1、1高等数学（B2）期末模拟试卷（一）二 三题号 一1 2 3 4四 五 六 七 总 分得分一、选择题（本大题共 10 小题，每题 3，共 30）:1. ，其定义域为-（A）.)1ln(4122yxyxzA B 4),(4,(2yxC D .12yx1)2. 设 ，则 -（D）.zdzA B yxxy1ln dyxy1C D .ln1 ln3. 由椭圆 绕 轴旋转一周所生成的旋转体体积可表示为-（ C ）.1625yxA B C D .0d5204ydx420xdy420xdy4. 设 ， ， ，则 为- （A）.)3,1(a),(b),1(c.)(cbaA B C D .5155. 设 ， ，
2、则 与直 的关系为-（ A）.0542:zyx 432:zyxLLA 与 垂直 B 与 斜交 C 与 平行 D 落于 内.L6. 若 ， , 为 上,),(D40,2),(1 yx)(2yxfD的连续函数，则 可化为- （C ）.dyxf)2A B yxfD)(12 dyxfD)(12C D .df)(412f)(8127. 下列哪个函数是某一二阶微分方程的通解- （ C）.2A B xecyxecy21C D .21 )(28. 下列哪个级数收敛-（D）.A B C D .1)(n10n10n10n9. 若 ，其中 ，则正数 -（ B）.Dd4axyx,:A B C D .322342231
3、0. 若幂级数 在 处条件收敛，则其收敛半径为- （ B）.1)(nnxaA B C D .234二、计算题（本大题共 4 小题，每题 7，共 28）:1. 设 具有二阶连续偏导数，若 ，求),(vufz )cos,(inyxfz.,2yxz解： ,cos1xfyz2 .cosin)i(s)( 1212 ffx2. 设 ，求 : .)in(2zDd. 24y解： =Ddxy)4cos23. 设曲线 ， 与直线 及 轴所围成的区域为 ，求 的面积.e21ln(xxyD解 的面积= .2)(14. 解微分方程 xeydx解： yxeQxP)(,1)(， dln xxdxPedeeln)(故通解为
4、)(Ceyx三、计算题（本题 9）设 ， （1）改变积分次序； 20sinydxI3（2）计算 的值.I解： 20sinydx21)2(sii20202 dxyx四、证明题（本题 8）求证：曲面 上任何点处的切平面在各坐标azy轴上的截距之和等于 .a解：设切点为（ ）且设 ，0,zyx),(xF则切平面方程为： )(210 2100y0)(210z令 可得：切平面在 轴上的截距为zyxaxzy000同理可得：切平面在 轴上的截距分别为zy, ,因此切平面在各坐标轴上的截距之和等于 。zyx000五、计算题（本题 8）求 的收敛域及和函数.11()nn解：解： xnnn1)()1(lim故 的
5、收敛半径为 12)(1xn易知当 时， 收敛；当 时， 发散)(1nxn 1x1)(1nxn因此 在 收敛。)(1xn,(六、计算题（本题 8）设 是第一象限内连接 A ，B 的一段连续曲线，)(xfy)1,0(,为该曲线上任意一点，点 C 为 M 在 轴上的投影，O 为坐标原点.若梯形 OCMA),(yxM4的面积与曲边三角形 CBM 的面积之和为 ，求 的表达式.316x)(xf解： 136)(2xyd112)(1 2 Cxyxyy由 ，故 0)1(Cy 2)(f七、应用题（本题 9）设生产某种产品必须投入两种要素, 和 分别为两种要素的1x2投入量,产出量为 , 若两种要素的价格之比为 ,试问: 当产出量321xQ42p时, 两种要素的投入量 各为多少，可以使得投入总费用最小？1221 ,解:该题为求费用函数 在条件 下的最小值问题.21),(xpxC1321x为此作拉格朗日函数 )(2L令 12034131221xpLx 128312x，即两种要素各投入 3,24 可使得投入总费用最小.241x
