一元二次不等式解集的认知）原不等式 （1-a）x-1(x-1)0 又原不等式的解集为（- ，1）（2，+） 注意到一元二次不等式解集端值必为相应方程的根 所求 a 的取值范围为 点评：这里“化生为熟” 的手段是“ 不等式的等价变形”一般地，若一元二次不等式（ax+b）（cx+d）0 的解集为（ -，x 1） (x 2 ,+),则必需（1）ac0 （2）x 1 为方程 ax+b=0 或 cx+d=0 的实根； x2 为方程 ax+b=0 或 cx+d=0 的实根；例 2.若不等式
5、 的解集为(-3,-1) 2,+ ）,求实数 a 的值分析:对于这类不等式或比较复杂的分式不等式问题,例 2 的解题思路能起重要的启示作用.解:原不等式 (x+a)(x2+4x+3) 0(x2+4x+30) (x+1)(x+3)(x+a)0(x-1,且 x-3)设 f(x)=(x+1)(x+3)(x+a)(x-3 且 x-1) 则原不等式 f(x) 0由题设知 x=2 为方程 f(x)=0 的根, f(2)=0 a=-2 所求实数 a=-2 点评：利用一元二次不等式ax2+bx+c0 的解集与一元二次方程 ax2 +bx+c=0 的根之间的关系，可使问题简单化。2、化生为熟之二：转化为集合间的
6、关系问题，集合既是数学中的原始概念，又是数学问题的基本载体。同样，集合间的关系既是数学理论的基础，又是问题转化的目标，关于两个不等式（或方程）的解的关系问题，向着集合间的关系问题转化，是化生为熟的主要方向之一。例 1.若对 中的一切实数 a，满足不等式 0,于是由(5)、（6）得 b 的取值范围为 。点评：当解题过程中出现二次三项式时，配方成为解题的基本方法与基本技巧。例 2.要使满足关于 x 的不等式 2x2-9x+a0 对任何 x R 恒成立 a0 且 =b2-4acm 对一切实数 x 恒成立，求实数 m 的取值范围。解： （1）注意到对任意 x R，总有 x2+x+10 对任意 x R
7、恒 成立对任意 x R 恒有 3x2+2x+2m（x 2+x+1）成立 对任意 x R 恒（3-m）x 2+(2-m)x+(2-m)0 成立注意到 m N*， m=1（2）设 f(x)=|x+1|+|x-2|,则 f(x)m 对一切实数 x 恒成立m0 的解集为（x 1, x2） a0 的解集为（-, x 1）（x 2,+） a0 且 x1, x2 为一元二次方程 ax2+bx+c=0 的实根。于是由此不等式所含的数 和 ax 想到：借助换元，将所给问题，转化为一元二次不等式问题。解：设 t= ，则 t0 且原不等式 由题设知关于 t 的不等式 (t0)的解集为（ 2， ）一元二次方程 的两根
8、为 2， 由韦达定理得 由此解得 点评：这里“化生为熟” 的手段是“ 换元”，变量转换，是使问题完成从“无理”向“ 有理”的质的转变的重要手段.例 2定义在 R 上的函数 f(x)既是奇函数，又是减函数，当 x 0， 时，f（sin 2x-msinx+m）+f(-2)0 恒成立，求 m 的取值范围.分析：注意到这里含有抽象的函数符号“f”，故首先想到通过“反用” 单调性的定义脱去“f”，将所给问题转化为普通的不等式恒成立的问题；又注意到“f ”之下是关于 sinx 的二次三项式，为使有关不等式以及解题过程双双简明，考虑第二6次转化时运用变量转换.解：由 f(x)为奇函数得-f(-2)=f(2)
9、 f(sin 2x-msinx+m)-f(-2) 当 x 0， 时恒成立f(sin2x-msinx+m)f(2) 当 x 0， 时恒成立 令 sinx=t, 则由 x 0， 得 0t1由得 f(t2-mt+m)f(2) 当 t 0，1时恒成立 又f(x) 在 R 上为减函数， 由得 t 2-mt+mm（x 2-1）对于 m -2，2 成立，求 x 的取值范围分析：注意到这里限定 m 的范围，所以若将已知不等式视为关于 m 的一次型不等式，则所给问题便转化为：已知关于 m 的一次型不等式在 m -2，2上恒成立，求其系数中所含 x 的取值范围，于是，利用一次函数的单调性便可轻易破解 解：原不等式
10、 （1-x 2）m+(2x-1)0 f(m)=(1-x 2)m+2x-1则 f(m)为 m 的一次函数或常数函数，其几何意义为直线，于是原不等式对任意 m -2，2成立x 点评：上述解法的详细过程为分类讨论:7（i）当 1-x20 -10(-2m2)得 f(-2)0 (ii)当 1-x21 时,f(m)在-2,2上为减函数由 f(m)0(-2m2)得 (iii)当 1-x2=0 x=1 时 当 x=1 时 f(m)=10 当 x=-1 时 f(m)=-30 不成立,综上(i)(ii)(iii)得所求的 x 的取值范围为 例 2. 已知对于满足 p=16sin3,且 - , 的所有实数 p,不等
11、式 log22x+plog2x+12log2x+p 恒成立,求实数 x 的取值范围. 分析:由题设易得 p -2,2,所给不等式为 log2x 的二次不等式 ,也可视为 P 的一次型不等式,由此想到以 P 为主元考察并转化问题. 解：由 P=16sin3, 又不等式 log22x+plog2x+12log2x+p log22x+(P-2) log2x+(1-P)0 ( 以 x 为主元)（log 2x-1）P+ （log 22x- 2log2x+1）0 ( 以 P 为主元) 设 f(p)=(log2x-1)p+(log2x-1)2 注意到当 log2x=1 即 x=2 时原不等式不成立故 f(p
12、)为 p 的一次函数，并且由 得所给问题等价于 f(p)在区间-2，2上恒大于 0所求实数 x 的取值范围为 点评：在这里不可忽略考察（3）中 P 的关系 log2x-1=-0 的料情形，事实上，当 log2x-1=0 即 x=2 时原不等不成立，故这里 x2，即这里的 f(p)不存在为常数求的情形若 a,b -11且 ab，则有 （1）判断 f(x)在区间-1，1的单调性；（2）解不等式 （3）若 f(x)m2-2am+1 对所有 x -1，1，a -1,1恒成立，求 m 的取值范围。分析：注意到这里 f(x)为轴象数，故（ 1）的数解只能运用数的单调性定义，而 f(x)的单调性一经确定，便
13、为（2）的推理以及（3）的转化奠定理论基础。解：（1）设 x1, x2 -1,1且 x10并且由题设得 f(x 1)-f(x2)0，设x0 （0，+）， y=kx+m 是曲线 y=f(x)在点（x 0 f(x0)）处的切线方程，并设函数 g（x）=kx+m （1）用 x0 f(x0),f(x0)表示 m； （2）证明：当 x （0，+ ）时，g（x）f(x)；（3）若关于 x 的不等式 在0， +）上恒成立，其中 a,b 为实数，求 b 的取值范围及 a 与 b所满足的关系。 分析与解答： 1、 分析：注意到我们对上面定义的陌生，故首先想到从本题对运算的定义切入，将有关不等式转化为普通不等式：
14、 由所给定义（x-a） (x+a)0 对 x R 恒成立=1-4（1-a 2+a）4即当 m （-，-1）（4,+ ）时 ,命题 Q 正确 （3）于是由（2）、（3）知，当命题 P、Q 同时正确时，m 的取值范围由（-，-1 ）（4,5 6，+）。点评：在这里命题 Q 的转化：注意到 f(x)在 R 上可导，所以 f（x）在 R 上存在极值，只需 f(x)可取正值、负数与零值，又 f（x）是二次项系数为正数的二次函数，且在 R 上连续，故只 f(x)的最小值小于 0，这一步步化隐为明的转化,值得我们品悟与借鉴.3、 分析：（1）注意到导数的几何意义，考虑从写出曲线 y=f(x)在（x 0,f(
15、x0)）处的切线方程切入；（2）注意到利用（1）的结果，有关函数的极值易于解决，故考虑设 h（x）=g(x)-f(x)(x0) ，而后证明 h(x)的最小值为 0；对于（3）中的连号不等式，容易想到对其“一分为二” 考察，而后“合二为一” 结论.解：（1）由导数的几何意义得： 曲线 y=f(x)在（x 0,f(x0)）处的切线方程为y-f(x 0)=f(x0)（x-x 0） 即 y=xf(x0)+ f(x0)- x0f(x0) m= f(x 0)- x0f(x0)(2)证明：令 h（x）=g (x)- f(x) 则 h(x)= f(x0)- f(x), h(x 0)=0f(x)递减，h(x)递
16、增 当 xx0 时， h(x) h(x 0)=0当 00 且 0b1是所给不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立。（i）关于 x 的不等式 x2+1ax+b 对任意 x 0, +）恒成立 (1）设 g(x)=x2-ax+(1-b)， 则 g(x)=2x-a (ii) 设 , 关于 x 的不等式 ,对任意 x 0，+）恒成立p(x) 0对任意 x 0，+）成立 （4）令 p（x）=0 得 x=a-3 当 0a-3 时 p（x）0 当 x=a-3 时，p(x)取得最小值 P（a -3） (5)p(x) 0 对任意 x 0，+）成立 p(a-3) 0于是综合(i),(ii)不等式 的充要条件是： 易见存在 a,b 使 成立的充要条件是不等式 解此不等式得： 所求 b 的取值范围为 a 与 b 所满足的关系式为 10点评：循着由“粗略” 到“精细”的顺序，首先考察所给连号不等式的某一局部成立的情形，从中寻出这一不等式成立的必要条件，于是，下面的讨论便可在这一条件下进行.如此，有效地减少了讨论的头绪，从而简化了整个解题过程 .
