1、探索研究 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图 11-2，在 Rt ABC 中，设 BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有 ， ，又 , sinaAcibBsin1cC则 b ciiic从而在直角三角形 ABC 中， C a Bsinisinabc(图 11-2)思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图 11-3，当 ABC 是锐角三角形时，设边 AB 上的高是 CD，根据任意角三角函数的定义，有 CD= ,则 ， CsiniaBbAsin
2、iabB同理可得 ， b aiicC从而 A c BsiniAsin(图 11-3)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 siinabABsicC理解定理（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数 k 使 ， ， ；inaikick（2） 等价于 ， ，siibABsicCsiniabsinicbBsinaAicC从而知正弦定理的基本作用为：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如 ；ia已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如 。siniaBb一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解
3、三角形。例题分析例 1在 中，已知 ， ， cm，解三角形。ABC032.081.B42.9a解：根据三角形内角和定理， 08()0132.1.8；6.根据正弦定理，；0sin42.9si81.()3aBbcmA根据正弦定理， 0si.si6.74.()n2Cc评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。例 2在 中，已知 cm， cm， ，解三角形（角度精确到 ，边ABa28b04A01长精确到 1cm）。解：根据正弦定理， 0sin28i4i .9ba因为 ，所以 ，或0B016B016. 当 时，64，0008()8(4)7CA0sin2i763.accm 当 时，01B，008()8(
4、41)24A0sin2i3.aCcc补充练习已知 ABC 中， ，求sin:isi1:3BC:abc（答案：1：2：3）（2）正弦定理的应用范围：已知两角和任一边，求其它两边及一角；已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？用正弦定理试求，发现因 A、B 均未知，所以较难求边 c。由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 A如图 11-5，设 ， ， ，那么 ，则 CababbcC B 22 c从而 (图 11-5)2cosabC同理可证 AB于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的
5、夹角的余弦的积的两倍。即 22cosabAcC思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论： 22cosbaAcB22cosbaC理解定理从而知余弦定理及其推论的基本作用为：已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；已知三角形的三条边就可以求出其它角。思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？（由学生总结）若 ABC 中，C= ，则 ，这时09cosC22cab由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定
6、理的特例。例题分析例 1在 ABC 中，已知 ， ， ，求 b 及 A23a62c0B解： 22osbcB= cos2(3)6)() 045=12431)=8 .b求 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：A解法一：cos22222()6)(31,cab 06.例 2在 ABC 中，已知 ， ， ，解三角形134.cm87.bc.7cm解：由余弦定理的推论得：cos22bcaA287.16.34.705,；2cos2cabB22134.6.78.1089,；5B0001()(5623)CA补充练习在 ABC 中，若 ，求角 A（答案：A=120 ）abc0.课时小结（1）余弦定理是任何三角形边
7、角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；（2）余弦定理的应用范围：已知三边求三角；已知两边及它们的夹角，求第三边。随堂练习 1（1）在 ABC 中，已知 ， ， ，试判断此三角形的解的情况。80a1b045A（2）在 ABC 中，若 ， ， ，则符合题意的 b 的值有_个。2cC（3）在 ABC 中， ， ， ，如果利用正弦定理解三角形有两解，求xm0Bx 的取值范围。（答案：（1）有两解；（2）0；（3） ）2x2在 ABC 中，已知 ， ， ，判断 ABC 的类型。7a5b3c分析：由余弦定理可知 22是 直 角 ABC是 直 角 三 角 形是 钝 角 是 钝 角 三 角 形是 锐
8、 角c是 锐 角 三 角 形（注意： ）是 锐 角 是 锐 角 三 角 形解： ，即 ，227532ab 。ABC是 钝 角 三 角 形随堂练习 2（1）在 ABC 中，已知 ，判断 ABC 的类型。 sin:isi1:23ABC（2）已知 ABC 满足条件 ，判断 ABC 的类型。 coab（答案：（1） ；（2） ABC 是等腰或直角三角形）是 钝 角 三 角 形2.在 ABC 中， ， ，面积为 ，求 的值061sinisinabcABC分析：可利用三角形面积定理 以及正弦定理1i22SabCAsiniabABsincCisinicAB解：由 得 ，132S则 =3，即 ，2coaba从
9、而 sinisinabcABC2iaA.课堂练习（1）在 ABC 中，若 ， ，且此三角形的面积 ，求角 C516b203S（2）在 ABC 中，其三边分别为 a、b、c，且三角形的面积 ，求角 C24abc（答案：（1） 或 ；（ 2） ）0604.课时小结（1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；（2）三角形各种类型的判定方法；（3）三角形面积定理的应用。.课后作业（1）在 ABC 中，已知 ， ， ，试判断此三角形的解的情况。4b10c03B（2）设 x、x+1、x+2 是钝角三角形的三边长，求实数 x 的取值范围。（3）在 ABC 中， ， ， ，判
10、断 ABC 的形状。06Aa2（4）三角形的两边分别为 3cm，5cm,它们所夹的角的余弦为方程 的根，25760x求这个三角形的面积。例 1、如图，一艘海轮从 A 出发，沿北偏东 75 的方向航行 67.5 n mile 后到达海岛 B,然后从 B 出发,沿北偏东 32 的方向航行 54.0 n mile 后达到海岛 C.如果下次航行直接从 A出发到达 C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到 0.1 ,距离精确到 0.01n mile)解：在 ABC 中， ABC=180 - 75 + 32 =137 ，根据余弦定理，AC= ABCABCcos22= 1370.5467
11、0.54.67113.15根据正弦定理,= CABsinsinsin CAB = C= 15.37sin040.3255,所以 CAB =19.0 ,75 - CAB =56.0答:此船应该沿北偏东 56.1 的方向航行,需要航行 113.15n mile补充例 2、某巡逻艇在 A 处发现北偏东 45 相距 9 海里的 C 处有一艘走私船，正沿南偏东75 的方向以 10 海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以 14 海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？解：如图，设该巡逻艇沿 AB 方向经过 x 小时后在 B 处追上走私船，则 CB=1
12、0x, AB=14x,AC=9,ACB= + = 754120(14x) = 9 + (10x) -2 9 10xcos2120化简得 32x -30x-27=0，即 x= ,或 x=- (舍去)36所以 BC = 10x =15,AB =14x =21,又因为 sin BAC = = =ABC120sin5143BAC =38 ,或 BAC =141 （钝角不合题意，舍去），3 738 + =83145答：巡逻艇应该沿北偏东 83 方向去追，经过 1.4 小时才追赶上该走私船.31评注：在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否
13、符合实际意义，从而得出实际问题的解.课时小结解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。（2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解。例 7、在 ABC 中，根据下列条件，求三角形的面积 S（精确到 0.1cm ） 2（1）已知 a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5 ;（2）已知 B=62.7 ,C=65.8 ,b=3.16cm;（3）已知三边的长分别为 a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm解：（1）应用 S= acsinB
14、，得21S= 14.8 23.5 sin148.5 90.9(cm )2(2)根据正弦定理，= BbsinCcsic = S = bcsinA = b212BAsinA = 180 -(B + C)= 180 -(62.7 + 65.8 )=51.5S = 3.16 4.0(cm )27.62si5182(3)根据余弦定理的推论，得cosB = cab2= 4.1738.20.7697sinB = 0.6384B2cos2697.0应用 S= acsinB，得1S 41.4 38.7 0.6384511.4(cm )22例 3、在 ABC 中，求证：（1） ;sin22CBAcba（2） +
15、+ =2（bccosA+cacosB+abcosC）证明：（1）根据正弦定理，可设= = = kAasinBbiCcsin显然 k 0，所以左边= kBAc222sin= =右边CB2sin（2）根据余弦定理的推论，右边=2(bc +ca +ab )bca2cab2abc2=(b +c - a )+(c +a -b )+(a +b -c )2=a +b +c =左边2变式练习 1：已知在 ABC 中， B=30 ,b=6,c=6 ,求 a 及 ABC 的面积 S3提示：解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数。答案：a=6,S=9 ;a=12,S=1833.课时小结利用正弦定
16、理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简并考察边或角的关系，从而确定三角形的形状。特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者混用。 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.注意：数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第 1项（或首项），第 2 项，第 n 项，.例如，上述例子均是数列，其中中，“4”是这个数列的第 1 项（或首项），“9”是这个数列
17、中的第 6 项.数列的一般形式： ，或简记为 ，其中 是数列的第 n 项 ,321nanan结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义. 中，这是一个数列，它的首项是“1”，“ ”是这个数列的第“3”项，等等 奎 屯王 新 敞新 疆31下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列，第一项与这一项的序号有这样的对应关系：项 151432 序号 1 2 3 4 5这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式： 来表示其对应关系na1即：只要依次用 1，2，3代替公式中的 n，就可以
18、求出该数列相应的各项结合上述其他例子，练习找其对应关系 数列的通项公式：如果数列 的第 n 项 与 n 之间的关系可以用一个公式来表a示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.注意：并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列；一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，它的通项公式可以是 ，也可以是 .2)(1nna |21cos|nan数列通项公式的作用：求数列中任意一项；检验某数是否是该数列中的一项.数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第 项，又是这个数列中所有各项的一般表示通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项
19、数就可求出数列的每一项5.数列与函数的关系数列可以看成以正整数集 N*（或它的有限子集1，2，3，n）为定义域的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。()naf反过来，对于函数 y=f(x),如果 f(i)（i=1、2、3、4）有意义，那么我们可以得到一个数列 f(1)、 f(2)、 f(3)、 f(4)， f(n)， 6数列的分类：1）根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列.例如数列 1，2，3，4，5，6。是有穷数列无穷数列：项数无限的数列.例如数列 1，2，3，4，5，6是无穷数列2）根据数列项的大小分：递增数列：从第 2 项起，每一项都不小于它的前一项的数列。递减数
20、列：从第 2 项起，每一项都不大于它的前一项的数列。常数数列：各项相等的数列。摆动数列：从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列补充练习：根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1) 3, 5, 9, 17, 33,； (2) , , , , , ；32154638910(3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,； (4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ；解：(1) 2n1； (2) ； (3) ； nana)2(nna2)(n(4) 将数列变形为 10, 21, 30, 41, 50, 61, 70, 81, , n ；)(n1、
21、通项公式法如果数列 的第 n 项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这a个数列的通项公式。如数列 的通项公式为 ；的通项公式为 ；的通项公式为 ；2、 图象法启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形具体方法是以项数 为横坐标，相应的项 为纵坐标，即以 为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列 为例，做出一个数列的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在 轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势3、 递推公式法知识都来源于实践，最后还要应用于生活 奎 屯王 新 敞新 疆 用其来解决
22、一些实际问题观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型模型一：自上而下：第 1 层钢管数为 4；即：1 41+3第 2 层钢管数为 5；即：2 52+3第 3 层钢管数为 6；即：3 63+3第 4 层钢管数为 7；即：4 74+3第 5 层钢管数为 8；即：5 85+3第 6 层钢管数为 9；即：6 96+3第 7 层钢管数为 10；即：7 107+3若用 表示钢管数， n 表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且nan7）1(3运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数 奎 屯王 新 敞新 疆 这会给我们的统计与计算带来很多方便。让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？（启发学生寻找规律）模型二：上下层之间的关系自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多 1。即 ； ；41a152a5623a依此类推： （2n7）n
