1、第二章 导数与微分第一节 导数的概念教学目的：理解导数的概念及几何意义会求平面曲线的切线和法线,了解导数的物理意义,理解函数连续性与可导性之间的关系教学重点：导数的概念,导数的几何意义教学难点：导数定义的理解,不同形式的掌握教学内容：1. 函数在一点的导数为了给出导数的概念，我们先看下面两个问题。（1）直线运动的速度设某点沿直线运动。在直线上引入原点和单位点（即表示实数 1 的点） ，使直线成为数轴。此外，再取定一个时刻作为测量时间的零点。设动点于时刻 在直线上的位置的坐标t为 （简称位置 ） 。这样，运动完全由某个函数sstfs所确定。这函数对运动过程中所出现的 值有定义，称为位置函数。在最
2、简单的情形，该t动点所经过的路程与所花的时间成正比。就是说，无论取哪一段时间间隔，比值经过的路程所花的时间总是相同的。这个比值就称为该动点的速度，并说该点作匀速运动。如果运动不是匀速的，那么在运动的不同时间间隔内，比值会有不同的值。这样，把比值笼统地称为该动点的速度就不合适了，而需要按不同时刻来考虑。那么，这种非匀速运动的动点在某一时刻（设为 ）的速度应如何理解而又如何求得呢？0t首先取从时刻 到 这样一个时间间隔，在这段时间内，动点从位置 移动到0t 0tfs。这时由式算得的比值tfst 00tfts可认为是动点在上述时间间隔内的平均速度。如果时间间隔选得较短，这个比值在实践中也可用来说明动
3、点在时刻 的速度。但对于动点在时刻 的速度的精确概念来说，0t 0t这样做是不够的，而更确切地应当这样：令 ,取 式的极限，如果这个极限存在，设0t为 ，即 ，这时就把这个极限值 称为动点在时刻 的（瞬时）速度。0v00limtft0v0t（2）切线问题圆的切线可定义为“与曲线只有一个交点的直线” 。但是对于其它曲线，用“与曲线只有一个交点的直线”作为切线的定义就不一定合适。例如，对于抛物线 ，在原点2xy处两个坐标轴都符合上述定义，但实际上只有 轴是该抛物线在点 处的切线。下面给OxO出切线的定义。设有曲线 及 上的一点 （图 2-1） ，在点 外另取 上一点 ，作割线 。CMCNM当点 沿
4、曲线 趋于点 时，如果割线 绕点 旋转而趋于极限位置 ,直线NNT就称为曲线 在点 处的切线。这里极限位置的含义是：只要弦长 趋于零，MT也趋于零。现在就曲线 为函数 的图形的情形来讨论切线问题。设 是曲线xfy0yx，上的一个点（图 2-2） ，则 。根据上述定义要定出曲线 在点 处的切线，C0 CM只要定出切线的斜率就行了。为此，在点 外另取 上的一点 ，于是割线MyxN，的斜率为MN，00tanxfxy其中 为割线 的倾角。当点 沿曲线 趋于点 时， 。如果当 时，NC00x上式的极限存在，设为 ,即k00limxfx存在，则此极限 是割线斜率的极限，也就是切线的斜率。这里 ，其中 是切
5、线k tank的倾角。于是，通过点 且以 为斜率的直线 便是曲线 在点 处MT0fM， kMTC的切线。事实上，由 以及 时 ，可见 时（这时NT0x0x） ， 。因此直线 确为曲线 在点 处的切线。0NC我们撇开这些量的具体意义，抓住它们在数量关系上的共性给出导数的概念。图 2-1 图 2-2定义 设函数 在点 的某个邻域内有定义，当自变量 在 处取得增量xfy0 x0（点 仍在该邻域内）时，相应地函数 取得增量 ；xx0 yffy如果 与 之比当 时的极限存在，则称函数 在点 处可导，并称这yx0个极限为函数 在点 处的导数，记为 ，即xf00xy，ffxyx 000limli0也可记作
6、， 或 。0xf0xd0xf函数 在点 处可导有时也说成 在点 具有导数或导数存在。f f0x导数的定义式也可取不同的形式，常见的有 hffxfh000lim和 000lixfxfx注：函数在一点的导数的几何定义： 是曲线 在 点的切线斜率；ffy0xf，路程 对时间 的导数 是 时刻的速度；tSt0tS在抽象情况下， 表示 在 点变化的快慢。0xfxfy02. 可导与连续的关系设函数 在点 处可导，即 存在。由具有极限的函数与无穷小fyxfyx0lim的关系知道， ，其中 当 时为无穷小。上式两边同乘以 ，得x x。xfy由此可见，当 时， 。这就是说，函数 在点 处是连续的。所以，0x f
7、yx如果函数 在点 处可导，则函数在该点必连续。fy另一方面，一个函数在某点连续却不一定在该点处可导。3. 左导数与右导数根据函数 在点 处的导数 的定义，是一个极限，而极限存在的充分必要xf00xf条件是左、右极限都存在且相等，因此 存在即 在点 处可导的充分必要条件xf0是左、右极限及 hxffh00limhffh00lim都存在且相等。这两个极限分别称为函数 在点 处的左导数和右导数，记作f0x及 ，即0xf0f， 。hxfffh000lim hxfffh000lim现在可以说，函数在点 处可导的充分必要条件是左导数 和右导数 都存在0x 0xf0f且相等。如果函数 在开区间 内可导，且
8、 及 都存在，就说 在闭区fba， afbfxf间 上可导。ba，4. 求导练习下面根据导数定义求一些简单函数的导数。例 1 求函数 （ 为常数）的导数。Cxf解： ，即 。这就是说，常数的0limlim00 hChxffh 导数等于零。例 2 求函数 （ 为正整数）在 处的导数。nxfa解： 。1121lilili nnnaxnaxax aff 把以上结果中的 换成 得 ，即 。1nf1nn更一般地，对于幂函数 （ 为常数） ，有 。这就是幂函数的导数xyx公式。利用这公式，可以很方便地求出幂函数的导数，例如：当 时， （ ）的导数为21210，即 ；211221xxx21当 时， （ ）的
9、导数为y10，即 。211xx 21x例 3 求函数 的导数fsin解： 2sinco21limsnsilmlim000 hxhhxhxfxf hh ，xxh cos2incosli0即 。ssin这就是说，正弦函数的导数是余弦函数。用类似的方法，可求得 ，这就是说，余弦函数的导数是负的正弦函数。xico例 4 求函数 （ ）的导数。xaf 10，解： ahahahfxf xxxh ln1limlilim000 即 。xln这就是指数函数的导数公式。特殊地，当 时，因 ，故有ea1l。x上式表明，以 为底的指数函数的导数就是它自己，这是以 为底的指数函数的一个重e e要特性。例 5 讨论 在点
10、 连续性与可导性12xf，解： limli1ffxx，在 不连续，即 在 不可导。x1例 6 讨论 在点 连续性与可导性21xf， ，解： 21lim1li121 xxffxlili1 ff xx在 可导，当然在 点连续。f，2例 7 讨论 1xxf，解： 12limlilimli 111 xff xxxx，在 连续1li1li1 xxffx2在 不可导。f例 8 已知 ，求Axf0hxffh00lim解： ffh00limhxffxffh 0000li ffffh 0000liAxf20例 9 已知 ， ，求1431lim0xfx 0f解： 4032132lim3li 00 fxfff xx
11、6f小结：本节讲述了导数的定义,导数的几何意义,可导与连续之间的关系,作业：作业卡 P10P12第二节 函数和差积商的求导法则，反函数的导数教学目的：掌握导数的四则运算法则，掌握基本初等函数的求导公式，会求反函数的导数教学重点：导数的四则运算法则，反函数求导方法教学难点：反函数求导教学内容：1. 函数和、差、积、商的求导法则根据导数定义，很容易得到和、差、积、商的求导法则（假定下面出现的函数都是可导的） 。（1） xvuxvu（2） xcwuvvuw（3） xx2这里仅证（2） hfffh0limxvuxvu xvuhxvuhh 1li0 xvuxh0limhxvxuhhhh 000 liml
12、ilixvux例 1 ，求 。ytany解： xxy 2cosinsincositan ，22es1si即 。x2sctan这就是正切函数的导数公式。例 2 ，求 。xysecy解： ，xxxtansecoincos1os122即 。tae这就是正割函数的导数公式。用类似方法，还可求得余切函数及余割函数的导数公式：，xx2csot。otcs2. 反函数的导数若 存在且不为零，则 。由该公式我们可以由直接函数的导数，求出其反dxydxy1函数的导数。例 3 设 为直接函数，则 是它的反函数。函数 在开区yxsinxyarcsinyxsin间 内单调、可导，且 。因此，由公式 ，在对2，YI 0o
13、i dx1应区间 内有 。但1，xIyxcos1sinarci（因为当 时， ，所以根号前只取正22sincoyy20s号） ，从而得反正弦函数的导数公式： 21arcsinx用类似的方法可得反余弦函数的导数公式：21arcsinxx同样我们可得到 2rt1coxaalnlg3. 导数的基本训练（1） xylnsi（2） e2（3） lxy（4） e（5） bacxy2（6） sinl小结：本节讲述了导数的四则运算法则，求反函数的导数的方法作业：作业卡 P13P14第三节 复合函数的求导法则教学目的：掌握复合函数的求导法则，熟练复合函数的求导方法教学重点：复合函数的求导法则教学难点：理解复合函数的求导方法教学内容：1 复合函数求导复合函数求导法则 如果 在点 可导，而 在点 可导，xu0ufy0x则复合函数 在点 可导，且其导数为xfy0。00xufdyx证： 由于 在点 可导，因此ufy00limufyu存在，于是根据极限与无穷小的关系有，0f其中 是 时的无穷小。上式中 ，用 乘上式两边，得0uu。fy0当 时，规定 ，这时因 ，0uf而 右端亦为零，故 对 也成立。用ufy0 y0u除 两边，得x，xuufx0于是 。fyxx 00limli根据函数在某点可导必在该点连续的性质知道，当 时， ，从而可以0xu推知
