1、 湖南省岳阳县第一中学 2014 年物理奥赛教案第七讲 静电场知识要点：库仑定律。电荷守恒定律。电场强度。电场线。点电荷的场强，场强叠加原理。均匀带电球壳壳内的场强和壳外的场强公式（不要求导出）。匀强电场。电场中的导体。静电屏蔽。电势和电势差。等势面。点电荷电场的电势公式（不要求导出）。电势叠加原理。均匀带电球壳壳内和壳外的电势公式（不要求导出）。电容。电容器的连接。平行板电容器的电容公式（不要求导出）。电容器充电后的电能。电介质的极化。介电常数。一、电场强度电场强度是一个从力的角度描述电场的物理量，定义式为：E=F/q根据库仑定律，两个点电荷之间的作用力为F=kQqr2其中 F 既与形成电场
2、的电荷 Q 有关，又与检验电荷 q 有关。用 F/q 来定义电场可以理解为从 F 中删去外界因素(即检验电荷 q)剩下的便是纯粹的场因素了。物理学中大多数用两个物理量的商来定义的物理量，都是起源于这种思想。1、电场强度的叠加根据力的叠加原理，如果空间某一点受到不止一个电荷的影响，则它们形成的电场可以叠加，因为场是一个矢量，所以必须用矢量的平行四边形法则来叠加。有一个均匀带电圆环，半径为 R，所带电量为 Q，圆环轴线上离环心 O为 r 处有一点 P，那么圆环上每一部分电荷都会在 P 点产生自己的分电场，要求 P 的场强 EP，就需要把各分电场叠加起来。在圆环上取很短的一段L(可以看成点电荷)，所
3、带电量为 q= ，它在 P 点产生的分电场大小Q2L L为：E=kQ Lcos22Rr2根据对称性，圆环上小电荷在 P 点的场强垂直于轴方向的分量E y 都相互抵消，而平行于轴方向的分量相互叠加加强E xE yEPrROE x=kQ Lcos32Rr2故合场强的大小为：E P=Ex= =kQ2Rcos32Rr2 kQr(R2+r2)3/2注意：从这个结论可看出，当 r=0，即 P 点在圆心 O 时，E P=0；当 rR 时，E P= ，此时可将圆环kQr2看成一个点电荷。2、均匀带电球壳内、外的电场用电场叠加的方法和球的对称性可以得出均匀带电球壳内部场强处处为零。如图中 P 点的场强可以这样来
4、分析：过 P 点作两个顶角很小的对顶圆锥面，在球壳上截下两个近似圆形的小面积A 和 B(可看成两个点电荷 qA 和 qB)，如图所示，由几何相似不难看出， A、B 的面积和它们到 P 点的距离的平方 rA2 和 rB2 成正比，也就是讲点电荷的电量与它们和rA2 和 rB2 成正比。根据库仑定律，可知点电荷 qA 和 qB 在 P 点的场强叠加后是互相抵消的。用同样的方法作出其它的对顶小顶角圆锥面，可得到同样的结果。故均匀带电圆球壳内的场强处处为零。用叠加和对称的思路还可以得出：均匀带电球壳 O(或球体) 外某一点 P 的场强 为：EP=kQr2式中 r 是 OP 的距离，Q 是球壳(或球体)
5、 带的总电量，即在研究均匀带电球壳(或球体) 外的场强时，可以把球壳(或球体)所带电量看做集中在球心上，而与球壳 (或球体的半径)无关。【例 1】如图所示为一个均匀带电的同心球层，内半径为 R1，外半径为 R2，其体电荷密度为，试求各处的场强大小。解析：【例 2】 如图所示，一个均匀带电的薄半球壳，电量为 Q，求球心 O 处的场强。解析：P BA rA rBPROrOQR1R2【例 3】一无限长均匀带电细线变成如图所示的平面图形，其中 AB 是半径为 R 的半圆弧，AA平行于 BB，试求圆心 O 处的电场强度。解： 【例 4】如图 a 所示，已知半球体球面上均匀带正电，半径为 R。现将半球体沿
6、图中虚线分成两半，并将它们移至很远的地方，如图 b 所示，设分开后球上仍然均匀带电，则球冠在 A产生的场强 E1 和球台在 A产生的场强 E2 的方向如何？大小关系如何？解析：二、静电感应一个导体在电场中产生静电感应的现象，这是一个与电场叠加有关的问题。达到静电平衡时，外界电场和感应电荷的电场在导体内部的合场强为零。因此导体有如下性质：导体是等势体，导体表面是等势面(电势是指总电势) ；导体表面处的合场强不为零，方向总是垂直于导体表面；电荷分布在导体表面上。【例 5】一块无限大的导体板，左侧接地，在右侧离板 d 的 A 处放置一个负电荷 q，求静电平衡后：(A)板上感应在导体内任意一点 P 产
7、生的场强；R/2 R/2(a)OA AB Bd -qA(B)感应电荷在导体外任意一点 P处产生的场强；(C)证明导体表面附近处的合场强垂直于导体表面；(D)求-q 所受的库仑力；(E)若切断接地线后，将+Q 放在导体板上， +Q 将怎样分布？解析：三、电势电势 U 是从能量的角度来描述电场的物理量。定义式为U=E/q其中 E 表示 q 在电场中某点的电势能，这个量显然是与 q 的大小、正负有关的，将 U 定义成 E/q 与将电场强度定义为 F/q 的目的是一样的，是为了从 E 量中删除外加因素量 q，剩下的便是纯粹的场因素量了。1、均匀带电导体球壳的电势设均匀带电球壳的电量为 Q，半径为 R，
8、由于均匀带电球壳在壳外产生场强与电荷集中在球心时相同，因此，离球心 R 处的电势为U=kQR这就是这一均匀带电球壳的电势。对于静电平衡的导体，球壳内场强处处为零，因此，整个球形区域是等势的，电势均为 。kQR球壳外离球心 r(rR)处的电势为 (原因是均匀带电球可看作点电荷 )：U=kQr2、电势的叠加电势和电场一样，也可以叠加，因为电势是标量，所以两个电势的叠加只要求它们的代数和即可。【例 6】如图所示，球形金属腔带电量为 Q，内半径为 a，外半径 为 b，腔内距球心 O 为 r 处有一点电荷 q，求圆心 O 处的电势。解析：【例 7】如图所示，一个带正电的绝缘导体球壳 A，顶部 开一个小孔
9、，有两个带正电小球 B 和 C 用导线相连，将 B 与球壳内壁接触 一下后提到球壳中心，C 离 A 较远，此时，B 、C 是否带电？若将 C 接地，再分析 B、C 的带电情况。解析：【例 8】真空中,有五个电量均为 q 的均匀带电薄球壳,他 们的半径分别为 R，R/2，R/4，R/8，R/16，彼此内切于 P 点。球心分 别为 O1 ,O2 O3 O4 O5 ,求 O1 与 O5 间的电势差 .(第 15 届预赛试题)解析：【例 9】如图所示，半径为 R1 的导体球带电量 q， 在它外面同心地罩一金属球壳，其内外壁的半径分别为 R2 和 R3。今 在距球心为d(R3)处放一电量为 Q 的点电荷
10、，并将导体球壳接地， 试问：(1)球壳带的总电量是多少？(2)如果用导线将壳内导体球与壳连接，球壳带电量是多少？解析：BACR1R2R3 QdabqO1 O2 O3O4O5P【例 10】半径分别为 R1 和 R2 的两个同心半球面相对放置，两个半球面均匀带电，电荷面密度分别为 1 和 2，求大半球面的径 AOB 上电势的分布。解析：【例 11】电荷 q 均匀分布在半球面 ACB 上，球面的半径为 R，CD 通过半球顶点 C 和球心 O 的轴线，如图所示，P、 Q 为 CD 轴线上在 O 点两侧且离 O 点距离相等的两点。已知 P 点的电势为 UP，试求 Q 点的电势 UQ。( 第八届预赛试题)
11、解析：【例 12】如图所示，在真空中有 4 个半径为 a 的不带电的相同 导体球，球心ABR1R2OCDABC OP QDrrrr1 234分别位于边长为 r(ra)的正方形的四个顶点上。首先让球 1 带电荷 Q(Q0)，然后，取一细金属丝，其一端固定于球 1 点，另一端分别依次与球 2、3、4 及大地接触，每次接触时间都足以使它们达到静电平衡，设分布在细金属丝上的电荷可以忽略不计，试求流入大地的电量表达式。解析：【例 13】有些仪器，如静电加速器，其高压电极外面都有一接地金属罩，罩内充有一定压强的气体，假定是一金属球，接地金属罩是一同心金属薄球壳，如图所示，仪器工作时要求电极与金属之间的电势
12、差为 U0，选择适当的电极半径 R1 和球壳半径 R2，有可能使靠近电极表面处的场强低于气体的击穿场强，从而使气体不被击穿。(1)若 R1 已给定，则在理想情况下，R 2 取何值，电极处的场强有 最小值？(2)在实际情况中往往适当选择 R1/R2 之值，使电极处的场强为上 述最小值的若干倍，但仍低于击穿场强，求当电极处的场强为上述最小值的 4 倍时， R1/R2 应选何值？解析：【例 14】在一个半径为 R 的 导体球外，有一个半径为 r 的细圆环，圆环的圆心与导体球心的连线长为 a(aR)，且与环面垂直，如图所示。已知环上均匀带电，总电量为 q，试问：(13 届复赛试题)(1)当导体球接地时
13、，球上感应电荷总电量是多少？(2)导体球不接地而所带总电量为零时，它的电势如何？(3)当导体的电势为 U0 时，球上总电荷又是多少？解析：R1R2OR aO r四、电容器1、电容器的串、并联电容器的性能有两个指标：电容量和耐压值。在实际工作中，当这两个指标不能满足要求时，就需要将电容器并联或串联使用。(1)并联电容器并联主要是为了增大电容量(相当于增大正对面积)。n 个电容器分别为 C1、C 2、C 3、C n 的电容器并联时，总电容量为：C=C1+C2+C3+C4+Cn总耐压值与其中耐压值最低的一个电容器相同。(2)串联电容器串联主要是为了增大耐压值(相当于增大两极板间距离) 。n 个电容量
14、分别为 C1、C 2、C 3、C n 的电容器并联时，总电容量为：1C=1C1+ 1C2+1Cn总耐压值大于其中耐压值最高的一个电容器(大于每一个)。2、平行板电容器如果一个平行板电容器两板正对面积为 S，两板间距为 d，两板间充满介电常数为的电介质，那么，这个平行板电容器的电容为C=Sd如果在两板间插有两块电介质，厚度分别为 d1、d 2，介电常数分别为 1、 2，则可看成两个电容器串联，总电容为 1C=d11S+ d22S如果在两板间插入一块厚度为 d的金属板，因为金属内部场强为零，所以可以看成两板间距减小了d。因孤立导体球也能带电，故它也具有电容，电容为C= = =QU QKQ/RRK3
15、、电容器的能量电容器的电量和两极间的电压成正比，U-q 图线是一条过 原点的直线。因为W=Uq，所以直线和 q 轴所包围的面积就是电池做的 功 W，也就是电容器所储存的电能 E，因此E= = =12q0U012CU02q022C对于电容器，除了电池可以充电外，还常遇到电容器互相充电的问题。在解决这一问题时，除了要用电容器串、并联的基本规律外，还要充分注意：电容器二极板的电量一定相等；电容器连接的“孤岛现象”。【例 15】如图所示电路中，电池的电动势为 E，两个电容器 的电容皆为C，K 为一单刀双掷开关。开始时两电容器均不带电。(19 届预 赛试题)(1)第一种情况，现将 K 与 a 接通，达到
16、稳定，此过程中电 池内阻消耗的电能等于_；再将 K 与 a 断开而与 b 接通，此过程中电池供给的电能等于 _。(2)第二种情况，现将 K 与 b 接通，达到稳定，此过程中电池内阻消耗的电能等于_；再将K 与 b 断开而与 a 接通，此过程中电池供给的电能等于_ 。【例 16】极板相同的两个平行板空气电容器充以相同的电量，第一个电容器两极板间的距离是第二个电容器的两倍。如果将第二个电容器插在第一个电容器的两极间，并使所有极板都相互平行，问系统的静电能如何改变？解析：【例 17】如图所示，三个相同的电容器连接成如图所示电路，已知电容器 1 带电量为 Q，上板带正电，电容器 2、3 原来不带电。如
17、果用导线将 a、b 相连，则三个电容器各板上带电量多少？解析：UqU0q0U0a b1 23cdECCa bK【例 18】由许多电容量为 C 的电容器组成一个多级网络，如图所示。(1)在最后一级右边的电容器上并联一个多大的电容 C，可使整个网络的总电容也等于 C？(2)若不加 C，但无限增加级数，整个网络的总电容为 多少？解析：答案：(1)C= ；(2) C n=5-12 C 5-12 C五、带电粒子在电场中的运动1、带电粒子在电场中的加速质量为 m、带电量为 q 的粒子，以速率 v0 进入加速电压为 U 的电场中加速，则加速后速度 v 满足：qU= -12mv212mv02得末速率为：v=2
18、qUm +v022、带电粒子在电场中偏转如图所示，A、B 为平行板电容器的两极板，板长为 L，板间距离为 d，板间电压为 U，一质量为m、电量为 q 的粒子以初速度 v0 沿板中心轴线进入电场，发生偏转。则粒子做匀变速曲线。处理方法：分解运动法。垂直电场方向：匀速运动；沿电场线方向：匀变速运动。几个重要的物理量求法：在电场中运动的时间：t=L/v 0；飞出电场发生的侧位移：y= =12at2 qUL22mdv02飞出电场时偏转角度：tan=v y/vx=qULmdv0可以证明：粒子离开电场时，速度方向所在的直线经 过两板中心轴线的中点 O。当偏转电压的大小和方向随时间周期性变化时，则离子飞离电场的偏转距离也随之变化。如果偏转电压的变化周期远大于粒子穿越电场的时间 t(t=L/v0)，则在粒子穿越电场的过程中，偏转电压可以看作定CCCCCCCABO v0vvyv0
