1、数列求和的七种基本方法甘志国部分内容(已发表于 数理天地(高中)，2014(11)：14-15)数列求和是数列问题中的基本题型，但具有复杂多变、综合性强、解法灵活等特点，本文将通过例题(这些例题涵盖了 2014 年高考卷中的数列求和大题) 简单介绍数列求和的七种基本方法.1 运用公式法很多数列的前 项和 的求法，就是套等差、等比数列 的公式，因此以下常用公nnSnS式应当熟记： 221313()5nn 还要记住一些正整数的幂和公式： 2333222 )1(416n例 1 已知数列 的前 项和 ，求数列 的前 项和 .na2SnnanT解 由 ,可得 , ，所以：23Sn3160an(1)当 时
2、, = .6T2n(2)当 时，1751232)( )(166187121nSaaannn 所以 2(1,26)7n nT N且例 2 求 .)(3)1(Sn 解 设 ，本题即求数列 的前 项和.2(knkakkan)2(16)12(62 )3)(3( 22nnnSn 高考题 1 (2014 年高考浙江卷文科第 19 题( 部分)求数列 的前 项和 .21nnS答案： .2nS高考题 2 (2014 年高考四川卷理科第 19 题( 部分)求数列 的前 项和 .4n答案： .3n高考题 3 (2014 年高考福建卷文科第 17 题) 在等比数列 中， .na253,81a(1)求 ；na(2)设
3、 ，求数列 的前 项和 .3lognbnbnS答案：(1) ；(2) .1na2nS高考题 4 (2014 年高考重庆卷文科第 16 题)已知 是首项为 1，公差为 2 的等差数na列， 表示 的前 项和 .nSna(1)求 及 ；(2)设 是首项为 2 的等比数列，公比 满足 ，求 的通 nbq244(1)0aqSnb项公式及其前 项和 .nT答案：(1) ；(2) .21,aS21,()3nnbT2 倒序相加法事实上，等差数列的前 项和 的公式推导方法就是倒序相加法 .nn例 3 求正整数 与 之间的分母为 3 的所有既约分数的和 .m()S解 显然，这些既约分数为： 31,24,32,1
4、n有 )31()2()34()()32()1( nnmmS也有 4mnn所以 22),()(2)(2S例 4 设 ，求和 .4)xf1301002ffff解 可先证得 ，由此结论用倒序相加法可求得答案为 .()f3 裂项相消法例 5 若 是各项均不为 0 的等差数列，求证：na.11321 nnaa证明 设等差数列 的公差为 ：若 ，要证结论显然成立；若 ，得d00d)1(1nnaa111 13211321 )()()( nnn nnadada例 8 证明 且 .222(3N 2)证明 1n123()1nn 高考题 5 (2014 年高考全国大纲卷理科第 18 题) 等差数列 的前 项和为 ，
5、已nanS知 ， 为整数，且 .10a24nS(1)求 的通项公式；na(2)设 ，求数列 的前 项和 .1nbnbnT答案：(1) ；(2) .3na10(3)nS高考题 6 (2014 年高考广东卷文科第 19 题)设各项均为正数的数列 na的前 项和为nS，且 满足 NnSnSn ,322 .(1)求 1a的值；(2)求数列 n的通项公式；(3)证明：对一切正整数 ，有 .31)()1()(12naaa答案：(1) ；(2) ；(3)当 时，可得欲证成立.当 时，12ann2，再用裂项相消法可得欲1()()()212n n证.高考题 7 (2014 年高考山东卷理科第 19 题)已知等差
6、数列 的公差为 2，前 项和nan为 ，且 ， ， 成等比数列.nS124S(1)求数列 的通项公式；na(2)令 = 求数列 的前 项和 .nb,)1(1nnbnT答案：(1) ， .2na21nTn为 奇 数为 偶 数4 分组求和法例 9 求 .1112424nnS 解 设 ，得 .1124nna 12nna所以本题即求数列 的前 项和：1n1 12224nn nnSa 例 10 设数列 的前 项和 满足 ，又 ，求数列nanSn nnSb)(的前 项和 .nbnT解 在 中，令 可求得 .21naS1n1a还可得 2214(),4()nnSS相减，得 20)(1112nnnaa所以 是首
7、项为 1 公差为 2 的等差数列，得nan所以 22)1(,1nbaSnn 当 为偶数时，n 2)1()(73)()43()21( 22 nT 当 为奇数时， 21)(121 nnbTnn 用 以 上 结 论总之， .)()高考题 8 (2014 年高考北京卷文科第 15 题)已知 是等差数列，满足 ，na13a，数列 满足 ， ，且 是等比数列.412anb1420bn(1)求数列 和 的通项公式；nab(2)求数列 的前 项和.答案：(1) ；(2) .1=3,2nn3(1)2n高考题 9 (2014 年高考山东卷文科第 19 题) 在等差数列 中，已知公差 ，na2d是 与 的等比中项.
8、2a14(1)求数列 的通项公式；na(2)设 ，记 ，求 .(1)2b1234(1)nnTbbnT答案：(1) ， .na()12nn为 奇 数为 偶 数高考题 10 (2014 年高考浙江卷理科第 19 题(部分)求数列 的前 项和12()nn.nS答案： .12n5 错位相减法高考题 11 (2014 年高考江西卷理科第 17 题 )已知首项都是 1 的两个数列N*)满足 .nban,0(, 0211nnnbab(1)令 ，求数列 的通项公式；nacnc(2)若 ，求数列 的前 项和 .13banS解 (1) .2cn(2)得 .先写出 的表达式：13)(nbanS1323)2(75nn
9、S把此式两边都乘以公比 3，得nnn )()(1132 -，得nnnS 3)12(3232113)3(20 由等比数列的前 项和公式，得 13)2(132nnS2)nn)(nn因为此解答确实步骤多，且有三步容易出错：(1)等式右边前 项的符号都是“+” ，但最后一项是“” ；(2)当等式右边的前 项不组成等比数列时，须把第一项作微调，变成等比数列(即等式)，这增加了难度；(3)等式中最后一步的变形(即合并) 有难度.但这种方法( 即错位相减法)又是基本方法且程序法，所以备受命题专家的青睐，在高考试卷中频频出现就不足为怪了.考生在复习备考中，应彻底弄清、完全掌握，争取拿到满分.这里笔者再给出一个
10、小技巧检验：算得了 的表达式后，一定要抽出万忙的时间检验一下 是否正确，若它们均正nS 21,S确，一般来说就可以确定算对了，否则就算错了，需要检查( 重点是检查容易出错的三点)或重算.对于本题，已经算出了 ，所以 .而由通项公式可知13)(nnS0,21，所以求出的答案正确.103,1121S高考题 12 (2014 年高考课标全国卷 I 文科第 17 题)已知 是递增的等差数列，na是方程 的根.42,a256x(1)求 的通项公式；n(2)求数列 的前 项和.2n答案：(1) .1an(2)用错位相减法可求得答案为 .124n高考题 13 (2014 年高考安徽卷文科第 18 题)数列
11、满足naN*.11,()(),nnaa(1)证明：数列 是等差数列；na(2)设 ，求数列 的前 项和 .3nbnbnS答案：(1)略.(2)由(1)可求得 ，所以 ，再用错位相减法可求得2an3n.43)12(nS高考题 14 (2014 年高考四川卷文科第 19 题) 设等差数列 的公差为 ，点nad在函数 的图象上 N*).(,)nab()2xf(n(1)证明：数列 为等比数列；nb(2)若 ，函数 的图象在点 处的切线在 轴上的截距为 ，求1()fx2(,)abx12ln数列 的前 项和 .2nanS答案：(1)略.(2)可求得 ，所以 ，再用错位相减法可求得,2nnb24nnab.9
12、4)13(nS高考题 15 (2014 年高考四川卷理科第 19 题) 设等差数列 的公差为 ，点nad在函数 的图象上 N*).(,)nab()2xf(n(1)若 ，点 在函数 的图象上，求数列 的前 项和 ；187,4)ab)fxnnS(2)若 ，函数 的图象在点 处的切线在 轴上的截距为 ，求(fx2(,abx12l数列 的前 项和 .nabnT答案：(1) .2=3nS(2)可求得 ，所以 ，再用错位相减法可求得答案为,nnab2nab.nnT26 待定系数法例 11 数列 的前 项和 .3)1(nnS解 设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，得madmb(1)q11()(,2
13、bqn先用错位相减法求数列 的前 项和 ：mnnS2 1111121 1111()()()2()()()()(nn nnnnnSbadqaadq qadqdqdqba 1nad111 nnSq所以有下面的结论成立：若 分别是等差数列、等比数列(其公比 )，且 均是与 无关的常数，,mab1,abn则数列 的前 项和 ，其中 是与 无关的常数.nbqanS)(,由此结论就可以用待定系数法快速求解本题：可设 (其中 是常数).()3nnSab,可得 ，所以 ，解得 ，所以12,703()3920ab3ab.3)(nnS例 12 求和 .1222+3+(1)+nnS n解 得 .012nn用待定系数
14、法可求出该等式的右边为 ，所以 .124n24nS七、求导法、积分法例 13 (1)求证： ；)1(1132 xxxn(2)求证： ；)()(212nn(3)求数列 的前 项和 (此即例 6).(1)3nnS解 (1)当 时，显然成立.当 时，由等比数列的前 项和公式知，欲证结论0x0xn也成立.(2)视(1)的结论为两个函数相等，两边求导后即得欲证成立.(3) .1(21)3=6()3nn由(2)的结论中令 ，得数列 的前 项和为 ；又数列x1n 413)2(n的前 项和为 .所以数列 的前 项和为3n231n(2)3n 3)1(41)(6nnnnS高考题 16 (2008 年高考江苏卷第
15、23 题) 请先阅读：在等式R)的两边对 x 求导，得 .由求导法则，xx(1cos2s cos2()(csxx得 ，化简后得等式 .sin4)in( ini(1)利用上题的想法(或其他方法 )，试由等式R，整数 证明：xCxCxnnn ()1210 )2.kkn211(2)对于整数 ，求证：3(i) ； (ii) ； (iii) .0)1(nkknC0)1(2nkknC1210nCkn答案：(1)在已知等式两边对 求导后移项可得欲证.x(2) (i)在结论(1) 中令 可证.(ii)由已知等式两边对 求导后再求导，又令 ，得 ，1x0)1(22nkkn即 ，再由结论(i)得结论(ii)成立.0)()12nkknkC
