1、1河北省衡水中学 2017 届高三下学期第二次摸底考试数学（文科）考生注意：1本试卷分必考部分和选考部分，共 150 分。考试时间 120 分钟。2请将各题答案填在试卷后面的答题卡上。3本试卷主要考试内容：高中全部内容。必考部分一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合 AkN|10k， |2Bxn或 3,N，则 AB（ ）A 6,9 B 3,69 C 1690 D,02若复数 z满足 21i3i(为虚数单位） ，则复数 z在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3已知命题
2、:p一组数据的平均数一定比中位数小；命题 :1,log2labqab，则下列命题中为真命题的是 （ ）A q B pq C. p Dp4. 设函数4,12xaf，若 243f，则实数 a（ ）A 3 B 4 C. 43或 2 D 2或 25若实数 ,xy满足条件2103xy，则 432zxy的最大值为（ ）A 14 B 4 2C. 419 D 4236运行如图所示的程序框图，输出的结果 S等于（ ）A B 1 C. 5 D 537若以 2为公比的等比数列 nb满足 2221logl3nnbn，则数列 nb的首项为（ ）A 1 B 1 C. D 48已知函数 gx的图象向左平移 3个单位所得的奇
3、函数cos0,f A的部分图象如图所示，且 MNE是边长为 1的正三角形，则 gx在下列区间递减的是 （ ）A 53,2 B 94,2 C. 1,3 D 1,269已知 12,F分别是双曲线 2:10,xyCab的左、右焦点， ,MN分别是双曲线 C的左、右支上关于 y轴对称的两点，且 12FON，则双曲线 的两条渐近线的斜率之积为（ ）A 4 B 43 C. 32 D 4210如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A 28312 B 64 C D11椭圆 210yxb的左焦点为 F，上顶点为 A，右顶点为 B，若 FA的外接圆圆心 ,P
4、mn在直线 yx的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为 （ ）A 2,1 B 1,2 C. 20, D 10,212设函数 3(xgeaR,e为自然对数的底数） ，定义在 R上的连续函数 fx满足：2ff，且当 0时， fx，若存在0|xfx，使得 0gx，则实数 a的取值范围为（ ）A 1,2e B ,2e C. 1,2e D ,2e4二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一 240人、高二 20人、高三 n人中，抽取 90人进行问卷调查.已知高一被抽取的人数为 36，那么高三被抽取的人数为 14 RtABC中， ,4
5、,5,(,2ABCAMBCR)） ，若 AMBC，则 15 九章算术是我国古代一部重要的数学著作，书中给出了如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐，齐去长安一千一百二十五里.良马初日行一百零三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢？”其大意:“现有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是 125里.良马第一天走 103里，之后每天比前一天多走 13里.驽马笫一天走 97里，之后每天比前一天少走 .里.良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇？”在这个问题中驽马从出发到相遇行走的路程为 里.16点 M是棱长为 2的正方体 1ABCD
6、的内切球 O球面上的动点，点 N为 1BC上一点， 1,NBN，则动点 M的轨迹的长度为 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分 12 分）在 AC中，内角 ,的对边分别为 ,abc，已知 24os4sin3BC. （1）求 ；（2）若 243cosbAB，求 A面积.18. （本小题满分 12 分）如图是某市 2017 年 3 月 1 日至 16 日的空气质量指数趋势图，空气质量指数 AQI小于 10表示空气质量优良，空气质量指数大于 20表示空气重度污染. （1）若该人随机选择 3 月 1 日至 3 月 14 日中的
7、某一天到达该市，到达后停留 3天（到达当日算天)，求此人停留期间空气重度污染的天数为 1天的概率；（2）若该人随机选择 3 月 7 日至 3 月 12 日中的 2天到达该市，求这 2天中空气质量恰有 1天是重度污染的概率.519. （本小题满分 12 分）如图，四棱锥 PABCD中，平面 PA平面 BCD，底面 A为梯形， /,23,F，且 P与 B均为正三角形， G为 的重心.（1）求证： /F平面 ；（2）求点 到平面 的距离.20. （本小题满分 12 分）已知抛物线 2:0Cypx的焦点为 ,FA为 C上位于第一象限的任意一点，过点 A的直线l交 于另一点 B，交 轴的正半轴于点 D.
8、（1）若当点 A的横坐标为 3，且 为等腰三角形，求 的方程；（2）对于（1）中求出的抛物线 ，若点 01,2x，记点 B关于 x轴的对称点为,E交 x轴于点 P，且 ，求证：点 P的坐标为 0,x，并求点 P到直线 AB的距离d的取值范围.21. （本小题满分 12 分）函数 21ln(fxxaR)， 23xge.（1）讨论 的极值点的个数；（2）若 0,fg.求实数 a的取值范围；求证： x，不等式 212xeex成立.选考部分请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中 xOy中，曲
9、线 C的参数方程为 cos(2inxaty为参数， 0a）. 以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 l的极坐标方程为 cs24.（1）设 P是曲线 C上的一个动点，当 23a时，求点 P到直线 l的距离的最大值；（2）若曲线 上所有的点均在直线 l的右下方，求 的取值范围.23. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知定义在 R上的函数 ,fxmxN，且 4fx恒成立.（1）求实数 m的值；6（2）若 0,1,3ff，求证： 418.数学（文科）参考答案一、选择题1-5: DCBAD 6-10: CDBCB 11-12：AB二、填空题13. 24 14. 25
10、16 15. 85 16. 305三、解答题17. 解：(1) 1cos44sin2cos2sin2cos2BCBCBC13,A, 0,3A.(2) 222224bcacbc a,2222223bac,2222 2240,03bacAbca,31310,3,sin2ABCScb.18. 解：(1)设 i表示事件“此人于 3 月 i日到达该市” 1,2.4i.依题意知， 14iPA，且ijAj.设 B为事件“此人停留期间空气重度污染的天数为 天” ，则 356710BA，所以35671054PPAPA，即此人停留期间空气重度污染的天数为 1天的概率为 4.(2) 记 3 月 7 日至 3 月 1
11、2 日中重度污染的 2天为 ,EF，另外 天记为 ,abcd，则 6天中选 2天到达的基本事件如下：,abcdaEFbcdbEF，7,dEF共 15种，其中 2天恰有 1天是空气质量重度污染包含,abcEFd这 8个基本事件，故所求事件的概率为815.19. 解：(1)连接 AG并延长交 PD于 H，连接 C.由梯形 ,/ABDC且 2ABD，知2FC，又 为 的重心， 21AG，在 中， 1GFH，故 /HC.又 H平面 ,F平面 ,/F平面 P.(2)连接 PG并延长交 AD于 E，连接 B，因为平面 PAD平面 ,BCPAD与 B均为正三角形， 为 的中点， ,PE平面 ，且 3E.由（
12、1）知 /F平面 1, 3GCDFCDFCDFVVS.又由梯形 ,/C，且 23AB，知 12B.又 AB为正三角形，得 360, sin2CDFCDS，得1332PCFFVE，所以三棱锥 G的体积为 .又 223,3, 3DECEPEC.在 PD中，1815153cos,sin,444PDPCS，故点8G到平面 PCD的距离为 3425215.20. 解：(1) 由题知 ,0322ppFA，则 3,0DpF的中点坐标为 3,024p，则324p，解得 ，故 C的方程为 4yx.(2) 依题可设直线 B的方程为 012,xmAyBx，则 2,Exy，由20yxm消去 ，得 20004,.62y
13、xm，121204,x，设 P的坐标为 ,P，则 221,PPExyAxy，由题知 /PEA，所以 21210yx，即2211244Pyxyyx，显然 1240ym，所以04P，即证 0,，由题知 EPB为等腰直角三角形，所以 1APk，即12yx，也即 12y，所以 212112,46yyy，即220066,mx，又因为 0x，所以02201,1xdm，令200642,ttxtdt，易知 42ftt在 61,上是减函数，所以 ,23d.21. 解：(1) 1 ,0,2,fxaxfa. 当 20a，即 2时， 对 0x恒成立， fx在 0, 上单调递增，fx没有极值点. 当 ，即 ,时，方程
14、21a有两个不等正数解912,x， 2121 0xxaf x，不妨设 12x，则当10,时， 0,ff递增，当 12,时， ,ff递减，当2x时， x递增，所以 x分别为 x的极大值点和极小值点. fx有两个极值点.综上所述，当 2,a时， f没有极值点，当 ,2a时， 有两个极值点.(2) （i） 2lnxfxgeax,由 0，即2lnxe对于 0x恒成立，设 22 21ll(0),xxx eex21ln1xx， ,x当 0,1时， 0,x递减，当,时， 0,递增， ,1ea.（ii）由（i）知，当 1ae时，有 fxg，即2223ln1lnxexex， 当且仅当 1x时取等号. 以下证明
15、le，设 2ln, ex，所以当 0,e时，0,x递减，当 ,e时， 0,x递增，2,l2ex， 当且仅当 x时取等号. 由于等号不同时成立，故有 212xeex.22. 解：(1)由 cos24，得 cosin，化成直角坐标方程，得 2xy，即直线 l的方程为 40xy，依题意，设 23cos,inPt，则P到直线 l的距离cos23cosin6cs62tttd t ，当1026tk，即 ,6tkZ时， max42d，故点 P到直线 l的距离的最大值为 42.(2)因为曲线 C上的所有点均在直线 l的右下方， tR， cos2in40tt恒成立，即24cos4at（其中 2tan）恒成立， 2，又 a，解得 3a，故 取值范围为 0,23.23. 解：（1） 2xmxm,要使 24x恒成立，则 2m，解得2.又 N， 1.（2） 0, 3ff，即1444,2252518，当且仅当，即 1,36时取等号，故 18.
